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第二十四章：一整条随机路径，究竟怎样收敛？——Portmanteau、Prokhorov与函数空间拓扑
一根高度始终为1的尖峰，向0移动，同时变得越来越窄。在任意一个事先选定的时刻，它最终都会消失；把有限个时刻放在一起观察，结论也一样。然而，整条曲线从未接近零曲线：沿时间寻找峰顶，总能找到高度1。第23章最后的例子留下的，不是一条计算上的小缝隙，而是两种观察方式之间的差别。
如果随机游走将来真的要变成Brownian motion，不能只让每一组照片的分布正确，还必须防止曲线在照片之间藏起这样的峰。我们需要知道哪些整条路径的观察应当稳定，哪些曲线集合足以容纳绝大多数概率，以及这些共同限制怎样保证一个路径极限真实存在。
24.1 有限维读数遗漏了什么
仍在C([0,1])中使用一致距离，取第23章的确定性曲线f_n。把确定的曲线看成随机元素，其分布就是集中在一个点上的δ_fₙ。每个固定有限维分布都趋于零过程的相应分布，但有界连续的整路径读数F却拒绝收敛：
f_n(t)=\max\{1-n^2|t-1/n|,0\},\qquad F(f)=\min\{1,\|f\|_\infty\},\qquad F(f_n)=1,\quad F(0)=0.这里的F不是为了刁难有限维分布而人为选出的怪函数。它只问：整段记录是否曾经偏离零超过某个尺度？这种问题正是研究运动时自然会提出的。有限维观察的失效，说明我们还没有共同控制时间间隙中的运动。
甚至“曲线都不超过1”也不能修补这个问题。在无限维函数空间里，一个有界集合未必能用有限张近似图表覆盖到任意精度。沿n=2ᵏ选出的这些尖峰，支撑最终互不相交，彼此的一致距离为1。它们不可能有一致Cauchy子列。概率并未逃向越来越大的高度，却仍逃出了能够共同近似的路径集合。
24.2 弱收敛要保存哪些观察
在一个度量空间S中，把随机元素的分布记为μ_n、μ。第七章的想法仍然适用：要求每个有界连续的观察函数f，其平均读数趋近。连续性取决于所选拓扑，所以在定义弱收敛以前，必须先说清结果空间中什么叫作接近。
\mu_n\Rightarrow\mu\quad\Longleftrightarrow\quad
\int_S f\,d\mu_n\longrightarrow\int_S f\,d\mu
\quad\text{for every }f\in C_b(S).为什么不要求所有有界可测读数都收敛？实线上的δ_1/n与δ₀已经给出边界：位置1/n确实接近0，但集合{0}的概率始终分别为0与1。要求所有可测指标稳定，会排斥这种最简单的微小位置误差。另一方面，只测试少数坐标又会漏掉尖峰。全部有界连续函数恰好把要求交给拓扑，同时避免预先要求不受控制的高阶矩。
本章的一般测度结论取S为非空Polish空间：其拓扑可由一个完备距离产生，并有可数稠密集。固定一个这样的距离d，必要时换成min(1,d)。第23章的C([0,T])与C_loc满足这些条件。可分性提供可数记录；完备性保证一串越来越精确、彼此相容的记录不会在空间以外才找到极限。这两个条件将在构造中分别发挥作用。
24.3 连续读数怎样逼近尖锐事件
弱收敛没有承诺所有事件概率都收敛，但也不是对事件完全无话可说。若F闭，距离F很近的点可以从外侧模拟F的指标。令h_m(x)=max(1−m d(x,F),0)。它们有界连续并下降到1_F；F为空时结论直接成立。因此：
\limsup_{n\to\infty}\mu_n(F)\le\int h_m\,d\mu
\ \downarrow\ \mu(F),\qquad
\liminf_{n\to\infty}\mu_n(G)\ge\mu(G)\quad(G\text{ open}).第二式由补集得到。质量可以在极限中进入一个闭集的边界，因此闭集只能给上界，开集只能给下界。若Borel集A的边界∂A满足μ(∂A)=0，内点与闭包的μ质量相同，夹逼就给μ_n(A)→μ(A)。这里必须看极限测度在边界上的质量，而不是各μ_n是否在边界上为零。
