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第二十五章：随机游走什么时候变成 Brownian motion？——Donsker 不变性原理
一位观察者把随机游走的记录越拍越密，想知道粒子是否曾越过一条固定的水平线。只比较最后一张照片，他会漏掉中途的越界；增加几张照片，也仍可能漏掉发生在缝隙中的运动。第23章的尖峰已经把这个困难说明白了。现在要判断的，是随机游走自己的增量能否排除这种漏看的可能。
Brownian motion已经作为连续路径上的概率存在。困难不再是替极限想象一条曲线，而是证明离散记录真的会靠近这份路径规律。最值得注意的是，最后足够的条件，仍然只是独立、同分布和有限方差。要理解这个“仍然”，必须认真处理那些很大、却并不经常出现的步子。
25.1 一维定理没有答应过的事情
设每一步的中心化收益为ξᵢ，独立同分布、均值0、方差1，部分和记为Sₖ。中心极限定理控制Sₙ/√n；多元版本又控制任意固定几组时刻。可是“某时刻曾经越界”涉及所有时刻。把网格上的最大值写出来，就会看见问题的规模正在随n增长，而不是保持一个固定维数。
M_n=\max_{0\le k\le n}\frac{S_k}{\sqrt n}.不能把一个对每个固定维数成立的极限，直接用于这个维数不断增长的事件。第24章把缺少的东西叫作紧性：绝大多数曲线必须在同一时间精度下受到控制。现在我们不再重新证明Prokhorov，而要从随机游走的独立和结构中制造这种控制。
25.2 先明确我们正在放大什么
如果原步子Yᵢ有均值μ、方差σ²∈(0,∞)，先令ξᵢ=(Yᵢ−μ)/σ。减去的是确定的平均漂移，不是这一条样本自己最后的平均值；后者会强迫曲线回到零，产生另一种极限。先采用均值0、方差1的记号，最后再恢复量纲。
\begin{gathered}
S_0=0,\quad S_k=\sum_{i=1}^k\xi_i,\\
W_n(t)=\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sqrt n},\\
L_n(t)=\frac{S_k+r\xi_{k+1}}{\sqrt n},\quad k=\lfloor nt\rfloor,\ r=nt-k.
\end{gathered}Wₙ保留每次记录之后的值，是右连续阶梯；Lₙ把相邻记录连成折线。它们在全部网格点相同。时间步长1/n与空间尺度1/√n不是两项互不相干的选择：经过约nt步的方差为nt，除以n以后留下t，这正是Brownian协方差的时间尺度。
在固定区间[0,T]上，两种路径都只依赖有限个增量。折线插值是从这些增量到C([0,T])的连续映射；固定网格阶梯对一致范数也连续，因而对J₁拓扑连续。于是它们分别是C值、D值随机元素。半轴可测性再由各有限窗口和坐标Borel结构得到，不把不可数条坐标逐一可测误当成已经完成路径可测性。
25.3 两种插值之间到底差了多少
在一个网格格子里，折线只沿着这一格的步子移动，阶梯仍停在左端值。因此两种记录的最大差，不超过观察窗口内最大的单步。这个估计比“步子看起来很小”更准确：步长本身随机，最大步长也必须控制。
\|L_n-W_n\|_{[0,T]}
\le\frac1{\sqrt n}\max_{1\le i\le\lfloor nT\rfloor+1}|\xi_i|.有限二阶矩正好足够。对任意ε>0，用并集界和尾部二阶矩，有下式。这里不是仅用Markov不等式得到一个常数上界；指标中的阈值随n趋于无穷，尾部积分才使它真正趋零。
P\!\left(\max_{i\le\lfloor nT\rfloor+1}|\xi_i|>\varepsilon\sqrt n\right)
\le\frac{T+1}{\varepsilon^2}
E\!\left[\xi_1^2\mathbf1_{\{|\xi_1|>\varepsilon\sqrt n\}}\right]\longrightarrow0.
