Haobai Wang · 公开阅读版 · ch16-zh-6edf50d9952c
内容指纹用于核对本章文本，不表示学术终审或独立的作者身份证明。
SHA-256: 6edf50d9952c9e3a41dd4f39de491aeedb54ad3a66c5cd2bcf56fc33bb63dca3
第十六章：如果玩家自己决定何时停止？
玩家在开始前写下一条规则：只要赢到一元钱，就离开牌桌。
他没有要求硬币改变概率，也没有预知下一步。他只改变了记账的时刻。若游戏可以永远继续，第一次赢钱似乎迟早会到来；到那时再清点本钱，结局便不再像一个平均收益为零的实验。
第十五章中，每一步的公平已经能够约束路径的振荡。但玩家选择的终点，是由这条路径自己决定的。固定时刻的条件平均，能否穿过这样的选择，需要重新证明。
16.1 一条规则必须在当时就能执行
本章先固定离散时间滤过 (\mathcal F_n)_{n\ge0}。取值于 \mathbb N_0\cup\{\infty\} 的随机变量 T 称为停止时刻，如果
\{T\le n\}\in\mathcal F_n\qquad(n\ge0).这说的不是玩家在时刻零就知道什么时候离开，而是在时刻 n 能够知道自己是否已经离开。等价地，\{T=n\}\in\mathcal F_n：一个方向取相邻差，另一个方向取有限并。于是 \{T\ge k\}\in\mathcal F_{k-1}。这最后一个事件会成为合法下注的指标。
设 S_n 是简单对称随机游走。第一次到达1的时间是停止时刻，因为“截至现在是否到过1”只使用已经出现的步子。相反，在固定期限 N 内最后一次到达0的时刻一般不是停止时刻：刚在0的位置离开以后，必须看见未来才能知道这是不是最后一次。具体地取 N=2，最后一个零点 L 满足 \{L=0\}=\{S_2\ne0\}，它不是平凡的 \mathcal F_0 中的事件。
随机时间与停止时刻的区别，因而是信息上的区别，而不是时间是否随机的区别。
16.2 停止以后，究竟知道了什么
在可能无穷的停止时刻处，定义
\mathcal F_T=\{A\in\mathcal F:\ A\cap\{T\le n\}\in\mathcal F_n\text{ for every }n\}.这里原概率空间的 \mathcal F 必须保留：规则没有约束 \{T=\infty\} 上的信息。有限时间片上的等价条件是 A\cap\{T=n\}\in\mathcal F_n。通过取补集和可数并，立即验证这确实是σ-代数；T 对它可测。
特别地，对任何 B\in\mathcal F，都有
B\cap\{T=\infty\}\in\mathcal F_T,因为它与每个 \{T\le n\} 的交集都为空。这是本定义在无穷时间片上的约定，不表示某个有限时刻已经看见全部环境信息。即使 \{T=\infty\} 本身属于 \mathcal F_\infty，它与隐藏事件的交集也未必属于这份由有限记录生成的σ-代数。后面必须区分原始闭合变量与过程真正拥有的终值，原因就在这里。
若 S\le T，则 \mathcal F_S\subseteq\mathcal F_T。事实上
A\cap\{T\le n\}=(A\cap\{S\le n\})\cap\{T\le n\}\in\mathcal F_n.若 X_n 适应，且先约定在 T=\infty 上取一个确定值0，那么 X_T 对 \mathcal F_T 可测：在 \{T\le n\} 上，它是有限个 X_k\mathbf1_{\{T=k\}} 的拼接。这个约定并不声称0是过程在无穷远的极限。以后只有在已经证明终值存在时，才另行使用那个终值。
停止时刻的最小值、最大值仍是停止时刻。若 S\le T，还可验证 A\in\mathcal F_S 蕴含 A\cap\{S<k\le T\}\in\mathcal F_{k-1}。这正是从 S 开始、到 T 结束的一段账本所需的信息。
16.3 冻结一条路径，不会偷偷看见未来
令 X^T_n=X_{n\wedge T}。它适应，因为可按 T=0,\ldots,n-1 与 T\ge n 分片。对可积过程，有限拼接仍可积。更重要的是逐条路径恒等式