反过来，只要所有开集满足下界，就能恢复全部连续读数。对0≤f≤1的连续函数，{f>t}是开集。非负Fubini与Fatou给出下式；再对1−f使用同一结论，便得到相反的上界。一般有界连续函数用线性变换归入这个范围。
\liminf_n\int f\,d\mu_n
=\liminf_n\int_0^1\mu_n(f>t)\,dt
\ge\int_0^1\mu(f>t)\,dt=\int f\,d\mu.若只知道所有边界μ零的Borel集概率收敛，也足够。对连续f，集合{f>t}的边界包含在{f=t}中；具有正μ质量的水平集至多可数。因而几乎每个t的层概率收敛，有界收敛再恢复积分。这证明了Portmanteau的四种等价表述：有界连续测试、闭集上界、开集下界，以及极限边界零集合的概率收敛。
同一个论证还稍强一点。若f有界Borel可测，其不连续点集合被某个μ零的Borel集包含，则∂{f>t}包含在这个零集与{f=t}之并中。对几乎所有水平t，仍可逐层取极限。因此这样的f也有积分收敛。这个版本将使我们能够处理只在少数路径上不稳定的操作。
24.4 变换结果时，连续性究竟用在哪里
设T:S→E是到另一个度量空间的Borel映射。若T在μ几乎所有点连续，对任意g∈C_b(E)，g∘T有界可测且在同一满概率集合连续。上一节的加强结论便给出连续映射定理：
\mu_n\Rightarrow\mu,\quad \mu(D_T)=0
\quad\Longrightarrow\quad \mu_n\circ T^{-1}\Rightarrow\mu\circ T^{-1}.这里D_T可以用一个Borel零集代替来包含全部不连续点。这个限定不能省。T(x)=1_{x=0}把位置趋0的序列1/n全部送到0，却把极限送到1。另一方面，若极限分布不给阈值a质量，阈值事件即使本身不连续，概率仍能正确传递。
还有一项以后比较阶梯记录和折线记录时会需要的稳定性。若X_n、Y_n在同一空间上成对定义，X_n⇒μ且d(X_n,Y_n)→0依概率，则Y_n⇒μ。对闭集F及ε>0，{Y_n∈F}包含在{X_n∈F^ε}与{d(X_n,Y_n)>ε}之并中，其中F^ε={x:d(x,F)≤ε}闭。先取n的上极限，再令ε下降到0，用F闭及测度的从上连续性，就得到Portmanteau闭集上界。
这并不要求X_n与极限X预先住在同一个概率空间。成对距离只比较每个n中的两种记录；极限仍然是分布的极限。不同层次的共同实现，不应混在一起。
24.5 每一份概率都紧，整族却可能没有归宿
第八章已经建立：Polish空间上的单个Borel概率是紧的。也可以从有限近似看见这一点。每一尺度的可数小球覆盖空间，有限初始段便能容纳这个测度的绝大多数质量。令各尺度的遗漏概率可求和，取这些有限闭球并的交，就得到高概率、闭且全有界的集合。完备性使其成为紧集；这里没有假设闭球本身紧。
所用的度量事实很具体：全有界意味着每个正精度有有限球覆盖；逐层从这些覆盖抽取子列，得到Cauchy子列；若集合闭、环境完备，其极限留在集合内。反过来，紧集当然在每个精度有有限覆盖。这也是无限维空间中“有界”与“紧”之间真正缺少的一步。
寻找一列分布的极限，需要的却是同一个紧集同时容纳整族测度。对一族𝓜，称其一致紧，若：
\forall\eta>0\ \exists K_\eta\subset S\text{ compact},
\qquad\inf_{\nu\in\mathcal M}\nu(K_\eta)\ge1-\eta.δ_n的各个成员都紧，整族却逃向无穷。δ_fₙ则更微妙：所有路径的高度有共同界，但任意一个紧集都不能包含全部尖峰。对点质量，取η<1，一致紧性便要求把每个f_n都装进K_η。因此前面的反例不只是弱收敛测试失败，它确实缺少共同的紧性。
紧性也不同于一致可积性。它限制的是落在坏区域中的概率，而不是那里的数值乘权贡献。第七章中高度n、宽度1/n的随机变量尖峰，其实值分布可以一致紧而不一致可积。现在讨论的是另一层问题：怎样让概率不逃出所选结果空间中的可近似集合。
24.6 让极限有机会被真正构造出来
一致紧性究竟怎样制造一个极限概率？不能只逐个给集合取概率极限，因为可数可加性可能在无穷求和中丢失。我们需要同时控制各精度的有限近似，并保证没有质量逃向每层越来越靠后的格子。