这说明两种插值会在概率意义下变得接近，却还没有证明任何一种有路径极限。若Lₙ藏有第23章那样的尖峰，两者接近也可能一起失败。最大单步估计解决的是插值选择，不是全部紧性。
25.4 有限维Gaussian规律怎样同时出现
取0=t₀<t₁<⋯<tₘ。先不看位置，而看不重叠时间段的增量。第j段含有mₙⱼ=⌊ntⱼ⌋−⌊ntⱼ₋₁⌋个原步子。所有时间间距严格为正，所以充分大的n使每个mₙⱼ>0，下面的标准化才有定义。每段仍是独立和，不同段又相互独立；这才允许我们从一维CLT进入联合极限。
\frac{S_{\lfloor nt_j\rfloor}-S_{\lfloor nt_{j-1}\rfloor}}{\sqrt n}
=\sqrt{\frac{m_{n,j}}n}\,
\frac{\sum_{i=\lfloor nt_{j-1}\rfloor+1}^{\lfloor nt_j\rfloor}\xi_i}{\sqrt{m_{n,j}}},
\qquad \frac{m_{n,j}}n\longrightarrow t_j-t_{j-1}.由第11章的有限方差CLT和第14章多元特征函数工具，对任意实数θ₁,…,θₘ，块向量的特征函数是各块特征函数之积，其极限如下。多元连续性定理识别出独立Gaussian块；再作累加的连续线性变换，得到各时刻位置的联合分布。
\prod_{j=1}^m E\exp\!\left\{
i\theta_j\frac{S_{\lfloor nt_j\rfloor}-S_{\lfloor nt_{j-1}\rfloor}}{\sqrt n}\right\}
\longrightarrow
\exp\!\left\{-\frac12\sum_{j=1}^m\theta_j^2(t_j-t_{j-1})\right\}.这恰是第23章Brownian motion的有限维分布，位置协方差为min(s,t)。Lₙ与Wₙ在这些有限坐标上的差由上一节同时趋0，所以折线也有相同有限维极限。没有在这里重新证明CLT；新工作是辨认不同时段的独立结构，并把它和路径问题连接起来。
25.5 方差估计为什么停在门槛上
尝试直接使用第24章的共同增量矩判据，会遇到一个真实障碍。网格上的方差是时间间距的一次方，而该判据需要大于一次的幂，才能在越来越多的网格边上求和。单条路径的平均平方振幅小，并未自动变成整族路径的共同连续性。
E\left|\frac{S_j-S_i}{\sqrt n}\right|^2=\frac{j-i}{n}.若暂时有四阶矩，独立性会多给一个时间幂。可是把这项方便假设永久留在定理中，就会排除不少本来应当具有Brownian极限的步子。例如下面的对称密度已经均值0、方差1，却没有四阶矩。
\begin{gathered}
f(x)=\frac{3}{2(1+|x|)^4},\\
P(|\xi_1|>x)=(1+x)^{-3}\ (x\ge0),\\
E\xi_1^2=\int_0^\infty\frac{2x}{(1+x)^3}\,dx=1,\\
E\xi_1^4=\infty.
\end{gathered}密度积分为1；对称性与有限一阶矩给均值0。二阶尾积分把u=1+x代入，等于2∫₁∞(u⁻²−u⁻³)du=1；四阶尾积分的被积函数4x³/(1+x)³却不趋零，因而发散。问题不是缺少例子，而是证明怎样越过四阶矩这道技术门槛。
25.6 先让四阶矩完成它能完成的工作
先设中心化步子ηᵢ独立同分布，二阶矩v、四阶矩m₄均有限。折线在s到t之间的变化，可以写成独立步子的加权和。系数aᵢ表示这一格有多大比例落在[s,t]内；它们介于0与1之间，总和恰为n(t−s)。
\begin{gathered}
L_n^\eta(t)-L_n^\eta(s)=n^{-1/2}\sum_i a_i\eta_i,\quad
0\le a_i\le1,\quad \sum_i a_i=n(t-s),
\\
E\left(\sum_i a_i\eta_i\right)^4
=m_4\sum_i a_i^4+6v^2\sum_{i<j}a_i^2a_j^2.
