返回分节阅读
第二十一章：没有记忆的等待时间
一小时里来了三个人。这句话没有告诉我们，三个人是一起出现，还是各自独立地走进门；也没有告诉我们，已经等了五十分钟还没有人来以后，最后十分钟是否仍与最初十分钟一样。次数相同，时间记录可以很不相同。
稀有机会的累积已经给过我们一份 Poisson 分布。现在要研究的不是再算一次这份分布，而是给不同长度、不同位置、彼此相接的时间窗口安排一套共同的概率。等待的规律会约束窗口之间的关系，窗口之间的关系也会反过来决定等待。
21.1 计数留下了什么，又遗失了什么
把一段长度为 t 的时间分成 n 个小格，每格独立地以 λt/n 的概率出现一次到达。这里 λ>0，n 足够大。第十三章的稀有事件极限给出总次数的 Poisson 近似。但如果要同时研究前半小时和后半小时，就必须保留各小格位于哪里，而不只是保留全体 Bernoulli 变量的和。
P\{N(t)=k\}=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!},\qquad k=0,1,\ldots .这条式子只是一个时刻的分布要求。给每个 t 都写出它，并没有指定两个时刻怎样共同出现。第八章构造无限实验时遇到的相容性问题，在这里有了具体的时间形状。我们可以从小格极限着手，但还要证明极限路径存在、不会在有限时间堆积无穷多次到达。另一条更直接的路，是先构造相邻到达之间的等待。
第十九章已经给出一般更新过程：一次等待结束，独立地抽取下一次等待。可是，一个新的周期与一个新的时刻并不是同一回事。若等待总是恰好一小时，已经等了五十分钟就是十分重要的信息；更新点之间彼此独立，并不能使任意两个时间窗口的计数独立。
如果只检验增量独立，可以用一个不退化的更新反例。取 iid 等待均匀分布于 (1,2)。到时刻2几乎必然恰有一次到达；它落在 (0,3/2] 或 (3/2,2] 的概率各为1/2。两个窗口各自“有一次”的事件互斥，联合概率为0而非1/4。因此更新周期的独立，确实不足以推出时间窗口的独立。
21.2 已经过去的时间能否失去作用
设 W 是一次严格正且几乎必然有限的等待。写 B(t)=P(W>t)。在已经等过 s 而到达尚未发生的条件下，再等 t 的概率是 B(s+t)/B(s)。若希望时钟走到任何位置以后都能从头使用同一条等待规则，就需要这个比值仍等于 B(t)。无记忆性正是这个要求，不是“未来没有原因”的哲学判断。
P(W>s+t\mid W>s)=P(W>t),\qquad s,t\ge0,\quad P(W>s)>0.先看看它排除了什么。若 W 在 (0,1) 上均匀分布，0≤s<1 且 0≤t<1−s 时，上述条件概率等于 (1−s−t)/(1−s)。它随着 s 改变。等待的最大长度已经限制了未来；一个较老的周期不可能继续像新周期那样等待。
这个要求严格到足以唯一决定分布。由于 W>0，B(h) 随 h↓0 趋于1，因此在某个原点邻域内为正。把任意 t 分成足够多的小段，反复使用无记忆等式，得到 B(t)=B(t/n)ⁿ>0；所以条件概率对每个有限 s 都有意义，并且 B(s+t)=B(s)B(t)。
g(t)=-\log B(t),\qquad g(s+t)=g(s)+g(t),\qquad g(t)\ge0.g 单调不减。令 λ=g(1)，可加性先给出所有非负有理数 q 上的 g(q)=λq；再从左右用有理数逼近任意实数，单调性给出 g(t)=λt。W 几乎必然有限使 B(t)→0，排除了 λ=0。因此严格正、几乎必然有限的无记忆等待，恰好是参数 λ>0 的指数分布。反向代入立即验证无记忆性。这里不需要假定密度存在；密度是结论。