固定可数稠密中心。在第k层，用这些中心的小开球覆盖S，球半径在2⁻ᵏ⁻³与2⁻ᵏ⁻²之间。按次序把前面已覆盖的部分减去，得到互不相交的可数分区；再与前面各层共同细化，删去空集，记为𝒫_k。每个原子A直径至多2⁻ᵏ，且每个第k+1层原子属于唯一父原子。
这份分区还有一个关键性质：任意紧集K在固定层只接触有限多个原子。每一层原始球都有覆盖K的有限初始段，所以K上的球地址只有有限种；共同细化至固定k层，地址的有限笛卡尔组合仍然有限。任意挑选的小直径可数分区未必有这个性质。
稍后若还要求原子边界不带某个给定测度μ的质量，也能做到。固定中心的不同球面互不相交，带正μ质量的半径至多可数。逐球避开这些半径，仍可在上述半径区间选择。每个原子仅由有限个球的交、差产生，边界包含在有限个球面之并中，因而μ零。
24.7 Prokhorov：紧性怎样保住可数可加性
现在证明：Polish空间上一致紧的任意概率序列，都有弱收敛子列。对全部层、全部原子作一次对角抽取，使μ_nⱼ(A)趋于p(A)。每个p(A)非负，但要把这些数称作概率，必须先证明两件事：每层总和仍为1，父质量仍等于全部子质量之和。
对给定η>0，选共同紧集K，遗漏质量至多η。固定一层，仅有限个原子F覆盖K，故Σ_F p(A)≥1−η；任意有限个原子的极限总质量又不超过1。令η趋0，得到全层总和1。对一个父原子，取下一层覆盖K的有限原子族F，只保留其中属于该父原子的子原子。μ_nⱼ的父质量减去这些子质量，介于0与η之间。先取子列极限，再令η趋0，就得到真正的可数相容性：
\sum_{A\in\mathcal P_k}p(A)=1,\qquad
p(A)=\sum_{\substack{B\in\mathcal P_{k+1}\\B\subset A}}p(B).接着实际构造随机结果。用父子质量递归分割(0,1)：根区间长1，每个子区间依固定的可数顺序排列，长度为相应子质量。取均匀U，排除全部可数端点，它在每层选择一个嵌套原子。给每个非空原子固定代表点，记选中的代表点为Z_k。后续代表点都在同一第k层原子里，距离不超过2⁻ᵏ，所以它们是Cauchy列。完备性给出S内的极限Y。
每个Z_k由可数个区间选择，是可测的；在例外端点上统一置某个固定点。对闭集F，d(Y,F)=lim d(Z_k,F)，从而Y可测。注意Y只保证落在所选原子的闭包中，不能未经证明宣称P(Y∈A)=p(A)。边界可能改变归属；我们用连续读数识别极限，便不必冒这个风险。
令Q_k(x)为x所在原子的代表点。固定k时，原子质量逐点收敛且两边总和均为1，便有ℓ¹收敛。证明是先选有限原子族使p的尾和小，再在有限部分取极限；μ_nⱼ的尾和也随之小。因此对有界f，固定层的量化读数满足：
\int f(Q_k(x))\,\mu_{n_j}(dx)
=\sum_{A\in\mathcal P_k}f(a_A)\mu_{n_j}(A)
\longrightarrow\sum_{A\in\mathcal P_k}f(a_A)p(A)=\mathbb E f(Z_k).若f有界连续，量化误差在共同紧集K附近一致趋0。确切地，紧性与逐点连续性给：当x∈K且d(x,y)≤δ时，|f(x)−f(y)|的上确界随δ趋0。可用K上有限个连续性邻域直接证明，不要求f在整个S上一致连续。K外的误差至多2‖f‖∞η。于是先固定k令j趋∞，再令k趋∞，由Z_k→Y和有界收敛，最后令η趋0，得到μ_nⱼf→Ef(Y)。Law(Y)就是实际构造出的弱极限。
24.8 为什么极限存在也会反过来要求紧性
我们证明了共同紧性能够制造子列极限。反方向也成立：若一族𝓜中的任意序列都有弱收敛子列，这族测度必定一致紧。这个结论把“没有逃逸”与“总能找到极限”准确连接起来。
先固定r,η>0，设G_m是稠密中心前m个r开球之并。若没有任何一个G_m能同时捕获整族超过1−η的质量，便可选ν_m∈𝓜使ν_m(G_m)≤1−η。抽取ν_mⱼ⇒ν。由于G_m递增覆盖S，有某个M满足ν(G_M)>1−η/2。但m_j≥M时，ν_mⱼ(G_M)≤1−η，与开集Portmanteau下界矛盾。