\end{gathered}展开四次方后，含有某个只出现一次指标的项，由中心化与独立性消失；剩下的正是四次项与两两配对项。因此上式不仅是一个估计，还说明额外时间幂来自哪里。
令u=n(t−s)。若u≥1，则Σaᵢ⁴≤u≤u²，且Σaᵢ²≤u；若u≤1，则Σaᵢ⁴≤u⁴≤u²，且(Σaᵢ²)²≤u⁴≤u²。后一种情况不可忽略，因为s、t可能落在同一个格子里。两种情况合并，得到全部实数时刻上的共同界。
E|L_n^\eta(t)-L_n^\eta(s)|^4
\le (m_4+3v^2)|t-s|^2.第24章的矩判据取α=4、β=1，起点又恒为0，便给C([0,T])紧性。有限维极限识别出√v B，v=0时为零过程。四阶矩路线至此完整成立，但它仍只是将来截断论证的一个部件。
25.7 截断不是把大步子假装不存在
固定K>0，把ξ分成有界的中心化部分和余项。必须同时调整均值。原变量均值为0，并不保证截断之后均值仍为0；一个很小却固定的均值，累积n次再除√n，仍会产生越来越大的漂移。
\begin{gathered}
\xi_i^{(K)}=\xi_i\mathbf1_{\{|\xi_i|\le K\}}
-E[\xi_1\mathbf1_{\{|\xi_1|\le K\}}],\\
\rho_i^{(K)}=\xi_i-\xi_i^{(K)}
=\xi_i\mathbf1_{\{|\xi_i|>K\}}-E[\xi_1\mathbf1_{\{|\xi_1|>K\}}],
\\
\operatorname{Var}(\rho_1^{(K)})\le
v_K:=E[\xi_1^2\mathbf1_{\{|\xi_1|>K\}}]\downarrow0.
\end{gathered}对每个固定K，截断步子有有限四阶矩，上一节给出其折线路径Lₙ⁽ᴷ⁾的紧性。它的方差也趋于原方差1，因为余项在L²中趋0。不过我们无需立刻交换K与n的两个极限：先证明尾部路径在整个窗口都很小。
不能估计尾项绝对值之和再希望它足够小。那会破坏中心化带来的抵消，往往留下√n倍的一阶尾量。第12章Kolmogorov最大不等式恰好控制仍保有独立与均值0的尾部部分和。
P\!\left(\|L_n-L_n^{(K)}\|_{[0,T]}>\varepsilon\right)
\le P\!\left(\max_{k\le\lceil nT\rceil}
\left|\sum_{i=1}^k\rho_i^{(K)}\right|>\varepsilon\sqrt n\right)
\le\frac{(T+1)v_K}{\varepsilon^2}.第一步只用折线在格内是两个端点的凸组合；第二步使用的最大不等式，其条件是独立、中心化与有限方差，不要求四阶矩，也不要求尾部与截断部分相互独立。它们通常并不独立，而这里从未使用这种额外假设。
25.8 把两个极限按正确顺序合起来
记w为第24章连续路径的振幅。两条曲线若在一致距离内相差a，它们的振幅至多相差2a。因此原路径的坏振幅事件，可分为截断路径的坏振幅，以及整条尾部路径过大的事件。
\begin{gathered}
P(w(L_n,\delta)>\varepsilon)
\le P(w(L_n^{(K)},\delta)>\varepsilon/2)
+P(\|L_n-L_n^{(K)}\|_{[0,T]}>\varepsilon/4),
\\
\lim_{\delta\downarrow0}\limsup_n P(w(L_n,\delta)>\varepsilon)
\le \frac{16(T+1)v_K}{\varepsilon^2}.
\end{gathered}右边对每个固定K都成立。先让δ趋0，使用固定K的四阶矩紧性；然后令K趋∞，尾部二阶矩使右边归零。起点恒为0，有限个初始n也可由各自连续性补入。于是Lₙ的分布在C([0,T])中一致紧。
四阶矩常数可能随K迅速增加，甚至趋于无穷，这没有破坏证明。我们从未要求它对K统一，只要求固定K时对n统一。错误地先选一个随n变化的截断高度，再把这个常数当成统一常数，会掩盖整个论证最关键的量词。
25.9 Donsker定理现在成为路径结论
我们可以正式完成主结论。若ξᵢ独立同分布、Eξ₁=0、Eξ₁²=1，则对每个T<∞，Lₙ的分布在C([0,T])中弱收敛到标准Brownian motion的限制分布。
L_n\Rightarrow B\quad\text{in }C([0,T]),\qquad