X^T_n=X_0+\sum_{k=1}^n\mathbf1_{\{T\ge k\}}(X_k-X_{k-1}).第 k 次增量是否记入，在它发生前已经确定。因此若 X 是鞅，条件平均给出 X^T 仍是鞅；次鞅、上鞅分别保留自己的不等号。这里没有关于随机时间的定理作前提，只有有限求和。
同一计算也适用于任意有界的、\mathcal F_{k-1}-可测的下注额 H_k。鞅增量乘以这种预先决定的因子，有限和仍为鞅。对于次鞅和上鞅，保留不等号还要求 H_k\ge0。无限次下注的可积性却不能由这个有限事实自动获得。
首次到达只使用已经发生的记录。固定近邻路径在第7步首次达到高度3；实线保留停止前缀，方形点虚线在此后冻结为3，细点线显示未停止的原路径。这里没有随机抽样，有限路径示意不是可选抽样定理的证明，也不保证任意停止规则保持期望。
16.4 有界终点为什么仍然公平
设 M 是鞅，S\le T\le N 为停止时刻。我们要证明的不是只有总期望相等，而是
\mathbb E[M_T\mid\mathcal F_S]=M_S.对 A\in\mathcal F_S，写出
\mathbb E[(M_T-M_S)\mathbf1_A]
=\sum_{k=1}^N\mathbb E[\mathbf1_{A\cap\{S<k\le T\}}(M_k-M_{k-1})]=0.每个指标均对 \mathcal F_{k-1} 可测；每个乘积可积。上节的可测性说明 M_S 属于 \mathcal F_S，因此这正是条件期望的定义。对次鞅同一求和给出 ≥0，对上鞅给出 ≤0。
这便是有界停止时刻的可选抽样。它没有要求 S,T 与过程独立，反而容许玩家充分使用过去。真正起作用的，是不许使用尚未发生的增量，以及总共只清算有限笔可积的账。
16.5 两道边界之间，游戏一定会结束吗
从整数 x\in\{1,\ldots,a-1\} 出发，每步以概率 p\in(0,1) 向右、以 q=1-p 向左，记首次到达0或 a 的时间为 T。不能先写 S_T 再默认它存在。
任意尚未吸收的位置，接下来 a 步若全向右便会吸收，其条件概率至少 p^a。分块迭代得到
P_x(T>ka)\le(1-p^a)^k.因此 T<\infty 几乎必然，而且 E_xT<\infty。在公平情形 p=q=1/2，对 T\wedge n 使用有界抽样，E_xS_{T\wedge n}=x。停止后的路径被0与 a 控制，DCT给出
P_x(S_T=a)=x/a.期限随机，但清算前后的本钱都有同一个确定上界，这才使极限安全地通过期望。
16.6 等待的代价也可以算出来
公平游走满足 S_n^2-n 为鞅：展开平方，条件交叉项为0、增量平方为1。对有界时刻应用刚才已经证明的抽样，得到
E_x(T\wedge n)=E_xS_{T\wedge n}^2-x^2.左边单调趋于 E_xT，右边由有界收敛趋于 a^2(x/a)-x^2。所以
E_xT=x(a-x).对于 p\ne q，取 r=q/p。因为 pr+q/r=1，r^{S_n} 是鞅。停止在有限区间内仍被确定常数控制，故
P_x(S_T=a)=\frac{1-r^x}{1-r^a}.它在 p\to1/2 时趋于 x/a。漂移改变的是调和读数：公平时位置本身足够，偏向一侧时指数函数才消掉平均漂移。
16.7 只设一道边界，平均就可能出问题
从0出发的公平游走，令 T 为首次到达1的时间。在区间 [-a,1] 使用上节的有限区间公式，先到1的概率为 a/(a+1)，所以 P(T<\infty)=1。可是
E S_{T\wedge n}=0,\qquad S_{T\wedge n}\longrightarrow S_T=1\quad\text{a.s.}这不是停止时刻不合法，而是有限清算的极限不满足一致可积性。
还可证明 ET=\infty。如果 ET<\infty，由于步长绝对值为1，
|S_T-S_{T\wedge n}|\le(T-n)^+,右边期望趋0，于是左边在 L^1 中趋0，迫使 ES_T=0，与 S_T=1 矛盾。因此“几乎必然能等到”与“等待有有限平均代价”是不同命题。
16.8 翻倍下注把风险藏在哪里
另一个玩家第一次押1，输了押2，再输押4，直到第一次赢。令 \varepsilon_k 为独立的 ±1 公平结果，T 为首次正面，净收益为