所以每一尺度都有统一的高概率有限球覆盖。对r_k↓0与η_k=ε2⁻ᵏ选择这些球，令F_k为相应有限个闭球之并，K=∩_kF_k。它闭且全有界，完备性使K紧；并集界给ν(K)≥1−Ση_k≥1−ε，对整族ν同时成立。这证明了Prokhorov定理的两个方向。它首先可精确表述为：一致紧，当且仅当任意序列都可抽出一个在S上仍有概率极限的弱收敛子列。
若要把这称为弱拓扑中的“相对紧”，还应确认弱拓扑可以用距离描述，而不暗中假设某种序列性质。取d≤1，定义有界Lipschitz距离：
b(\nu,\mu)=\sup_{\substack{\|f\|_\infty\le1\\ \operatorname{Lip}_d(f)\le1}}
\left|\int f\,d\nu-\int f\,d\mu\right|.三角不等式直接成立，b=0时把闭集距离斜坡按其Lipschitz常数缩放到测试类中，便由Portmanteau的同一逼近识别两份测度。若b(μ_n,μ)→0，同样对每个固定斜坡取极限，再令斜坡变陡，得到弱收敛。
反过来，弱收敛序列连同其极限一致紧：这族中的任意序列，不是含有常值子列，就是含有原指标趋∞的子列，刚证明的反方向遂适用。在共同紧集K上，单位Lipschitz函数类有有限个一致近似：选有限δ网，再把网点处[-1,1]内的函数值分成有限小格，同格函数在K上相差至多3δ。每类选一个实际函数作代表。有限个代表的积分收敛，加上K外的尾概率，便使整个上确界趋0。
拓扑层面也没有漏洞。固定μ，取高概率紧集K及其δ邻域U；同样的有限函数网在U上仅多出2δ误差。再加入一个在K为1、U外为0的连续截断h。只要求另一份ν对h和有限代表的积分接近μ，便能保证ν(U)高且b(ν,μ)小。因此每个b球包含一个弱邻域。反方向，每个C_b积分在b度量下由已证的序列结论连续，因为度量空间中的序列连续即连续。两种拓扑相同。于是前述序列结论确实就是相对弱紧性。
24.9 能否把分布极限重新安排成逐点接近
弱收敛还没有让不同n的随机结果彼此靠近；它只比较平均读数。但§24.6的分区提示另一件事：若有限精度的格子概率趋近，能否让同一个随机数尽量为所有分布选择相同格子？这会把第七章实线上的分位数想法推广到没有大小顺序的Polish空间。
准确结论是：若μ_n⇒μ，可在同一个概率空间上构造Y_n∼μ_n、Y∼μ，使d(Y_n,Y)→0几乎必然。这是Polish空间的Skorokhod表示定理；这里的“表示”是改变共同实现，并不是把过程嵌入Brownian停止时刻的同名理论。
选择§24.6中所有原子均为μ边界零的细化分区，Portmanteau使每个原子满足μ_n(A)→μ(A)。为μ和所有μ_n分别按同一棵分区树、同一个子原子顺序切分(0,1)，但都使用同一个U。每份切分在各自测度下质量守恒，代表点逐层Cauchy，故给出Y与Y_n。
先确认边缘分布，避免偷用“极限仍在原子里”。对任一给定概率ν，这份区间编码在第k层的代表点分布是Σ_Aν(A)δ_aA；而对ν下的x，Q_k(x)→x。两边对有界连续f的积分都由有界收敛趋近，因此编码极限确有分布ν。由连续读数决定概率的唯一性，Y_n与Y的边缘分布完全正确。
接着看同一个U。一个有限地址对应区间的左端点，等于父区间左端点加上有限个前兄弟的质量，而右端点再加本原子质量。沿有限地址归纳，这两个端点在μ_n编码下都趋于μ编码下的端点。不能把整层含无限前驱的模糊字典序当成有限和。
排除μ与全部μ_n编码中的可数端点后，U在每一个μ有限层区间内部。因此对任意固定k，最终μ_n与μ都为它选择同一个第k层原子。Y_n、Y虽可能在边界，却都在这个原子的闭包内，所以：
\forall k\ \exists N_k(U)\ \forall n\ge N_k(U):
\qquad d(Y_n,Y)\le2^{-k}.先固定k再令n增大，随后令k增大，便得到整列几乎必然收敛，而非再次抽取一个子列。原有随机变量未必如此：一列相互独立、分布完全相同的Bernoulli变量已经弱收敛，却几乎必然不断改变；新的表示可以把它们全部取成同一个Bernoulli变量。被保留的是边缘分布，原来的跨n依赖没有被宣称保留。