B(t)=e^{-\lambda t},\qquad f_W(t)=\lambda e^{-\lambda t}\mathbf1_{(0,\infty)}(t),\qquad EW=\frac1\lambda.均值由第六章尾积分公式得到。若允许 W=∞，λ=0 可以解释为永不到达；它不是一个有限等待分布。几何分布则在整数时钟上无记忆，把它放到连续时间并不会自动满足所有实数 s、t 的等式。连续时钟本身已经参与了分布的选择。
21.3 先把整条到达记录造出来
在第八章已经建立的可数乘积概率空间上，取独立同分布的指数等待 W₁,W₂,…。从第一个等待开始，逐段接上时间。令 S₀=0，Sₙ=W₁+⋯+Wₙ，并用 N(t) 记录截至 t 已经完成的等待次数。端点约定很重要：到达恰好发生在 t 时，它已经计入。
N(t)=\sum_{n\ge1}\mathbf1_{\{S_n\le t\}},\qquad \{S_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}.必须先证明这个和在有限 t 处有限。任取 δ>0，独立事件 {Wₙ≥δ} 的概率都是 e^(−λδ)>0。第七章 Borel–Cantelli 的独立方向保证它们几乎必然出现无穷多次。每出现一次，Sₙ 至少增加 δ，因此 Sₙ→∞。所有等待严格正也在一个共同的概率一事件上成立，因为只需排除可数多个零事件。
以下把概率空间限制到这个可测的满概率子空间，使用迹 σ-代数和限制后的概率。全部有限维独立分布保持原样，而任意有限区间现在在每个样本上都只有有限个到达。N 的路径单调不减、右连续，有左极限，每次只跳1，且 N(0)=0。这就是简单、局部有限计数路径。N(t) 是可数个可测指标的和，因而可测；部分和 Sₙ 与计数的事件恒等也处处成立。这一处理让随后原始自然滤过中的停止时刻证明不依赖未经说明的完备化。非爆炸已被证明，而不是藏在符号 max 里面。
等待序列是构造材料，到达时刻是它的累计和，阶梯计数是同一记录的另一种阅读方式。它们不是三个互不相关的模型。接下来需要证明，这份记录恰好能产生我们原本希望的窗口规律。
同一记录的三种表达。 图中等待为0.6、1.1、0.4、1.3、0.8，到达时刻为0.6、1.7、2.1、3.4、4.2；(0,2]、(2,4]、(4,5] 分别计数2、2、1。实心点是到达时采用的跳后值，空心点表示不采用的跳前值。数据是确定性示意，不是抽取的 Poisson 随机样本，也不证明独立增量。没有画出的下一段等待尚未结束。矢量出版图 PDF 与 SVG 来自同一组精确参数。
21.4 有序时间区域里的一次抵消
先固定 t>0，要求恰好发生 n 次到达。若前 n 个到达位置是 0<s₁<⋯<sₙ≤t，那么前 n 次等待的联合密度通过三角线性变换变为 λⁿexp(−λsₙ)，Jacobian 为1。还要保证下一次等待超过 t−sₙ；独立性再乘上 exp(−λ(t−sₙ))。依赖最后到达位置的指数因子恰好抵消了。
P\{(S_1,\ldots,S_n)\in d\mathbf s,\ N(t)=n\}=\lambda^n e^{-\lambda t}\mathbf1_{\{0<s_1<\cdots<s_n<t\}}\,d\mathbf s.这是对 Borel 子集的密度等式，不是给某个精确时间点分配正概率。积分中把 ≤t 写成 <t 不改变结果：有限个连续随机变量恰好等于 t 的概率为0。n=0 时直接使用 P(W₁>t)=e^(−λt)。
有序区域的体积是 tⁿ/n!。可以把立方体 (0,t)ⁿ 按 n! 种严格坐标顺序分割，对角线体积为0；也可以用 Vₙ(t)=∫₀ᵗVₙ₋₁(s)ds 从 V₀=1 归纳得到。积分上述常数密度，于是得到 Poisson 质量函数。此处没有对过程作任何极限假设。