G_n=\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}\mathbf1_{\{T\ge k\}}\varepsilon_k.每个有限期限它都是可积鞅，EG_n=0。第一次赢以前累计损失为 -(2^n-1)，一旦赢则净赚1。因此 T<\infty 几乎必然，G_T=1，但 G_{T\wedge n}=G_n 不一致可积。
尾部失控可以直接算出，而不只用一个术语命名。未赢的概率为 P(T>n)=2^{-n}，在这件事上损失绝对值为 2^n-1。对任意固定 K>1，只要 2^n-1>K，就有
E[|G_n|\mathbf1_{\{|G_n|>K\}}]
=(2^n-1)2^{-n}=1-2^{-n}.阈值再高，仍可选择更晚期限，使尾部承载的平均损失接近1。同时
E|G_n|=2(1-2^{-n})\le2.所以连绝对期望统一有界也不足以保障清算。问题不是这些有限账本不可积，而是可积质量集中到越来越少见、越来越昂贵的失败记录上。
这里 ET=2 甚至有限。故单独要求停止时间可积仍不够：刚才一步绝对值≤1的控制，这里已经失效。有限期限公平、可积的等待时间、几乎必然赢钱，三件事可以同时发生；代价是没有统一控制的损失与下注额。
16.9 一份可积终值，能够支持无界清算
第十五章证明，一致可积鞅恰好可写成 M_n=E[Z\mid\mathcal F_n]，其中 Z\in L^1。令 \mathcal F_\infty=\sigma(\bigcup_n\mathcal F_n)，取已证明存在的 M_\infty=E[Z\mid\mathcal F_\infty]。在 T=\infty 上使用这个终值。
对任意停止时刻 T，将 A\in\mathcal F_T 按 T=k 分片，并用条件期望定义，得到
E[M_T\mathbf1_{A\cap\{T<\infty\}}]
=E[Z\mathbf1_{A\cap\{T<\infty\}}].绝对可积性也不能省略：逐片先用 E[|M_k|\mathbf1_{A\cap\{T=k\}}]\le E[|Z|\mathbf1_{A\cap\{T=k\}}]，再求和。在无穷时间片，若原 \mathcal F 比 \mathcal F_\infty 更大，不能自动得到同样等式。
不过，抽样定理本身不需要缩小原来的 \mathcal F。改用规范终值 M_\infty：第十五章已给出 M_k=E[M_\infty\mid\mathcal F_k]。对有限时间片作同一求和，在 T=\infty 片上则两边的被积变量本来就都是 M_\infty，不要求该片中的事件属于 \mathcal F_\infty。有限片的绝对积分和不超过 E|M_\infty|，无穷片也可积，因此确有 M_T=E[M_\infty\mid\mathcal F_T]。若在下面第一式中取 Z=M_\infty，再用 \mathcal F_S\subseteq\mathcal F_T 的塔式法则，便得到
M_T=E[Z\mid\mathcal F_T],\qquad
E[M_T\mid\mathcal F_S]=M_S\quad(S\le T).这允许 S\le T 都取∞，终值始终按 M_\infty 约定。若仍保留最初任意的闭合变量 Z，则第一式还需要无穷片上的额外条件；例如 \mathcal F=\mathcal F_\infty 足够，而几乎必然有限的 T 也不受这个问题影响。差别不是形式上的：取所有 \mathcal F_n 平凡、Z 为等概率的±1隐变量、T\equiv\infty，便有 M_T=M_\infty=0，而原环境中的 \mathcal F_T=\mathcal F 使 E[Z\mid\mathcal F_T]=Z。失效的是任意闭合变量的公式，不是规范终值下的抽样结论。
这份终值表示还解释了为什么无界抽样没有另外消耗一份尾部预算。对任意子σ-代数 \mathcal G，令 V=E[M_\infty\mid\mathcal G]。取正数 a,K，事件 \{|V|>K\} 对 \mathcal G 可测；条件三角不等式、截断与Markov界给出
\begin{aligned}
E[|V|\mathbf1_{\{|V|>K\}}]
&\le E[|M_\infty|\mathbf1_{\{|V|>K\}}]\\
&\le E[|M_\infty|\mathbf1_{\{|M_\infty|>a\}}]
+\frac{aE|M_\infty|}{K}.