实线的分位数也由此获得准确补全。设F_n、F为分布函数，Q_n、Q为左分位数，只取Q在u∈(0,1)的连续点，其余点至多可数。给ε>0，选F连续点x₋∈(Q(u)−ε,Q(u))，则F(x₋)<u。由Q在u连续，可选v>u使Q(v)<Q(u)+ε/2，再选F连续点x₊∈(Q(v),Q(u)+ε)，于是F(x₊)≥v>u。F_n在这两点的收敛使最终x₋≤Q_n(u)≤x₊，从而Q_n(u)→Q(u)。均匀U避开那些分位数不连续点，便给第七章所需的几乎必然表示；并没有声称每个u都收敛。
24.10 哪些连续曲线能够共同近似
一般定理已经告诉我们紧性为何能产生极限，但还没有告诉我们怎样在曲线上检查它。记连续函数在时间尺度δ上的振幅为w(f,δ)。一批曲线要有一致收敛子列，首先不能从起点就逃走，其次必须在同一时间精度下共同变平缓：
w(f,\delta)=\sup_{\substack{s,t\in[0,T]\\|s-t|\le\delta}}|f(t)-f(s)|,\qquad
\sup_{f\in A}|f(0)|<\infty,\quad
\lim_{\delta\downarrow0}\sup_{f\in A}w(f,\delta)=0.这两个条件恰好刻画A在C([0,T])中的相对紧性。充分性可以直接证明：在可数稠密时刻逐次抽取子列。起点界与共同振荡界经有限时间分割使每个坐标都有共同界，故能逐点抽取；对角子列在稠密点上收敛。给ε>0，选共同振幅小于ε的时间网格，再用有限个邻近稠密点的收敛控制整段曲线，得到一致Cauchy。C空间完备，所以极限连续。
必要性同样揭示机制。紧闭包可以被有限个一致范数小球覆盖；各球中心连续，一起选一个使所有中心振荡很小的δ。球内曲线的振荡至多中心振荡加两倍球半径。令球半径趋0，就得到共同连续性；起点界由连续评价在紧集上的有界性得到。这是此处所需的Arzelà–Ascoli全证。
对C([0,T])值随机元素X_n，确定性条件于是变成两个概率条件，而且是充要的：
\lim_{M\to\infty}\sup_nP(|X_n(0)|>M)=0,\qquad
\forall\varepsilon>0:\ \lim_{\delta\downarrow0}\sup_nP(w(X_n,\delta)>\varepsilon)=0.充分性中，固定总遗漏η，先控制起点，再选ε_k↓0与δ_k↓0，使每条振幅限制失败的概率至多η2⁻ᵏ⁻¹。满足全部限制的函数族由刚证的准则有紧闭包，并集界保证它对整族具有至少1−η的概率。必要性则在共同高概率紧集上应用确定性准则。w本身是Borel函数，因为在一致距离下其差至多2‖f−g‖∞。
若实际估计只给limsup_n而不是sup_n，也够。每个固定的连续随机路径都有w(X_n,δ)↓0，有限个初始n可由有界收敛单独控制；与充分后项的估计合并，便恢复全族的条件。不能把这里的“有限初项无害”用来忽略随n不断产生的尖峰。
24.11 同一份矩估计，约束整族曲线
第23章的网格证明现在有了新的用途。当矩界对所有n采用同一组常数时，它不只分别提供连续修改，还能排除整族中越来越窄的尖峰。为简洁取T=1，假设X_n已经是C值随机元素，存在共同α,β,C>0使：
\mathbb E|X_n(t)-X_n(s)|^\alpha\le C|t-s|^{1+\beta}\qquad(n\ge1,\ s,t\in[0,1]).选0<γ<β/α，令H_n为所有二进网格相邻增量乘2ᵏᵞ后的上确界。逐层Markov并界给下面的统一尾界。这里直接对全部层求和，不需要把每个n的Borel–Cantelli结论误当成对n一致的结论。
\sup_nP(H_n>A)\le C A^{-\alpha}
\sum_{k\ge0}2^{-k(\beta-\alpha\gamma)}.由于路径连续，同一个链式比较把网格值延拓回原路径，给出w(X_n,δ)≤c_γH_nδᵞ。于是振幅的坏事件概率随δ统一趋0。再要求X_n(0)的分布一致紧，就得到C值分布族的一致紧性。对一般有限T线性缩放时间即可。
