Haobai Wang · 公开阅读版 · ch28-zh-3944dfdc0be7
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第二十八章：随机运动为什么能产生确定性方程？——半群、生成元与 resolvent
同一颗粒子的下一步可能无法预言，但若让许多粒子从同一个位置出发，某个观测量在稍后时刻的平均值往往有确定的答案。观测量可以是温度分布、终点收益，也可以是一块区域的平滑近似。把初始位置换掉，就得到一个新的函数：它记录从不同位置出发，未来平均会看见什么。
这一次，我们暂且不追着每一条路径走，而把注意力放到这些函数怎样改变。随机运动经过两个时间段，与先经过一段、再从新位置继续，必须相容；短时间的改变又应当留下局部运动的痕迹。困难在于，从这种痕迹重新得到完整运动，需要远比写出一个微分公式更多的信息。
28.1 把未来的平均值看作今天的函数
设状态空间为E，转移核为Pₜ。对有界Borel函数f定义Tₜf。这里自变量始终是出发位置，不是时间。函数f由我们选择；运动规则则把每一种选择变成新的函数。
T_t f(x)=\int_E f(y)P_t(x,dy)=E_x f(X_t).若f只取0和1，这就是到达一个事件的概率。允许一般函数，线性性、正性和上界都被保留下来：非负收益的期望非负，最大的可能收益不会被取平均放大。两个分布在所有有界Borel函数上给出同样积分时，它们相同；从核转向函数并没有丢失转移概率。
在可数链上，这是矩阵乘以列向量。在Brownian运动上，它是Gaussian核的卷积。在第27章的跳跃运动上，它仍然是平均，只是位移分布同时容纳了连续波动和跳跃。我们需要一种语言，让这几种平均成为同一种运算。
28.2 时间相接，为什么是算子相乘
P_{s+t}(x,B)=\int_E P_t(y,B)P_s(x,dy),\qquad T_{s+t}=T_sT_t,\qquad T_0=I.第17章的Chapman–Kolmogorov方程变成了半群关系。先对后面的t单位时间取条件平均，再对前面的s单位时间取平均，恰是完整未来的平均。Fubini先对非负函数成立，再作正负分解就证明上式。时间齐次性不可省：规则随日历时间改变时，应使用双参数演化，而不能强行只依赖时间差。
代数关系尚未说明短时间内变化是否小。一个满足代数关系的瞬间重新抽样规则，也可能完全不接近初始状态。必须选择函数空间，让“小时间”确实对应“小改变”。
28.3 为什么不在所有有界函数上求连续
即使完全确定的平移，在跳跃观测上也不会范数连续。半轴指标经任意正平移，某些位置的函数值始终相差1。这不是运动发生了不连续，而是观测仪器有一道锐利边缘。
T_t f(x)=f(x+t),\qquad f=\mathbf1_{[0,\infty)},\qquad \|T_t f-f\|_\infty=1\quad(t>0).本章固定E为局部紧Polish空间，使用实Banach空间C₀(E)：连续函数，且对每个正ε，绝对值至少为ε的点集紧。范数是上确界范数。观测在远处逐渐消失，也使非零绝对极值能够取得。E紧时，C₀(E)就是C(E)。一致Cauchy列有一致收敛的连续极限，无穷远消失性质也保留，所以空间完备。
称一族算子为C₀-Feller半群，若满足半群关系、保持正性、范数不超过1，把C₀映入自身，且有下述强连续性。“强”指每个固定函数的范数收敛，不是单位球上统一的算子范数收敛。
\lim_{t\downarrow0}\|T_t f-f\|_\infty=0\qquad(f\in C_0(E)).正性和压缩性允许总质量小于1，本章的算子约定先允许杀死。对应核在每个出发位置的总质量都为1时，另称保守。算子范数等于1不能代替这个逐点条件。
28.4 从Lévy位移到Feller半群
令Tₜf(x)等于f在x加Lévy位移后的期望。独立平稳增量给半群性。实空间的C₀函数一致连续：先在大紧集及其邻域内用一致连续，外部则用函数值很小。于是有模连续性估计。
\|T_t f-f\|_\infty\le\omega_f(\delta)+2\|f\|_\infty P(|X_t|>\delta).先令时间趋于0，再令δ趋于0，得到强连续。固定时间下，把位移限制在大球内，球外概率很小；出发位置趋于无穷时，球内所有终点的f值都很小。因此Tₜf仍在C₀。这里只用第27章的过程构造与随机连续性，不依赖稳定吸引域或Wiener–Hopf分类。
28.5 短时间变化率为什么需要定义域