\end{aligned}先让 a 足够大以控制第一项，再让 K 足够大控制第二项，界与 \mathcal G 无关。因此对同一可积终值的所有条件平均构成一致可积族。取 \mathcal G=\mathcal F_T，就同时控制全部停止时刻的 M_T，包括具有无穷时间片的规则，而不必为每一条规则寻找一个新的支配随机变量。
16.10 不要求整个鞅一致可积，也能停止吗
可以。对一个几乎必然有限的 T，若停止族 \{M_{n\wedge T}:n\ge0\} 一致可积，第十五章说明它在 L^1 中趋于 M_T。于是 EM_T=EM_0。更一般，S\le T 时，停止鞅已闭合，由上节得到 E[M_T\mid\mathcal F_S]=M_S。这是对实际采用规则的局部条件，不必控制停止以后的全部游戏。
停止族条件也允许 T=\infty。令 N_n=M_{n\wedge T}，其一致可积性给出可积终值 Y 及 N_n=E[Y\mid\mathcal F_n]。在 T<\infty 上，路径最终固定，故 Y=M_T；在无穷片上用 Y 定义清算值。对 S\le T，将16.9用于这个停止过程，便得 E[Y\mid\mathcal F_S]=M_S，其中 S=\infty 时也取 Y。这不要求原过程在整个空间上已有一个无穷远终值。
这里的 Y 应选择为停止过程实际的几乎必然且 L^1 极限
Y=\lim_{n\to\infty}N_n,\qquad Y\in L^1(\mathcal F_\infty),而不是再任取一份具有相同有限时刻条件平均的环境变量。若 S 有限且 S\le T，停止过程在该时刻的值就是 N_S=M_S；若 S=\infty，则必有 T=\infty，两边都按这个 Y 清算。这样，停止族的一致可积性闭合的是实际冻结后的账本；在 T<\infty 的记录上，原过程若继续运行，仍然可以没有极限。
一种易检查的充分条件是 ET<\infty，并且 |M_k-M_{k-1}|\le C 几乎必然。此时
|M_{n\wedge T}|\le|M_0|+CT\in L^1,故停止族一致可积。有限区间赌博则由停止位置有界获得同一条件。两种控制并不相同，却都明确限制了极限可能藏匿的尾部。
对于非负上鞅与几乎必然有限的 T，有界抽样及Fatou只给出 EM_T\le EM_0，一般不能把不等号升成等号。若整个上鞅已一致可积，或相应停止族一致可积，可按相同极限程序保留适当的条件不等式。
16.11 首次到达为何天然适合这种语言
对适应的离散过程及可测状态集合 B，定义 T_B=\inf\{n\ge0:X_n\in B\}，约定空集的下确界为∞。因为
\{T_B\le n\}=\bigcup_{k=0}^n\{X_k\in B\},它总是停止时刻；从时刻1开始的首次返回也一样。若从停止时刻 S 以后再寻找一次命中，事件按 S=k\le n 分片、再取有限并，仍然只使用截至 n 的信息。
这解释了为什么返回可以反复使用，却没有假定“每次回来以后都独立重来”。停止时刻只保证规则合法，重新开始的分布是否仅由当前位置决定，是下一种额外结构的问题。
16.12 连续路径能告诉我们多少，不能告诉我们多少
第四章的粒子并不只在整数时刻出现。本章的离散定理不能直接代替连续时间抽样，但可以先清楚建立一个可测性事实。
设 X_t 是度量空间中的连续适应过程，C 为闭集。对固定 t，连续性与区间紧性给出
\{T_C\le t\}=\left\{\inf_{s\in([0,t]\cap\mathbb Q)\cup\{t\}}d(X_s,C)=0\right\}\in\mathcal F_t.所以首次命中闭集合法。若仅有右连续路径，对开集 O 则先有 \{T_O<t\}=\bigcup_{r\in\mathbb Q,\,0\le r<t}\{X_r\in O\}。在右连续滤过下，\{T_O\le t\}=\bigcap_m\{T_O<t+1/m\}\in\mathcal F_t。这些证明只处理所列路径类别与集合类别。
右连续路径碰闭集不能照抄第一个证明：路径可能在1以前趋近0，却在1跳到1，其距离下确界为0而没有碰到0。一般début定理还涉及更深的可测投影；本章没有把它当成显然，也没有假定任意鞅已经有右连续版本。连续时间抽样、通常条件与正则化仍须在采用相应路径理论时另证。
第十六章结语：规则合法，仍需能够清算
等到赢钱再走，不一定违反每一步的公平。真正危险的，是把有限期限的账本直接带到一个没有控制的终点：有时等待的平均长度无限，有时下注额把罕见损失放大，有时停止后的本钱缺少共同的可积控制。
停止时刻把“当时能不能决定”说清楚；一致可积性把“能不能在最后结账”说清楚。它们解决的是两个不同的问题。
而一次合法的返回，还留下了另一件没有保证的事。玩家重新回到同一个位置时，未来会不会仍记着此前怎样走到这里？若当前位置足以概括整段过去，一次停止便有可能成为一次真正的新开始。
史料与证明边界
本章的两种翻倍游戏、有限增量账本与反例是现代教学重建，不声称为某位历史作者原书中的同一表述。关于公平赌博进入现代鞅理论的背景，可参看第十五章已经列出的 Doob本人访谈。本章完整主证限于离散时间抽样；连续时间一节仅证明明示的首次命中可测性，没有预用Doob–Meyer或一般正则化。