两个条件都不能偷换。每条f_n单独都是连续函数，却不存在足以约束整族的共同振幅常数；X_n(t)=n则有增量恒为0，却连起点都不紧。存在一条连续路径与控制一列连续路径，需要的量词顺序确实不同。
24.12 有限维分布终于能够识别路径极限
设X_n、X为C([0,T])值随机元素。若X_n的分布一致紧，且在某个含端点的可数稠密时间集上，所有有限维分布都趋于X的相应分布，那么X_n⇒X于C([0,T])。这一次，有限维读数终于够用了，因为紧性已经补上共同的路径控制。
证明要把“找到某个极限”与“找到正确极限”分开。任取子列，Prokhorov再给弱收敛子子列，极限记ν。连续路径上的有限评价是连续映射，所以ν与Law(X)在所有这些稠密时间的有限维分布相同。第23章的Borel生成与π–λ唯一性说明ν=Law(X)。若整列对某个C_b读数不收敛，抽取始终偏离正确值的坏子列；它又有上述正确极限子子列，矛盾。
在C_loc中，紧性等价于每个整数区间[0,M]上限制分布族都紧。一个方向由连续限制映射得到。反方向对每个M选紧集K_M，遗漏概率至多η2⁻ᴹ；满足全部限制的全局函数集合是闭的，用逐区间对角子列与相容极限证明它在局部一致距离中紧。于是相同的识别证明适用于整个半轴。
这给未来随机游走极限留下明确的数学任务：先辨认有限维规律，再证明起点与振幅的共同估计。我们尚未断言某个随机游走已经满足这些条件；本章建立的是使这种论证能够成立的路径空间工具。
24.13 跳跃只迟到一点，为什么距离始终是1
连续运动中的共同振幅控制，不能原样施加给所有过程。第21、22章的到达与跳链本来就有跳跃；把一次跳跃推迟很短时间，通常仍应视为接近原记录。但一致距离会在两次跳时之间看见完整的跳高。
取0<a<1，n足够大时，x_n=1_[a+1/n,1]，x=1_[a,1]。一致距离永远为1。若允许一只连续递增的时钟，把a对应到a+1/n，同时固定0与1，两条阶梯就完全对齐。这不是改动取值，而是容许很小的时间误差。
自然的结果空间是D=D([0,1])，即实值右连续且处处有左极限的函数。右连续保留“事件发生后此刻是什么”的读法，左极限使“刚才是什么”有意义。每条这样的路径有界，并可一致近似为有限阶梯；这个有限描述性质将在紧性证明中起关键作用，而不只是一个符号约定。
记Λ为固定端点的递增连续时间同胚。J₁收敛定义为存在λ_n∈Λ，使时钟误差与对齐后的取值误差同时趋0：
\|\lambda_n-\mathrm{id}\|_\infty\longrightarrow0,\qquad
\|x_n\circ\lambda_n-x\|_\infty\longrightarrow0.对前述单跳，令λ_n在0、a、1之间线性，并取λ_n(a)=a+1/n，即可验证收敛。反过来，若z_n=1_[a+1/n,a+1/n+1/n²)，所有固定有限坐标都趋于0，但任何时间同胚都是满射，‖z_n∘λ‖∞仍为1。两个相反跳跃挤近，并没有在J₁中变成“什么都没发生”。
24.14 J₁中的紧集仍然来自有限描述
普通的一致时间误差给出J₁的一个度量，却不是完备度量。例如1_[1/n,1]在这种度量中为Cauchy列，却不能趋于D中的某条路径：0时刻值必须为0，所有正连续时刻的值又必须为1，右连续性会失败。Polish结论需要一份真正完备的等价度量。
可以改用时钟各区间长度比的对数控制。下式取log范数有限的时间同胚，记为Λ₀。它限制过度压缩，却产生同一个J₁拓扑：
\|\lambda\|_{\log}=\sup_{0\le s<t\le1}
\left|\log\frac{\lambda(t)-\lambda(s)}{t-s}\right|,\qquad
d_0(x,y)=1\wedge\inf_{\lambda\in\Lambda_0}
\bigl(\|\lambda\|_{\log}\vee\|x-y\circ\lambda\|_\infty\bigr).完整证明见T-J1：时钟、可测结构与紧性。关键是先为一条càdlàg路径取有限振荡小分区，把普通对齐时钟改成经过这些分区端点的折线，其斜率趋1；再对可求和误差的Cauchy子列累积时钟，对齐曲线一致收敛，极限时钟保持双Lipschitz。这样既证明拓扑等价，也实际证明完备性；有理跳时和有理值的有限阶梯给可分性。