平移的短时间变化率是导数，Brownian平均留下的是二阶导数。但连续函数未必能微分。若把生成元硬性定义在整个C₀上，我们从一开始就排除了想理解的运动。必须同时记录公式和它在哪些观测上有意义。
D(A)=\left\{f\in C_0(E):\lim_{h\downarrow0}\frac{T_hf-f}{h}\text{ exists in }C_0(E)\right\},\qquad Af=\lim_{h\downarrow0}\frac{T_hf-f}{h}.这是范数极限，要求所有出发位置的误差共同变小，结果仍连续且在无穷远消失。若f属于定义域，半群性把0时刻的导数搬到每个时间，左右差商给出下式。这里连续Banach值积分的Riemann构造与基本定理在T-OPERATORS实际建立。
T_t f-f=\int_0^tT_sAf\,ds,\qquad \frac{d}{dt}T_tf=AT_tf=T_tAf\quad(f\in D(A)).这才是随机平均产生确定性方程的精确意义。定义域内的初值给范数可微的经典解；其余初值先由半群本身给出连续演化，不能未经证明对它直接微分。
28.6 一个局部定义的算子，怎样仍能控制全空间
定义域不会只含少数光滑玩具。把任意f沿短时间平均，直接移动积分区间就算出其生成元。
f_t=\frac1t\int_0^tT_sf\,ds\in D(A),\qquad Af_t=\frac{T_tf-f}{t},\qquad f_t\longrightarrow f.所以定义域稠密。若fₙ与Afₙ分别在范数中趋于f与g，积分式传到极限，再除以t令t趋于0，就得f在定义域且Af=g。这称为闭性：同时逼近观测与变化率，不会得到不相容答案。闭不意味着有界；越来越陡而高度固定的函数，可有越来越大的导数。所需控制不是把A强行界住，而是找一个有界的反解运算。
28.7 随机检查时刻与折扣后的总观察
让仪器在独立指数时钟响起时才读取f。时钟速率为λ时，平均读数是λRλf；除去λ，则是晚到收益被指数折扣后的累计观察。
R_\lambda f=\int_0^\infty e^{-\lambda t}T_tf\,dt,\qquad \|R_\lambda\|\le\lambda^{-1},\qquad\lambda>0.这就是resolvent。它首先是时间方向的Laplace变换，不是任意加入的代数技巧。压缩性控制无穷尾，正性也直接保留。把Tₕ作用到积分后换元、分离初始小段并取差商，得到第一个逆关系。对定义域中的f，积分指数折扣的Tₜf导数，得到第二个；无穷端点由指数衰减消失。
(\lambda-A)R_\lambda f=f\quad(f\in C_0),\qquad R_\lambda(\lambda-A)f=f\quad(f\in D(A)).因此resolvent的值域恰是定义域。难以直接求导的平均运动，被一个对所有连续观测有界的逆运算记录。指数时钟把时间演化变成了线性方程。
28.8 不同折扣尺度上的一致性
R_\lambda-R_\mu=(\mu-\lambda)R_\lambda R_\mu,\qquad R_\lambda R_\mu=R_\mu R_\lambda,\qquad \lambda R_\lambda f\longrightarrow f\quad(\lambda\to\infty).前两式由逆关系相减得到。最后一个极限表示越来越快的检查只看到初始状态：分成0附近小段与指数尾，分别用强连续性和压缩性。完整运算见T-OPERATORS。整族resolvent必须共同满足约束，不能对每个λ随意挑选一个逆。
λ减小，观察时间拉长，却不保证存在长期平衡。圆周匀速转动永远振荡，折扣平均却趋于绕圆一周的平均。长度为1的圆周有下式。
\lambda R_\lambda f(x)=\frac{\lambda}{1-e^{-\lambda}}\int_0^1e^{-\lambda s}f(x+s)\,ds\longrightarrow\int_0^1 f(s)\,ds\quad(\lambda\downarrow0).若Tₜf本来在范数中趋于g，换元u=λt并控制收敛确有λRλf趋于g；旋转否定反向推论。λ=0处未折扣占有积分甚至可能无穷，一维Brownian对非零非负紧支撑函数就是如此，因为Gaussian密度在固定紧区间上具有t⁻¹ᐟ²量级的下界。
28.9 从局部规则，重新得到半群
