Haobai Wang · 公开阅读版 · ch31-zh-56c35be4418f
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第三十一章：对一条不可导的随机路径怎样积分？——Itô integral、quadratic variation
把一小段变化乘上变化以前的位置，再把所有小段加起来。这似乎应当是一个熟悉的计算：位置乘速度的积分，最后留下位置平方的一半。即使速度不存在，也可以先写有限和，看看连续性是否足以把答案保留下来。
对Brownian路径，有限和本身就指出了不能忽略的部分。它不是一个为了修补计算而事后加上的误差项，而是每一步乘法已经留下、在细分以后仍然存在的量。
31.1 少掉的并不是一个趋于零的误差
令B为从0出发的标准Brownian运动，π为[0,t]的一份确定分割。只用平方差恒等式，尚未定义任何随机积分，就有
\sum_i B_{t_i}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})=\frac12\left(B_t^2-\sum_i(\Delta_iB)^2\right).若路径是连续有限变差函数，平方和至多为最大单步变化乘总变差，因而趋0。但第26章§26.11已经建立Brownian运动在固定终点、二进网格上的平方和趋于t。把那个结果用于这里，左端和的极限便不是半个平方，而是少了t/2。此处不再重讲平方增量的独立计算；新困难是怎样把这个极限建立为对随机系数都稳定的积分。
取右端值，有限和又增加了一整份平方和。若用两端位置的平均值，有限代数直接给半个平方。三者不是同一计算中的记号差别。
\begin{aligned} \sum_i B_{t_{i+1}}\Delta_iB&=\sum_i B_{t_i}\Delta_iB+\sum_i(\Delta_iB)^2,\\ \sum_i\frac{B_{t_i}+B_{t_{i+1}}}{2}\Delta_iB&=\frac12B_t^2. \end{aligned}普通Riemann–Stieltjes积分要求取点方式不改变答案，而这里两种端点选择留下相差t的极限。连续性没有失效；失效的是把每个二阶项都当作最终可以丢弃的小量。
31.2 在乘上增量以前，系数已经知道什么
本章沿用第30章满足通常条件的滤过，即完备且右连续。Brownian运动始终相对于这个滤过而言：B适应，且未来增量独立于当前信息，并有相应Gaussian方差。只有Gaussian边缘分布不够；若一开始就告诉观察者未来的B_t，下面的条件平均计算便不成立。
设在s时刻根据已有信息选定一个有界ξ，再把它乘上(s,t]中的增量。条件平均为0，条件平方平均则准确留下ξ²(t−s)。
E[\xi(B_t-B_s)\mid\mathcal F_s]=0,\qquad E[\xi^2(B_t-B_s)^2\mid\mathcal F_s]=\xi^2(t-s).第30章已经解释为何这类规则以可预测σ代数表达，这里只调用其矩形生成结论。现在多出来的认识是：事前可知不仅保证平均公平，还使不同时间段的误差在平方平均中正交。这会成为延拓积分的控制量。
31.3 先把有限个合法选择相加
取有界简单可预测过程H，每一格使用左端信息可测的随机系数。时间0的取值不影响积分。按有限和定义I(H)，并让当前格的增量随当前时间连续展开。
H_s=\sum_{i=0}^{m-1}\xi_i\mathbf1_{(t_i,t_{i+1}]}(s),\quad\xi_i\in L^\infty(\mathcal F_{t_i}),\qquad I_t(H)=\sum_i\xi_i(B_{t\wedge t_{i+1}}-B_{t\wedge t_i}).这是连续适应过程。对s<t，把每一段在s处分开：已结束的段不再变化，跨过s的段其系数已经在Fₛ中，之后才开始的段先条件到自身左端，再条件到Fₛ。每段未来增量的条件平均均为0，所以I(H)是真鞅，而不只是终值平均为0。
计算终值平方，较晚增量与其发生前的一切量正交，交叉项消失，留下等距。非网格终点同样把最后一格截断即可。