P(N(t)=n)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!},\qquad EN(t)=\lambda t,\quad \operatorname{Var}N(t)=\lambda t.均值与方差可以逐项对指数级数计算，也可使用第十三章的母函数。计数平均值 λt 现在是构造的结果，λ 才真正获得单位时间到达率的含义；它不表示每一条路径在每一小段时间里都以恒定速度增加。
21.5 为什么不同窗口真的能够独立
只算完 N(t) 还不够。取 0=t₀<t₁<⋯<tᵣ=t，指定第 j 个窗口 (tⱼ₋₁,tⱼ] 恰好有 nⱼ 次到达，总数 n=Σnⱼ。在上一节的有序区域中，把前 n₁ 个位置限制在第一窗，后 n₂ 个限制在第二窗，依此类推。窗内位置仍要排序，但窗与窗之间的顺序已经自动满足。
\begin{aligned}P\{N(t_j)-N(t_{j-1})=n_j,\ 1\le j\le r\}&=\lambda^n e^{-\lambda t}\prod_{j=1}^r\frac{(t_j-t_{j-1})^{n_j}}{n_j!}\\&=\prod_{j=1}^r e^{-\lambda(t_j-t_{j-1})}\frac{[\lambda(t_j-t_{j-1})]^{n_j}}{n_j!}.\end{aligned}非负积分允许按乘积区域用 Tonelli 分离。这条联合概率的因式分解，才证明了不交窗口的计数独立；每个因子只依赖窗口长度，才证明平稳增量。对于中间留有空隙的不交窗口，把空隙也放进分割，再对其中的计数求和即可。
因此，一个速率 λ>0 的齐次 Poisson 过程，可以用本章的指数等待构造，也可以描述为从0出发、具有 Poisson 增量的独立平稳增量计数过程。λ=0 时取恒为0的过程。“齐次”指时间平移不改变增量分布；仅仅独立而速率随时间变化的到达，不属于这个齐次模型。
细分 Bernoulli 小格的思想也在这里获得精确位置。对有限个给定窗口，分别把每窗分成越来越细的小格，独立设置每格成功率 λΔ，其中 Δ 是格长。每窗的二项计数由第十三章趋于相应 Poisson 分布；不同窗口的联合质量是各质量的乘积，故趋于上式。这解释了有限维稀有事件近似，却不冒充路径空间收敛的证明。路径已经由等待构造另行建立。
除特别讨论零速率的段落外，以下继续取 λ>0，并保留上述简单右连续路径约定。我们讨论的是整个过程的联合律，而不只是为每个时刻单独挑选一个 Poisson 随机变量。
21.6 历史信息不只是最后一个计数
在时刻 s，我们可能已经看见此前全部到达位置，而不只是知道 N(s)。令 Fₛ⁰=σ(N(u):0≤u≤s)，这是计数过程的原始自然滤过。要说未来不依赖历史，需要证明未来增量向量独立于整个 Fₛ⁰。单独证明它与 N(s) 独立还不够。
固定未来时刻 0≤v₁<⋯<vₖ，并取历史中有限个时刻 u₁,…,uₘ≤s。把这些时刻、s 与 s+vᵢ 放入同一分割，上一节已经证明相应增量独立，所以未来向量与这些有限历史坐标独立。历史柱集构成生成 Fₛ⁰ 的 π 系。对固定未来 Borel 事件，满足独立等式的历史事件构成 λ 系；第五章的配套 π–λ 证明于是把等式扩展到整个 Fₛ⁰。
E\!\left[f\bigl(N(s+v_i)-N(s):1\le i\le k\bigr)\mid\mathcal F_s^0\right]=E f\bigl(N(v_i):1\le i\le k\bigr).等式对任意有界 Borel 函数 f 成立，由指标函数再经简单函数逼近得到。以下都使用这份滤过，除非特别说明；没有把连续时间的一般正则化偷偷放进来。自然滤过的完备化也不改变这些条件期望等式，但任意扩大信息则可能改变它们。
21.7 独立平稳增量能否反过来迫使 Poisson 分布