反过来，只给稠密定义的线性算子A，不能先假设它来自过程。随机平均要求：f在x取得非负全局最大值时，Af(x)不大于0。这是正最大值原理。它是概率压缩性的局部影子，但不保证变化率方程有解。
本章证明的概率Hille–Yosida定理是：A把实C₀中的稠密线性域映到C₀，满足正最大值原理，并且某个正λ₀下(λ₀−A)的值域稠密，则A可闭，其闭包生成唯一正压缩强连续半群。先允许质量损失，保守性另证。
不能只引用生成定理，因为局部规则成为完整演化正是当前困难。正、负极值处的最大值原理先给下列估计，分别控制逆的范数与正性。可闭性和所有正λ下满值域的证明在配套文件中逐步建立；下面展示实际构造。
\lambda\|f\|_\infty\le\|(\lambda-A)f\|_\infty,\qquad\lambda\|f^-\|_\infty\le\|((\lambda-A)f)^-\|_\infty.28.10 Yosida近似：以随机检查替代无界变化率
A_\lambda=\lambda(\lambda R_\lambda-I),\qquad S_\lambda(t)=e^{tA_\lambda}=e^{-\lambda t}\sum_{k=0}^\infty\frac{(\lambda t)^k}{k!}(\lambda R_\lambda)^k.每次检查以λRλ更新，检查次数服从Poisson分布，近似半群便自动正且压缩。检查越密，定义域上的Aλf越接近Af。resolvent交换使这些有界近似交换，对它们的差积分求导得到直接Cauchy界。
\sup_{0\le t\le T}\|S_\lambda(t)f-S_\mu(t)f\|_\infty\le T\|(A_\lambda-A_\mu)f\|_\infty\longrightarrow0\quad(f\in D(A)).这一构造中，先将可闭的候选算子换成它的闭包，以下A指该闭包。先在稠密域取极限，再由压缩性扩到全空间。紧时间窗一致收敛保留半群性和强连续。最后以(λ−A)满值域排除极限生成元多出的定义域，证明它恰为A的闭包。完整证明与唯一性在T-OPERATORS，不借随机积分，也不预设路径已经存在。
28.11 哪些测试函数真正决定生成元
稠密测试能识别测度，却未必识别无界算子。除了f本身，还必须一起逼近Af。子空间D₀在下列图范数中稠密时称为core；它等价于一个正λ下的值域稠密。
\|f\|_A=\|f\|_\infty+\|Af\|_\infty,\qquad D_0\text{ is a core}\iff\overline{(\lambda-A)D_0}=C_0(E).证明是先逼近(λ−A)f，再用有界Rλ反解，同时逼近f与Af；反向由图范数连续性得到。只有正最大值原理不够：在(0,1)上令Af=f′，域为紧支撑光滑函数。下列非零连续泛函消去其值域，故值域不稠密。这里少的正是边界规则。
\int_0^1e^{-\lambda x}(\lambda f(x)-f^{\prime}(x))\,dx=0\qquad(f\in C_c^\infty(0,1)).28.12 同一个二阶公式，为什么不是同一个过程
在[0,∞)上，Brownian运动可以到0后永远停在0，也可以在0反射。内点短时间变化率都是二阶导数的一半；从0出发，一个不动，另一个立即散开。0在状态空间内，“停在0”不同于离开状态空间被杀死。令gₜ为方差t的Gaussian密度，Φ为标准正态分布函数，反射计算给出两种半群。
\begin{aligned}T_t^r f(x)&=\int_0^\infty[g_t(y-x)+g_t(y+x)]f(y)\,dy,\\T_t^a f(x)&=\int_0^\infty[g_t(y-x)-g_t(y+x)]f(y)\,dy+2\Phi(-x/\sqrt t)f(0).\end{aligned}吸收保留0使Af(0)=0，连续的二阶公式便要求f″(0)=0；反射要求f′(0)=0。不是凭直觉指定定义域：配套证明以Green核求出全部resolvent值域，严格得到下列等号，0处导数按单侧解释。
\begin{aligned}D(A_a)&=\{f\in C_0([0,\infty))\cap C^2([0,\infty)):f^{\prime\prime}\in C_0,\ f^{\prime\prime}(0)=0\},\\D(A_r)&=\{f\in C_0([0,\infty))\cap C^2([0,\infty)):f^{\prime\prime}\in C_0,\ f^{\prime}(0)=0\}.\end{aligned}在0附近恒定的光滑紧支撑函数，两种算子完全相同，且这类函数在C₀稠密，却不是任一个core。图范数怎样保留边界，见T-FELLER-EXAMPLES。形式微分公式遗漏的，可以是整个边界命运。