E I_T(H)^2=\sum_i E\xi_i^2(t_{i+1}-t_i)=E\int_0^T H_s^2\,ds.等距是一个存在机制：若两个简单规则在时间—样本空间中的平方平均距离很小，积分终值也同样接近。右边不需要先知道沿每条Brownian路径的积分是否存在。
31.4 完备性怎样同时保住连续性与鞅性质
令H可预测且E∫H²ds有限。可预测矩形生成P，所以有界简单可预测过程在相应L²空间稠密：先用矩形生成的集合代数逼近指标，再截断与阶梯逼近一般函数。这里用ds·P(dω)在可预测σ代数上的限制作为测度，不要求H是确定函数。
取简单Hⁿ逼近H。等距加Doob最大不等式给整段时间的控制，而不只控制每个固定时刻。
E\sup_{t\le T}|I_t(H^n)-I_t(H^m)|^2\le4E\int_0^T|H^n-H^m|^2\,ds\longrightarrow0.选一个最大范数相邻差可求和的子列，得到几乎必然一致收敛的连续路径。适应性由每个固定时刻的可测极限与完备性保留；L²条件期望的连续性保留鞅关系。原列按同一最大范数趋于这个过程，故极限与逼近无关。由此定义Itô积分，整个构造只用了条件正交、L²完备与最大估计。
I_t(H)=\int_0^t H_s\,dB_s,\qquad E I_t(H)^2=E\int_0^t H_s^2\,ds,\qquad E\sup_{t\le T}|I_t(H)|^2\le4E\int_0^T H_s^2\,ds.相同ds·P等价类给不可分辨的积分过程。一般逼近列得到的是L²最大范数收敛，因此也ucp收敛；只有所选误差可求和的子列被证明几乎必然一致收敛，不能把它写成全部逼近列的逐路径结论。ucp指每个有限T上，最大误差超过任意ε的概率趋0。
Brownian时钟没有时间原子，这还允许平方可积的渐进可测H选取可预测的ds·P代表。过去时间平均的完整证明给出这个扩展。因此选择可预测版本不是宣称它是唯一可能的形式语言；它给出了与信息顺序相容、并能推广到其他时钟的共同框架。
31.5 最初那个有限和，现在成为一个过程身份
取H=B。B连续适应，故可预测，且E∫₀ᵀB²ds=T²/2。左端阶梯逼近的能量误差至多T乘网格长度，所以其积分按刚建立的理论收敛。对每个固定t，开篇有限恒等式与第26章二进平方变差同时识别其极限；随后对有理t取共同零集，并用两侧连续性得到不可分辨的身份。
\int_0^t B_s\,dB_s=\frac12(B_t^2-t).这不是引用Itô公式后得到的例子，而是未来公式必须解释的事实。左侧是鞅，右侧若没有减去t就不会有恒定期望。路径平方的增长，不能全部解释成事前选择位置后获得的公平波动。
还可以在这里获得第26章固定终点结论之外的新控制。对任意确定分割π，令Qᵖₜ包含当前半格的平方增量。精确恒等式与等距给
E\sup_{t\le T}|Q^\pi_t-t|^2\le16E\int_0^T|B_{\pi(s)}-B_s|^2ds\le16T|\pi|,其中π(s)是该格左端。因此平方和按L²最大范数、从而ucp趋于时间；若一列网格长度可求和，Chebyshev与Borel–Cantelli还给几乎必然一致收敛。二进网格满足这个条件，任意趋细序列则不能仅凭这条估计声称几乎必然收敛。
31.6 同样逼近B，为什么仍可能得到错误的积分
左端阶梯Hᴸ与右端阶梯Hᴿ都在ds·P的L²中趋于B，因为每格内的Brownian增量方差不超过网格长度。但右端阶梯在该格结束以前使用了尚未出现的值，它不属于可预测逼近域。两份积分和相差的正是平方和，所以在固定t的L²意义下分别趋于下面两个答案。
\sum_i B_{t_i}\Delta_iB\longrightarrow\frac12(B_t^2-t),\qquad \sum_i B_{t_{i+1}}\Delta_iB\longrightarrow\frac12(B_t^2+t).不存在矛盾：等距只控制其定义域内的规则，不能因为两串函数在更大的乘积L²空间相近，就把其中一串不合法的有限和也放进同一延拓。这一次，信息条件不是给已有积分加一条道德解释；它决定了哪个线性算子正在被延拓。对称端点和的另一个答案也有意义，但不因此已经建立了一般Stratonovich理论。