暂时忘记指数等待，只假定 N 从0出发，在一个共同的概率一事件上具有简单、局部有限、右连续的非减整数路径，并有独立平稳增量。是否还必须另外指定 Poisson 分布？“每次只到一个”与短时间的规律之间，藏着需要证明的一步。
令 q(t)=P(N(t)=0)。非减性与独立平稳增量给出 q(s+t)=q(s)q(t)。右连续与 N(0)=0 使 N(h)→0 几乎必然，因而 q(h)→1。和指数等待的证明一样，q 在所有有限 t 为正，单调可乘性给出 q(t)=e^(−λt)，某个有限 λ≥0。到这里仅仅确定了空窗概率，尚未排除到达成簇。
写 p₂(h)=P(N(h)≥2)，n=⌊1/h⌋。在任意一条局部有限简单路径上，[0,1] 中只有有限多个互异到达。它们的最小间距为正，不足两个时不需取最小值；所以 h 足够小时，没有任何长度 h 的小格能含两个到达。令 Bₕ 为前 n 个小格中至少一个含两个到达的事件；其指标逐路径趋于0。控制收敛给出 P(Bₕ)→0，而窗口独立给出精确等式。
P(B_h)=1-[1-p_2(h)]^{\lfloor1/h\rfloor}\longrightarrow0,\qquad p_2(h)=o(h).后一结论可以直接核对：若沿某子列 n p₂(h)≥ε>0，则 (1−p₂(h))ⁿ≤e^(−ε)，矛盾；再用 nh→1。于是一次到达的概率为 λh+o(h)，两次以上的概率为 o(h)。简单路径在这里真正排除了批量跳跃，而不只是提供一幅好看的阶梯图。
P(N(h)=0)=1-\lambda h+o(h),\qquad P(N(h)=1)=\lambda h+o(h).对 0≤z≤1，令 Gₕ(z)=E zᴺ⁽ʰ⁾，约定 0⁰=1。至少两次到达部分对母函数的贡献绝对值至多 p₂(h)，故 Gₕ(z)=1−λh(1−z)+o(h)。把固定 t 分成 m 个相等窗口，独立平稳增量使 Gₜ(z)=Gₜ/ₘ(z)ᵐ。因此：
G_t(z)=\lim_{m\to\infty}\left[1-\frac{\lambda t(1-z)}m+o(m^{-1})\right]^m=e^{-\lambda t(1-z)}.第十三章母函数唯一性识别出 Poisson(λt)，全部有限维分布再由独立增量确定。这证明了反向刻画。λ=0 时每个有理时刻的计数几乎必然为0；可数交集加右连续性使整条路径恒为0。若允许一次跳2，令 N=2Q，其中 Q 是 Poisson 过程，便保留独立平稳增量，却失去 Poisson 计数。简单性不能删去。
21.8 同样的 Poisson 边缘，仍能有不同的时间关系
甚至保留简单右连续路径，也不能从单时刻分布推出独立增量。下面把所有时刻绑在同一个随机数上。取 U 在 (0,1) 均匀，令 Fₖ(t) 为 Poisson(t) 的累积分布，并定义共同分位数过程。严格不等号是为了在跳跃时采用右连续取值。
F_k(t)=e^{-t}\sum_{j=0}^k\frac{t^j}{j!},\qquad \widetilde N(t)=\min\{k\ge0:F_k(t)>U\}.固定 t 时，P(Ñ(t)≤k)=Fₖ(t)，所以边缘确是 Poisson(t)。固定 0<U<1 时，每个 Fₖ 从1严格连续下降到0，且 Fₖ₊₁(t)>Fₖ(t) 对 t>0 成立；各方程 Fₖ(t)=U 的根严格递增。根不可能在有限 T 内堆积，因为 Fₖ(T)→1>U。因此这也给出简单、局部有限、右连续的计数路径。
P\{\widetilde N(1)=0,\widetilde N(2)=1\}=e^{-1}-e^{-2}\ne e^{-2}=P\{N(1)=0,N(2)=1\}.左边来自 U 同时落在 (0,e⁻¹) 和 [e⁻²,3e⁻²) 内；3e⁻²>e⁻¹。右边则是独立的两个单位窗口恰为0与1次的乘积。问题不在路径能否画出来，也不在每个时刻的分布是否正确，而在不同时刻的随机性怎样共同安排。