28.13 Lévy三元组成为函数上的规则
对紧支撑光滑f，第27章Gaussian、漂移和补偿跳跃留下如下生成元。Q是Gaussian协方差矩阵，b使用单位球截断。
Af(x)=b\cdot\nabla f(x)+\frac12\operatorname{tr}(Q\nabla^2 f(x))+\int_{\mathbb R^d\setminus\{0\}}[f(x+y)-f(x)-\mathbf1_{\{|y|\le1\}}y\cdot\nabla f(x)]\,\nu(dy).减一阶项使小跳余项成为二阶量。不减时绝对积分可能不存在，这与小跳普通求和失败是同一困难。证明先截断小跳，用有限Poisson级数和Gaussian Taylor展开求导，再以共同空间小跳L²最大界控制半群差、Taylor余项控制生成元差。截断积分式传到极限，才证明f真在定义域。详见T-FELLER-EXAMPLES。不把C₀外的复指数当域元素，也不未经图逼近就宣称光滑测试是core。
28.14 算子怎样重新变成概率核
算子生成尚未构造随机实验。固定t和x时，f↦Tₜf(x)是有界正泛函，必须证明它是一份测度的积分。所需Riesz表示只限于局部紧Polish空间上C₀的有界正泛函。配套证明在紧空间用有限分割构造离散测度，借第24章紧性取极限，再用一点紧化处理一般情形，不借未来一般随机测度理论。
开集指标由C₀非负函数单调逼近，故所得次概率测度对出发位置Borel可测，单调类扩到所有Borel集。半群关系与表示唯一性给Chapman–Kolmogorov，至此分析才还原为相容转移概率。
保守性仍须另证。紧E上，它等价于1在定义域且A1=0；非紧E的1通常不在C₀。一个充分条件是域中0≤fₙ≤1逐点趋于1，且生成元范数趋于0：积分式保证Tₜfₙ−fₙ一致趋于0，有界收敛便给核质量1。A=−I则生成指数杀死。第22章速率2ⁿ的纯生过程也说明，形式行和为0并不排除爆炸；形式A1=0不能代替实际保守性证明。
28.15 有限维规则还欠一条正规路径
以下先假设保守。第8章给具有这些有限维分布的坐标过程，但第23章表明有限维规则不能排除随机时刻的病态修改。仍欠一条在同一概率一事件上càdlàg的E值路径。resolvent提供沿路径可控制的观测：对非负f和λ>0，过程 e^{-\lambda t}R_\lambda f(X_t) 是超鞅，因为等待删去一段非负占有积分。
e^{-\lambda s}T_sR_\lambda f=\int_s^\infty e^{-\lambda r}T_rf\,dr\le R_\lambda f.取可数稠密非负f和整数λ，第15章穿越不等式在有限有理网格上排除无限振荡，使这些观测在每个实时间同时有有理左右极限。一点紧化提供聚点，分离观测使聚点唯一。但聚点暂时可能是无穷远，不能只凭每个确定时刻不丢质量就排除随机时刻逃逸。
28.16 保守性怎样共同控制整段路径
取紧支撑χₘ递增趋于1，令gₘ=αRαχₘ。保守性使0≤gₘ≤1逐点增到1。1减去折扣后的gₘ(Xq)是非负次鞅，有限网格最大不等式给出下界集的逃逸概率。
P_\pi\!\left(\inf_{q\in\mathbb Q\cap[0,T]}g_m(X_q)<\delta\right)\le\frac{1-e^{-\alpha T}E_\pi g_m(X_T)}{1-\delta},\qquad0<\delta<1.先选α小，再选m大，右边任意小；{gₘ≥δ}却是E内紧集。取误差趋0的一列紧集并取有限并使其递增，几乎每条有理路径在整个[0,T]都被其中一个紧集容纳。所有左右极限真正留在E。
以有理右极限定义新过程。配套证明以可数观测构造相容度量，用有限坐标及级数尾界证明càdlàg；强连续性给观测增量二阶矩趋0，证明固定时刻新旧过程几乎必然相等。详见T-FELLER-PATHS。范围是保守、局部紧Polish的C₀-Feller，不能扩称任意弱Feller核都已构造正规路径。
28.17 玩家选择的时刻，还能重新开始吗
固定初始律π并完成自然滤过。连续柱函数的Markov递推与第15章反向条件期望极限，证明该完成滤过右连续；配套文件给出细节。完成针对π，不能混称所有起始律共用同一完成。对有界停止时刻取向上二进近似，停止σ-代数中事件A可逐格使用确定时刻Markov性。