31.7 若平方增长本身不是确定的时间
Brownian等距中的ds来自未来增量的条件方差。对一般连续鞅，这个增长率可能依赖路径，未必具有对dt的密度。不能把Brownian公式中的ds机械替换成一个猜测出来的波动率。我们先寻找能够补偿M²的累积过程。以下先以M₀=0记；一般平方可积初值的还原在配套证明末尾处理。
固定有限T，设M平方可积。条件Jensen给所有停止值Mτ²被 E[M_T^2\mid\mathcal F_\tau]控制；后者是一致可积族，所以M²为class D。第30章现在确实适用：存在唯一可预测递增càdlàg过程A，从0出发，使M²−A为鞅。记A为⟨M⟩，称可预测括号。
M_t^2-\langle M\rangle_t\text{ is a martingale},\qquad E\langle M\rangle_T=E M_T^2.这个定义先解决条件平均问题。它尚未证明A连续，也尚未证明A是路径平方和的极限。第一次阅读可以先把后面两节看作这两个对象相遇的机制；完整的有界估计、停止推广与协变差论证在配套证明连续展开，不以略去证明换取主线简洁。
31.8 不先借用一般积分，也能控制平方和
先令|M|≤c。在网格上仍可用有限项定义Jᵖ=ΣM左端·M增量。鞅增量的条件正交给E(J^\pi_T)²≤c⁴，平方和的代数身份随即给一致L²界。这里并没有给一般被积函数定义积分。
Q^\pi_t=M_t^2-2J^\pi_t,\qquad \|Q^\pi_T\|_2\le3c^2.比较两个网格，用共同细分上的有限正交计算。两个系数之差至多是M在最大网格长度δ内的振荡。将这个振荡与平方和分开作Cauchy–Schwarz，误差就能趋于0。
E|J^\pi_T-J^\eta_T|^2\le3c^2\bigl(E\omega_M(\delta)^4\bigr)^{1/2}\longrightarrow0.Doob最大不等式给连续鞅极限J。令Q=M²−2J，得到连续路径；去掉每份平方和当前未完格的项，只差一个趋0的振荡平方，剩余函数递增，故Q也递增。Q连续适应，因此可预测；M²−Q=2J为鞅。第30章唯一性终于使Q=⟨M⟩。这一步同时证明了可预测括号连续，而不是预先假定其连续。
31.9 路径平方变差与可预测括号，在这里被证明相等
对一般连续平方可积M，先停在|M|达到c的时刻，应用有界结论；分解唯一性保证停止括号相容。先令网格趋细，再令c趋于无穷，得到平方和的ucp极限。若M只是连续局部鞅，同样在有界退出时刻拼接。把这个极限记作[M]，称平方变差。
\sum_i(M_{t\wedge t_{i+1}}-M_{t\wedge t_i})^2\xrightarrow{\mathrm{ucp}}[M]_t,\qquad [M]=\langle M\rangle\quad\text{for continuous local martingales}.准确范围是：任意确定有限分割序列，只要网格长度趋0，不要求嵌套；还覆盖配套证明中有确定有限个停止分点、最大间距依概率趋0的版本。不覆盖用未来全路径任意挑出的非停止分割。对有界M，证明给L²最大范数收敛；一般平方可积M给固定终点L¹及ucp；一般连续局部鞅仅声明局部化后的ucp。几乎必然收敛须另外指定网格或可求和子列。
两个符号来自不同要求：[M]由细分路径的平方变化识别，⟨M⟩由平方过程的条件补偿识别。连续鞅使两条路线汇合，但相等是定理，不是命名习惯。
31.10 一个有跳跃的检验，防止把等号当定义
只回访第30章已经建立的Poisson补偿鞅L=N−λt，不再重讲到达的故事。独立增量给条件二阶平均λ(t−s)，所以L²−λt为鞅，可预测括号为λt。另一方面，每条有限时间路径只有有限个单位跳跃。网格足够细时每格至多一个跳跃，普通平方和留下N，而连续漂移的平方与交叉误差一致趋0。
[L]_t=N_t,\qquad\langle L\rangle_t=\lambda t,\qquad [L]-\langle L\rangle=L.这里的平方和包含当前格，截至t已经发生的跳跃立即被计入。误差至多2λ|π|N_T+λ²T|π|，逐路径趋0。若只数完整格，把跳跃延迟到下一网格点，便不能在一致距离下使用同一结论。这个新检验揭示的是观测到的平方变化与事前平均平方增长的区别；一般跳跃积分仍由第34章承担。