21.9 从计数记录找回独立等待
反向刻画已经给出所有计数的有限维分布，接下来还要找回等待之间的独立性。仅仅说首个空窗有指数概率不够：它只确定第一段等待。为避免先借用一般连续时间强 Markov 定理，可以利用第八章的可数坐标唯一性。
把原过程与第3节构造的过程，都限制到非负有理时间。有限维分布相同使它们在可数乘积空间上有相同的概率律：柱集是 π 系，测度唯一性将一致扩展到乘积 σ-代数。每个到达时刻都是这些有理坐标的可测函数。
S_n=\inf\{q\in\mathbb Q_{\ge0}:N(q)\ge n\},\qquad \inf\varnothing=\infty.可测性由 {Sₙ<a}=∪_{q<a,q∈Q}{N(q)≥n} 核对。局部有限右连续简单路径保证下确界就是第 n 次实际到达。λ>0 时，P(N(t)<n)→0 随 t→∞ 成立，故每个 Sₙ 几乎必然有限；再取可数交集。于是 (Sₙ−Sₙ₋₁)ₙ 的联合律与独立指数等待相同。结论是过程律与等待律的等价，不是两份不同概率空间上的样本逐条相等。
指数等待构造、独立平稳 Poisson 增量描述、以及简单局部有限路径加独立平稳增量的刻画，至此才真正闭合。等待路线便于造路径，窗口路线便于条件预测，反向刻画则说明路径假设如何限制短时概率。
21.10 知道总数之后，到达位置怎样分布
第4节的抵消还留下另一份信息。给定 N(t)=n≥1，把到达密度除以这个事件的概率，λ 消失了。条件联合密度只是在有序单纯形上恒为 n!/tⁿ。
f_{S_1,\ldots,S_n\mid N(t)=n}(\mathbf s)=\frac{n!}{t^n}\mathbf1_{\{0<s_1<\cdots<s_n<t\}}.这恰好是 n 个独立 Uniform(0,t) 变量排序后的密度。未排序向量在立方体上密度 t⁻ⁿ，除去零概率并列后，n! 个坐标置换映到同一个有序区域，每个 Jacobian 都为1。因而在已经知道总次数时，到达位置像独立均匀撒下再排序；无条件时，先抽 Poisson 总数，再如此撒点，也得到同一有限窗口的记录。
有序到达本身并不独立：S₁≤S₂ 已经是一条约束。知道 N(t)=n 后，不同子窗计数也一般不独立，而服从多项分配。独立窗口是未给定总数时的性质；条件化会把它们通过固定总和联系起来。这与第十章强调的条件分布视角一致。
21.11 等待已经很久，剩下的等待仍从头开始吗
在任意确定时刻 s，下一次到达的余寿命 Rₛ=S_{N(s)+1}−s。对于 r≥0，{Rₛ>r} 就是 (s,s+r] 为空窗。第6节已经证明它独立于 Fₛ⁰，故条件尾概率为 e^(−λr)。这比单次指数等待的代数等式更强：到此为止整份已见记录，都不改善这项未来预测。
P(R_s>r\mid\mathcal F_s^0)=e^{-\lambda r},\qquad E(R_s\mid\mathcal F_s^0)=\frac1\lambda.也可以从更新过程一侧精确说明为何指数分布特殊。设严格正有限 iid 周期的普通更新过程满足 Sₙ→∞，且从0开始具有独立平稳增量。空窗概率 P(N(t)=0)=P(W₁>t) 因窗口独立而可乘。第2节立即迫使周期为指数分布。反向已完整证明。所以在这个明确范围内，指数更新与独立平稳增量确实等价；不是只靠“重启”的措辞得到等价。
无记忆并没有消除第十九章的长度偏置。一个按典型时间观察的平稳指数更新区间，完整长度仍有长度偏置密度 λ²ℓe^(−λℓ)，均值 2/λ，而按到达抽取的周期均值为1/λ。典型时刻的年龄与余寿命独立且都为 Exp(λ)：代入第十九章联合密度 f(a+r)/μ，得到 λ²e^(−λ(a+r))，在 a,r>0 上因式分解。余寿命像新等待，不表示包含观察时刻的整个区间像新周期。