跳跃路径不可能满足C空间的共同连续振幅条件，但可以要求：只需把真正的跳点当成分界，其余每段都平稳到给定精度，且不同分界不许无限挤近。精确量是w′，它允许为每条路径选择不同分区：
w'_\delta(x)=
\inf_{\substack{0=t_0<\cdots<t_m=1\\ \min_i(t_i-t_{i-1})>\delta}}
\max_i\ \sup_{s,t\in[t_{i-1},t_i)}|x(t)-x(s)|.各格都不含右端点，特别最后一格不含1；x(1)由一致范数另行控制。这使恰好在终点发生的跳跃合法，却不会把逼近终点的未完成跳跃悄悄合并。对A⊂D，准确准则为：A相对紧，当且仅当‖x‖∞在A上一致有界，且sup_Aw′_δ→0。
其充分性有清楚的有限描述：把每条曲线在一个好分区上替成阶梯，误差小；给定最小间距δ，阶梯层数有界、跳时彼此分离、层高有界，这些参数构成一个紧族。于是原曲线族在任意精度都有有限覆盖，完备性给紧闭包。必要性则由小时间变换运输有限分区和紧集的有限覆盖得到。配套证明写出这些步骤，也证明w′_δ是Borel函数。
因此D值分布族一致紧，当且仅当范数不逃逸，并且对每个ε>0有lim_δ↓0 sup_n P(w′_δ(X_n)>ε)=0。证明与C情形同样用可求和的坏事件和确定性紧性准则；各个w′约束的集合不必闭，最后取紧闭包即可。前述窄脉冲在宽度小于δ时w′_δ≥1，正好被排除。
24.15 选择拓扑，也改变了哪些读数稳定
D的Borelσ-代数仍由全部坐标评价生成，也由任意含1的可数稠密时间集生成。这不是因为评价处处连续；内部时刻t的评价e_t只在路径于t连续时连续，e₀和e₁则总连续。可以先用右侧短区间平均证明评价Borel，再用二进采样阶梯P_kx→x于J₁证明反向生成；完整论证在T-J1的可测结构。
移动单跳提供了不能忽略的区别：x_n⇒x作为D值点质量成立，但在t=a，x_n(a)=0而x(a)=1，所以这个时刻的边缘分布不收敛。弱收敛没有失败，失败的是在不连续评价处擅用连续映射定理。
设X为给定D值候选极限，记T_X为0、1与所有满足P(X在t连续)=1的内部时刻。若X_n在D中紧，且T_X上所有有限维分布趋于X的分布，则X_n⇒X。任何D值概率的固定正跳概率时刻至多可数，T-J1给出证明。因此从任意弱子列极限ν出发，可以在同时避开ν与X坏时刻的补集中另选一个可数稠密集，再加端点。连续映射识别这些有限维分布，坐标Borel唯一性识别ν，坏子列反证恢复整列。
不能简单地从有理数删掉坏时刻后宣称仍稠密：一个càdlàg分布可以在每个有理时刻都有固定小跳。正确做法是从可数坏点集的补集中重新选择稠密时间。若已知所有有限时刻的分布收敛，当然覆盖了T_X，前述条件自动满足。
若J₁极限路径连续，事情会简化。由对齐时钟可得一致误差至多对齐误差加极限路径的连续振幅，所以J₁收敛等价于一致收敛。连续函数集合在J₁中也是闭的，因为对齐后的连续函数的一致极限仍连续。两种拓扑在连续极限处相遇，却在跳跃处保存了不同的信息。
24.16 从停止时刻检查短暂的来回
w′允许跳点因路径而变，直接逐条寻找好分区可能很难。第16章的停止时刻提供另一种观察：等到路径刚刚偏离一个尺度，再看它是否马上又偏离一次。这样，分区不必事先猜中随机跳点，而可以由路径自己的变化产生。
这里建立一个明确的Aldous型充分版本。设X_n为适应右连续滤过的实值càdlàg过程，并假设其一致范数紧包含。对同一滤过的所有有界停止时刻S,U，定义下面的短停止对条件。它比只测试某些确定性延迟的形式更强；本章不把未证明的不同版本互相替换。
a_n(\delta,\varepsilon)=
\sup_{\substack{S\le U\le(S+\delta)\wedge1\\S,U\text{ stopping times}}}
P(|X_n(U)-X_n(S)|>\varepsilon),\qquad
\lim_{\delta\downarrow0}\limsup_n a_n(\delta,\varepsilon)=0