31.11 把dt换成一份已经证明存在的随机时钟
现在A=⟨M⟩已经是连续递增过程。对可预测H，平方可积性应当由A而非由dt衡量。在有限T、平方可积M下，定义可预测空间上的有限测度m_M；它允许条件方差在不同时段以不同速度累积，甚至没有dt密度。
m_M(E)=E\int_0^T\mathbf1_E(\omega,s)\,dA_s,\qquad \|H\|_{M,T}^2=E\int_0^T H_s^2\,dA_s.对简单规则定义同样的有限增量和。由M²−A为鞅，条件平均使每格的平方增量可换为A的增量；跨格正交仍然成立。因此
E\left(\int_0^T H_s\,dM_s\right)^2=E\int_0^T H_s^2\,d\langle M\rangle_s.可预测矩形在L^2(m_M)中的稠密性、等距和Doob估计给完整延拓，产生连续平方可积鞅。随机测度上的密度步骤不能直接照搬乘积测度假设，完整证明用m_M本身的有限性与P的生成元完成它。Brownian情形A=t正是此前构造，两个积分按简单规则一致性相同。
这份时钟差异可以真正看见。取标准Cantor概率ν，其支持集C的长度为0，但ν(C)=1；连续分布函数c(t)=ν([0,t])给一份没有dt密度的时钟。确定时间变换Mₜ=B_{c(t)}仍是连续平方可积鞅，条件增量方差直接证明⟨M⟩=c。完整构造只使用第5、8章已有的集合与独立序列工具，不用未来的随机时间变换定理。
于是确定可预测H=\mathbf1_C与0在dt下相等，却不在dc下相等：其能量为1，积分H·M恰是M，而不是0。普通时间的零集可以承载全部平方增长；因此一般积分的等价类必须按已经建立的括号时钟选择。
31.12 积分以后，平方增长怎样重新加权
若I=H·M，在一格内增量被乘上H_i，平方变化便被乘上H_i^2。对简单H逐格展开平方，使用M²−A的条件补偿，可得I²−∫H²dA为鞅。第30章唯一性给积分的可预测括号。
\langle H\mathbin{\cdot}M\rangle_t=\int_0^t H_s^2\,d\langle M\rangle_s,\qquad [H\mathbin{\cdot}M]=\langle H\mathbin{\cdot}M\rangle.从简单H到一般H还需要稳定性。协变差的Cauchy–Schwarz界控制积分鞅括号的变化，能量L²收敛控制右侧平方函数的积分变化，两边均可取极限。括号变换证明给出这些估计。不能把上式先当定义，再拿它反过来证明积分的存在。
31.13 两份运动共同留下的量
只研究各自的平方变化，还不能判断两份噪声一起推动某个量时的共同贡献。对连续局部鞅M,N，以共同网格的交叉增量和定义[M,N]。平方和极化给存在性；有限交叉和的双线性传给ucp极限。
[M,N]=\frac14([M+N]-[M-N])=\langle M,N\rangle,\qquad MN-\langle M,N\rangle\text{ is a local martingale}.协变差可以有正负，不能称为递增过程。不过它有局部有限变差；对平方可积M,N，MN−⟨M,N⟩还是真鞅。配套证明从⟨M+aN⟩的非负增量得到区间Cauchy–Schwarz，再得到路径总变差界。于是一般的混合积分也合法：
\langle H\mathbin{\cdot}M,K\mathbin{\cdot}N\rangle_t=\int_0^t H_sK_s\,d\langle M,N\rangle_s.独立Brownian坐标的乘积是鞅，故其交叉括号为0，而每个坐标的括号为t；不是简单因为“独立”这个词就把路径乘积误写为0。各坐标仍同时波动，消失的是交叉增量的累积极限。
31.14 在随机时刻停止，积分必须仍是同一份累积
局部化之前要证明停止身份。对取有限网格值的停止τ，有限和直接验证；对任意τ，用从右逼近的网格停止时刻，再用积分连续性与能量等距取极限，得到