上段是第十九章平稳构造下的结论，不能误用于从0开始、到有限 s 时的完整年龄分布；后者还可能处在第一段等待中。两种观察方式有不同初始条件。未来可以不记年龄，观察到的整个周期仍可能偏长。
21.12 减去平均到达以后，留下怎样的公平
计数总在增长，不能本身成为公平游戏。但是固定长度窗口的平均新到达数等于 λ 倍窗口长度，而且这项平均不受已见历史影响。减去确定性增长线，就得到第十五章的条件公平在连续时钟上的一个具体实例。
M_t=N(t)-\lambda t,\qquad E(M_t\mid\mathcal F_s^0)=M_s,\quad 0\le s\le t.M 适应、每个时刻可积且右连续。证明只需把 Mₜ 写成 Mₛ 加上 N(t)−N(s)−λ(t−s)，再用第6节独立性与均值；没有使用 Doob–Meyer 分解。若记 Δ=N(t)−N(s)，独立性与 VarΔ=λ(t−s) 还给出 E[(Δ−λ(t−s))²|Fₛ⁰]=λ(t−s)，交叉项条件平均为0。
这里把第十五章的鞅定义用于所有实数 0≤s≤t：每个时刻可积、适应，并满足上述条件平均等式。参数从整数变成实数，并不自动附带所有离散时间定理；当前只证明这两个具体过程满足定义。
E\bigl(M_t^2-\lambda t\mid\mathcal F_s^0\bigr)=M_s^2-\lambda s,\qquad EM_t^2=\lambda t.所以 Mₜ²−λt 也是鞅。减去平均以后仍有波动，其二阶大小按时间线性累积。本章只建立这个特殊补偿计数鞅，不把它宣称为一般随机积分或一般补偿理论。
公平仍依赖信息。若在时刻0就告诉观察者“直到 t₀ 都不会有人来”，并把这件未来事件加入初始 σ-代数，那么在该事件上 Mₜ₀=−λt₀。它的条件期望不可能仍为 M₀=0。过程分布没有改变，鞅性质却因观察者预先知道什么而改变；“补偿以后公平”从来不是脱离滤过的陈述。
21.13 在观察决定的时刻重新开始
确定时刻的重启，尚不足以解释“等到第三个人来以后再观察”。这次时刻由记录决定。我们只为已经构造好的 Poisson 过程证明停止性质，不先调用下一章一般连续时间 Markov 理论。令 τ 是相对于 Fₜ⁰ 的几乎必然有限停止时刻，按第十六章事件条件定义 Fτ。
在可能存在的零事件 {τ=∞} 上，把停止后增量以及 N(τ) 约定为0；所有关于未来的等式都是几乎处处等式，不计算 ∞−∞。下面的格点求和覆盖 {τ<∞}，其概率为1。
\mathcal F_\tau^0=\{A\in\mathcal F_\infty^0:A\cap\{\tau\le t\}\in\mathcal F_t^0\text{ for every }t\ge0\},\qquad \mathcal F_\infty^0=\sigma\!\left(\bigcup_{t\ge0}\mathcal F_t^0\right).从上方用二进格逼近 τ：τₘ=2⁻ᵐ⌈2ᵐτ⌉。每个 τₘ 也是停止时刻，且 τₘ↓τ。若 A∈Fτ，则 A∩{τₘ=jh}∈Fjh，h=2⁻ᵐ：j≥1 时它是 A∩{τ≤jh} 与 A∩{τ≤(j−1)h} 的差，j=0 单独使用 {τ=0}。因此可在每个格点使用确定时刻独立性，再对 j 求和。
E\!\left[\mathbf1_A f\bigl(N(\tau_m+v_i)-N(\tau_m):1\le i\le k\bigr)\right]=P(A)\,E f\bigl(N(v_i):1\le i\le k\bigr).格点求和的绝对值由 ‖f‖∞ΣP(A∩{τₘ=jh}) 控制，即使 τ 无界也合法。右连续性在一个共同路径事件上保证 N(τₘ+vᵢ)→N(τ+vᵢ)，也保证 N(τₘ)→N(τ)。整数值收敛的有限向量最终相等，所以任意有界 Borel f 都可逐路径取极限，无需假定 f 连续。控制收敛得到同一个等式，τₘ 被 τ 取代。