\tau_n=2^{-n}\lceil2^n\tau\rceil\downarrow\tau,\qquad E_\pi[\mathbf1_A f(X_{\tau_n+s})]=E_\pi[\mathbf1_A T_sf(X_{\tau_n})].先取f在C₀。左边用路径右连续，右边还需Tₛf连续，这正是Feller性质发挥作用之处。控制收敛后，用常数及单调类扩到有界Borel函数。无界τ用τ∧m局部化，只在τ有限的事件上陈述。
E_\pi[f(X_{\tau+s})\mid\mathcal F_\tau]=T_sf(X_\tau)\quad\text{on }\{\tau<\infty\}.递推处理多个未来时刻，有理坐标π–λ处理未来路径。停止状态可测性和开集首入合法性也在配套证明中完成。闭集首入不能不加论证地认作开邻域首入极限：跳跃路径可能只有左极限碰到闭集。
28.18 生成元的误差，怎样成为公平游戏
f在定义域时，将实际变化减去Af的时间积累，剩下的并非逐路径为0，而是条件公平的波动。
M_t=f(X_t)-f(X_0)-\int_0^tAf(X_s)\,ds.Markov性给f(Xₜ)的条件平均，条件Fubini给积分的条件平均，两者由半群积分式抵消，故M是càdlàg鞅。Af有界使条件积分合法。有界停止τ先在有限网格展开为过去可测指标乘鞅增量的和，再由右连续及统一确定界取极限，得到Dynkin公式，不循环引用未来一般连续时间抽样。
E_xf(X_\tau)-f(x)=E_x\int_0^\tau Af(X_s)\,ds.期望有限的τ也可用τ∧n通过极限，积分由范数乘τ支配。无此条件不能任意使用无折扣版本。网格证明见T-FELLER-PATHS。
28.19 停下以后，剩余resolvent是什么
令u=Rλf，便有(λ−A)u=f。由半群式直接证明折扣鞅，或对指数有限变差函数分部求和，都不需随机积分。任意停止时刻τ，包括无穷τ，遂有下式。
R_\lambda f(x)=E_x\!\left[\int_0^\tau e^{-\lambda s}f(X_s)\,ds+\mathbf1_{\{\tau<\infty\}}e^{-\lambda\tau}R_\lambda f(X_\tau)\right].先对τ∧n证明；积分被可积指数尾支配，无穷τ上的终端项被折扣压到0。resolvent分成停止前所得观察，加上从停止状态重新开始的剩余观察。它同时是线性方程的解和路径占有期望，边值问题因而获得了概率意义。
28.20 生成元究竟确定到哪里
闭的稠密算子连同定义域，满足生成条件时唯一确定强连续半群；正性给次概率核，保守性给概率核；局部紧Polish条件与Feller性质给E值càdlàg实现，网格逼近给强Markov。每一步增加不同内容。
“确定过程”首先是确定各初始律下有限维分布和càdlàg路径坐标σ-代数上的分布，不是在任意原概率空间上声称逐路径解唯一。少量测试函数上的形式算子也不自动满足生成条件。边界和爆炸反例说明混淆这些层次会给出错误唯一性。
能否只要求观测减去生成元积累以后都公平，就识别过程？这将引向后面的martingale problem。但本章的存在唯一性没有借用它。
28.21 随机路径留下的确定性读数
粒子轨迹可能跳跃，也可能连续且处处不可微；它对连续收益的平均作用却形成连续算子半群。生成元没有消灭随机性，它记录短时间平均；定义域保存哪些观察能够可靠读取这种变化，尤其保存边界。
resolvent使局部读数与整段时间相接：指数时钟平均、折扣占有和生成元的逆，是同一运算的不同身份。这些约束让我们真正从算子得到核、从核得到路径，而不只凭随机运动和方程的形式类比。
本卷在辨认离散记录保留什么，共同控制怎样带来真正路径。现在随机几何也有了确定性读数。若接下来关心的不只是典型路径，而是极少发生的整段偏离，弱收敛的尺度仍会太粗。路径空间已经建立，新的困难是衡量那些越来越难看见、却并非不可能的运动。
来源与证明范围
数学核对使用Engel与Nagel的A Short Course on Operator Semigroups及Schilling的作者讲义An Introduction to Lévy and Feller Processes。本章是本书问题主线下的现代重建，不声称复现原始发现顺序。一般增长半群、非局部紧状态空间、一般鞅问题及任意非保守过程的路径理论，不在本章已证范围。