(H\mathbin{\cdot}M)_{t\wedge\tau}=\bigl(H\mathbf1_{(0,\tau]}\mathbin{\cdot}M\bigr)_t,\qquad\langle M^\tau\rangle=\langle M\rangle^\tau.后一身份来自Doob–Meyer唯一性，所以使用停止积分器也得到同一过程。停止补证把这个相容性证明完整写出。
现在设M连续局部鞅，H可预测，每个有限T上∫H²d⟨M⟩有限几乎必然。停在|M|或累积能量首次达到n时，并限制时间不超过n；连续性保证停止时不超额。停止后能量期望有限，各积分由L²理论给出；停止身份使其在重叠部分一致，遂拼成连续局部鞅。这不是把“几乎必然有限”直接代入一个要求有限期望的定理。
31.15 两种可积条件，不能用同一个“有限”代替
令Z在初始时刻已知，与B独立，几乎必然有限但E|Z|=∞，取Hₛ=Z。每条路径在有限区间的能量Z²T有限，局部积分就是ZB。可是t>0时E|ZBₜ|=∞，它甚至不是可积随机变量，不能称为真鞅。局部平方能量保证局部构造，有限能量期望才给前面的平方可积鞅结论。
这个局部化可显式选择：在{|Z|>n}上停于0，其余路径停于时间n。对每条Z有限的路径，停止时刻最终趋于无穷。初始信息增加独立Z不破坏B相对于滤过的Brownian性质；若Z依赖未来B，则不能照用同一个理由。
另一个边界是终点能量无穷。取确定Hₛ=(T−s)⁻¹ᐟ²，s<T。每个t<T积分存在，且为方差log(T/(T−t))的Gaussian变量；这由确定简单函数逼近、Gaussian特征函数和等距得到。方差趋于无穷，使它落在任意固定有界区间的概率趋0，因此不可能在T拥有有限的依概率极限。局部存在不许我们越过能量爆炸的终点。
31.16 总变差与平方变差测量的是不同结构
若一个连续局部鞅也有局部有限总变差，则平方和被最大增量乘总变差控制，逐路径趋0；又由已证的ucp结论趋于[M]，故[M]=0。有界停止后E Mₜ²=E[M]ₜ=0，所以从0出发的过程恒为0。这是连续情形的结论，不能删除“连续”而否定31.10的Poisson补偿鞅。
在连续鞅上加一个连续适应的有限变差过程V，V自己的平方和趋0，而混合和由有限Cauchy–Schwarz界住，也ucp趋0。因此M+V与M有同样的平方变差。线性累积与二阶波动在这里被区分，而不是被相互抵消。这个机制将是非线性变量变换的前置数学，不是对未来公式的借用。
31.17 一份积分，保留了时间顺序和二阶变化
最初那串左端和没有逼近普通微积分猜出的半个平方。现在我们知道，差别来自一份真实保留下来的平方变化，也知道左端不是任意的排版选择：它让系数在增量发生以前确定，因而条件正交性能够把有限和延拓成稳定的连续鞅。
对一般连续鞅，条件补偿与路径细分又识别出同一条随机时钟。它告诉我们，累积误差应当按什么量衡量，规则的平方可积性为什么不总由普通时间决定，以及改变规则以后平方增长如何重加权。我们没有为每条粗糙路径凭空添上一条速度，而是建立了一个同时依赖路径变化、概率平均与信息顺序的积分。
这也限制了我们的结论。连续情形下两种括号相等，并不抹去跳跃时实现值与事前平均的区别；L²或ucp极限也不自动成为任意网格上的逐路径极限。数学认识的改变不是“随机积分拥有某条神奇规则”，而是过去被一起丢掉的取值时间、二阶项与收敛方式，如今都必须成为计算的一部分。
下一步若把同一运动放进一个非线性函数，单靠一阶近似还会漏掉什么？平方函数已经留下t这一份证据。需要解释它怎样随函数改变，而不能再把二阶项一概送进误差。
来源与证明范围
Itô的《Stochastic Integral》发表于1944年，原文见期刊档案，英文著作目录亦由日本数学会保存。本章采用现代滤过、可预测域与Hilbert延拓语言，不把现代证明重建称为原文的逐步复现。连续鞅论证可与Tehranchi作者讲义核对；本章及配套文件实际给出所调用的估计与极限，不以外部文献替代主证。
本章实际范围是Brownian及连续（局部）鞅的可预测平方能量积分、括号、协变差、停止与局部化，另给Poisson括号区别的有限变差计算。完整Itô公式、SDE、一般跳跃半鞅及BDG全范围不在本章自动取得；一般可测投影、section、début也未作为隐藏前提。