这证明 τ 以后的增量过程与 Fτ 独立，且和从0开始的过程同律；从有限未来柱集到全部未来坐标仍用 π–λ。随机取值 N(τ) 的可测性也可核对：{N(τ)≥j}={τ<∞,Sⱼ≤τ}。与 {τ≤t} 相交后，写成 {Sⱼ≤t}∩{τ≤t}∩{Sⱼ∧t≤τ∧t}，各项都在 Fₜ⁰ 中。因此停止时的当前计数确实属于停止信息。
每个 Sⱼ 都是停止时刻，因为 {Sⱼ≤t}={N(t)≥j}。所以不只在到达点，也在任何上述有限停止时刻获得独立未来。这不包含“在无穷远以后再开始”，也不允许把回顾整段未来之后选出的时刻冒充停止时刻。信息的方向与第十六章完全一致。
21.14 独立着色为何能拆出独立的到达流
每次到达还可以带有一种类型。让类型与到达过程独立，每次独立地以概率 p₁,…,pᵣ 选择一种颜色，Σpᵢ=1。这可在原概率空间上再乘一个可数 iid 标记空间实现。记 Nᵢ(t) 为第 i 类累计到达数。独立标记控制的是整列类型，不只是每个类型的边缘比例。
在长度 h 的窗口里，给定原计数为 n，类型计数是多项分布。令 k₁+⋯+kᵣ=n，把 Poisson 质量与多项质量相乘，n! 恰好约掉。零概率类型恒无到达，公式以 0⁰=1 约定解释。
P\{N_i(s+h)-N_i(s)=k_i,\ 1\le i\le r\}=\prod_{i=1}^r e^{-\lambda p_i h}\frac{(\lambda p_i h)^{k_i}}{k_i!}.还必须检查不同窗口之间。给定原过程的所有到达位置，不交窗口选中的标记下标互不相交；这些随机下标只由到达记录决定，与标记独立。因此条件于位置，各窗标记分配独立且只依赖本窗总数。再对已经独立的各窗 Poisson 总数积分，得到所有窗口、所有颜色的联合质量完全因式分解。柱集唯一性遂给出 r 个过程彼此独立，各自速率 λpᵢ。
这就是独立稀释。若只保留概率 p 的一种颜色，留下速率 λp 的过程。但把奇数次到达染红、偶数次染蓝不满足条件：每种颜色的相邻间隔由两个指数等待相加，红蓝还被交替次序约束。类型比例看起来各占一半，不能代替独立标记。
21.15 合并以后，为什么仍是同一种过程
取有限多个彼此独立的 Poisson 过程，速率 λ₁,…,λᵣ，令 N=ΣNᵢ。有限区间的总到达数有限。不同时刻窗口的增量独立，因为它们由彼此独立过程中的独立窗口变量组成；各窗口的 Poisson 和由第十三章母函数计算得速率之和。
\Lambda=\sum_{i=1}^r\lambda_i,\qquad E z^{N(t)}=\prod_{i=1}^r e^{-\lambda_i t(1-z)}=e^{-\Lambda t(1-z)}.简单路径还需排除同时到达。对两个正速率过程，其第 n、m 次到达独立且有连续密度，故相等概率为0；Fubini 可把相等事件条件于其中一个时刻来验证。对有限过程对和可数 n、m 取并，仍是零事件。零速率过程不产生到达。因此合并过程确为简单 Poisson 过程。
独立性不能从“合并”中省略。若把同一份 Q 加两次，N=2Q 就每次跳2，只取偶数值，尽管 EN(t) 仍等于2λt。平均到达率能够相加，不表示整个模型自动相加成 Poisson。这与第十三章事件成簇破坏稀有独立近似的反例，是同一种结构差别。
21.16 线性的平均节奏，并不等于均匀到达
指数等待有有限均值1/λ。第十二章一般可积 iid 强律给出 Sₙ/n→1/λ。因为 S_{N(t)}≤t<S_{N(t)+1}，且 N(t)→∞，两边除以 N(t)，得到 t/N(t)→1/λ。它在同一个路径事件上对所有实数 t→∞ 成立，而不只是整数时刻。