\quad(\varepsilon>0).结论是X_n的D值分布一致紧。证明的机制不是假设每段短时间都没有跳跃，而是阻止过多次显著变化挤进太短时间。以ε为退出尺度，令τ₀=0，τ_k₊₁为第一次偏离X_n(τ_k)超过ε的时刻，截在1；令N_ε记录1以前真正退出的次数。càdlàg性保证它逐路径有限。若N_ε≥K，前K个等待间隔中至少一半不超过2/K；停止对条件于是给：
P(N_\varepsilon\ge K)\le2a_n(2/K,\varepsilon/2).先以此控制退出次数，再控制有限个退出间隔过短的概率，并单独检查终点前最后2δ的振荡；保留1−δ以前的退出点后接上1，就得到最小间距大于δ、格内振幅至多4ε的分区。由w′准则完成紧性。T-J1中的完整证明还独立建立这里所需的连续时间停止过程适应性与开放越界合法性，不借未来的可选抽样、debut定理或连续鞅正则化。
这是充分条件，不是所有紧族的必要描述。只含一条固定时刻跳跃的确定性路径，其点质量当然紧，但在已知跳时前后选择两个越来越近的确定性停止时刻，增量仍是1，所以它不满足本节条件。不同检验工具保留不同模型的便利，不能把某一种方便的检验误当成紧性的定义。
24.17 窗口增长时，不能忘记端点
有限区间的证明可以线性缩放到任意[0,T]。走向半轴时，通常局部J₁却不能照抄C_loc，机械要求每个整数截面都收敛。
例如把一次跳跃从1+1/n移到1。在超过1的观察窗口里，它们可以用小时间变换对齐；但截在恰好1时，近似路径终点值为0，极限终点值为1，而有限区间J₁固定终点，不允许把这个差别藏到窗口外。正确的局部描述在极限路径连续的截断终点上检验。它也说明，先规定记录窗口与端点约定，是拓扑的一部分。
T-J1的半轴构造把各窗口的有界完备距离按连续窗口长度积分，实际证明局部J₁的完备可分性与坐标Borel结构；一致拼接窗口极限时，必须先在公共内部认同，再在连续端点补齐。这里不涉及M₁等其他跳跃拓扑。对连续Brownian极限，C_loc仍是最直接的家；若研究跳跃合并，必须重新问清哪些路径信息应当在极限中保留。
24.18 照片之外，还要保住一整段运动
那根越来越窄的尖峰没有欺骗任何一个固定时刻的观察。真正的误判来自我们把这些分别正确的观察，当成了对整段运动的共同控制。紧性所增加的，不是另一份有限维概率公式，而是让绝大多数路径在同一精度下能够被有限描述的约束。
在连续路径中，这份共同描述体现为起点与振幅；在跳跃路径中，它还需要辨认时间对齐、相邻跳跃与窗口端点。弱收敛由连续观察表达，Portmanteau说明事件边界怎样影响概率，Prokhorov保证共同控制能够产生极限，有限维规律再告诉我们找到的是哪一个极限。把这些职责分开，才不会让一句“分布趋近”承担它没有答应的事情。
Brownian motion已经在第23章获得了连续的家。现在我们也知道，通向这个家的离散记录必须跨过哪道门槛：不仅Gaussian快照要正确，观察缝隙中的摆动也要受到统一约束。随机游走究竟能否做到，有限二阶矩又为什么足够，终于成为一个可以完整证明、而不再只靠缩放图像猜测的问题。
24.19 文献与证明范围
Prokhorov的Convergence of Random Processes and Limit Theorems in Probability Theory发表于1956年，英译见Theory of Probability and Its Applications 1，157–214；Skorokhod同年的Limit Theorems for Stochastic Processes，英译同刊1，261–290。这里核对的是原始出版信息；分区编码及证明安排采用本书的现代重建，不声称复刻原论文的论证顺序。
Aldous的Stopping Times and Tightness发表于Annals of Probability 6（1978），335–340，作者机构书目可核查。本章实际证明的是明确陈述的强停止对充分版本，不据此宣称全部较弱形式等价。J₁的拓扑与端点限制可对照Julian Kern的开放论文；该文明确不提供证明，本书所需证明另在实际写成的T-J1中给出。