\frac{N(t)}t\longrightarrow\lambda\quad\text{almost surely},\qquad \frac{M_t}t\longrightarrow0.平均节奏稳定，每段空白仍然随机。固定 ε>0，P(Wₙ>ε)=e^(−λε) 不随 n 减小，独立性甚至使任意固定长度以上的等待出现无穷多次。这不矛盾：大时间平均允许局部间隔长短不齐。补偿鞅方差 λt 则说明围绕平均线的二阶波动尺度为 √t。一般路径极限仍需要后续的函数空间理论。
另一边界是非齐次时钟。例如把速率1过程 Q 作确定性变时 N(t)=Q(t²)，不交窗口增量仍独立，但 (s,s+h] 的平均次数为2sh+h²，不再仅由 h 决定。它不是齐次 Poisson 过程，也没有恒定参数的指数等待。独立增量与平稳增量是两项不同假设。
21.17 几只时钟竞争时，下一次变化由谁带来
到达流可以合并，等待时钟也能直接竞争。取独立 Eᵢ∼Exp(λᵢ)，先假设各 λᵢ>0，令 H=minEᵢ，J 为最先响起的时钟编号。连续性排除并列。空窗相乘给出 P(H>t)=exp(−Λt)，但最先响起的类型还需要联合计算。
P\{H\in dt,J=i\}=\lambda_i e^{-\lambda_i t}\prod_{j\ne i}e^{-\lambda_jt}\,dt=\lambda_i e^{-\Lambda t}\,dt.积分得到 P(J=i)=λᵢ/Λ，且联合密度分解为 Exp(Λ) 密度乘上该概率，所以 H 与 J 独立。若某 λᵢ=0，把相应时钟置为∞；只要 Λ>0，结论不变。全部速率为0时没有下一次响声，不能把 λᵢ/Λ 写成概率。
这条分解改变了描述系统的方式。在状态固定时，可以先抽总等待，再按相对速率选择变化类型。若一次到达改变状态，下一轮速率也会改变。全局计数便不再必然有独立平稳增量，有限时间内会不会堆积无穷次变化也需重新证明。指数竞争给了构造下一步的规则，却没有替一般连续时间链完成构造。
21.18 一份无记忆模型，究竟解释了什么
最初我们只有一小时的总次数。现在同一对象可以读成独立等待、排列好的到达时刻，或者所有时间窗口的联合计数。连接它们的不是 Poisson 这个名字，而是已经证明的两种重启相容性：到达以后重新抽取等待，在任意已观察的时刻继续记录未来。指数无记忆使两种重启能够一致，独立平稳增量把一致性写成整条记录的概率结构。
这种结构很强，边界也清楚。周期独立不够，边缘分布正确不够，平均速率恒定不够，颜色比例合适也不够。年龄、共同环境、批量到达和事先泄露的未来信息，都可能改变其中一条关系。无记忆是一种精确、可检验的模型性质，不是对真实世界所有等待的宣言。
当时钟响起只是把计数加1时，速率始终不变。若它让机器损坏、一个个体出生，或系统进入另一种状态，下一次等待便由新状态决定。我们已知道怎样在一个状态中等待；接下来需要理解的是，状态与时钟怎样共同组成一条真正存在的随机路径。
史料、证明来源与数学范围
Robert Gallager 的 MIT 课程原始讲义 Poisson Processes 提供等待、计数、独立增量与分流的技术对照；作者机构保存的章节 PDF 可核查相应论述。本章围绕前文问题重新组织并独立展开证明，不复制讲义正文，也不把现代乘积空间、滤过和 π–λ 论证当成 Poisson 本人的原始发现过程。过程名称不意味着我们已建立关于其全部历史起源的主张。
既有基础是第八章的无限实验构造、第十三章的稀有计数与母函数、第十六章的停止信息及第十九章的更新与典型时刻。一般状态变化、一般空间点过程、随机强度与随机积分不由本章计数计算自动涵盖。有限图示只解释同一记录的不同表达，不代替无限时间结论。