E\,F(L_n)\longrightarrow E\,F(B)\quad(F\in C_b(C([0,T]))).证明的逻辑已经全部在场：§25.4给有限维极限，§25.6–25.8给共同紧性，第24章的路径识别定理把任意弱子列极限识别为第23章已经存在的Wiener测度，坏子列反证恢复整列。Brownian的存在没有依赖Donsker，所以这里没有用待证明的极限来构造自己。
对一般Yᵢ，结论就是从折线部分和中减去μnt，再除以σ√n。折线对常数μ的累积恰为μnt，故中心化没有额外的网格误差。σ=0时Yᵢ=μ几乎必然，中心化路径恒为零；非退化Brownian版本明确要求σ>0。
25.10 阶梯、折线与越来越长的观察窗口
Wₙ本来不在C里，因此不能写成“Wₙ在C中收敛”。连续嵌入C→D把Lₙ的极限传给J₁空间；又因为J₁距离不超过截断一致距离，§25.3的误差和第24章稳定性结论给出Wₙ在D中的同一极限。
W_n\Rightarrow B\quad\text{in }(D([0,T]),J_1),
\qquad d_{J_1}(W_n,L_n)\le 1\wedge\|W_n-L_n\|_{[0,T]}
\xrightarrow P0.主线的紧性证明完全在C中完成，没有调用Aldous准则。D的Polish与Borel结论的对数时钟及坐标生成证明见T-J1；此处使用的是其中的可测结构、连续嵌入和距离控制。Brownian极限连续，故两种插值的差在比J₁更强的一致距离下已经消失。
在半轴上，对每个整数窗口使用相同证明，再用第24章C_loc紧性和有限维识别，得到Lₙ⇒B于C_loc。阶梯版也在实值半轴局部J₁中成立：在T-J1的积分度量里，一致距离上界对每个固定窗口依概率趋0；有界性将其期望送到0，Tonelli与控制收敛再把窗口积分送到0，最后用Markov得到整个局部距离依概率趋0。这里没有要求所有跳跃极限在整数端点上都稳定；此处极限恰好处处连续。
25.11 一条路径极限能带走哪些问题
现在最大值不必再由不断增长的多元积分直接计算。在C([0,T])上，上确界、下确界、极差以及曲线的时间积分都是连续函数；对最大值甚至有差不超过两条曲线一致距离的估计。连续映射于是给出一整批真正的函数型极限定理。
\max_{0\le k\le n}\frac{S_k}{\sqrt n}
\Rightarrow\sup_{0\le t\le1}B_t,\qquad
\int_0^1L_n(t)\,dt\Rightarrow\int_0^1B_t\,dt.关于越界概率，还要尊重Portmanteau：只有在极限最大值的分布不给阈值a质量时，才能直接断言越界概率收敛。本章不提前借用第26章的反射原理来填入最大值分布公式，也不把首次命中时间处处当成连续映射。刚好擦过边界的路径，可能使首次命中非常不稳定。
分布收敛也没有自动许诺期望收敛。这里可以额外使用第15章L²最大不等式：E max_{k≤n}|Sₖ|²/n≤4。因此网格最大值本身一致可积，截断连续读数再取尾部极限，就得到其期望收敛到Brownian最大值的期望。相同估计并未证明最大值平方一致可积，不能未经进一步论证把结论再提高一个矩阶。
25.12 有限方差与独立性各自承担什么
有限方差的作用不只是让最后一个位置满足CLT。它还让最大单步在√n尺度下消失，并让截断尾部在整段路径上可忽略。§25.5那个没有四阶矩的密度仍完全满足本定理；额外四阶矩只是证明有界近似时使用的工具。
独立性则控制抵消与时间块的联合结构。取独立对称符号εⱼ，却令ξ₂ⱼ₋₁=εⱼ、ξ₂ⱼ=−εⱼ。每个步子仍均值0、方差1、绝对值1，但每两步完全抵消，折线路径的一致范数不超过1/√n，于是极限是零。单步分布与有界性没有替代独立性。
如果ξᵢ是标准Cauchy，部分和Sₙ/n仍是标准Cauchy，而Sₙ/√n的尺度增大为√n，连终点都不紧。第14章的稳定规律说明这不是“没有极限”，而是平方根尺度已经不适合。这也不意味着所有无限方差都只能产生非Gaussian极限；无限方差Gaussian吸引域需要另外的截断方差与尺度理论，不能从本定理自动得到。
25.13 每步方差趋于1，也可能留下大跳
“同分布”还有一个容易忽略的量词：本定理使用一份固定步子分布，不是每当n改变，就另选一份方差1的分布。用第13章的稀有事件可以看见差别。对n≥2的每一行取独立Bernoulli(1/n)变量Iₙₖ，令ξₙₖ=√n(Iₙₖ−1/n)，k=1,…,n。
E\xi_{n,k}=0,\quad\operatorname{Var}(\xi_{n,k})=1-\frac1n,\qquad
\frac1{\sqrt n}\sum_{k\le\lfloor nt\rfloor}\xi_{n,k}
=\sum_{k\le\lfloor nt\rfloor}I_{n,k}-\frac{\lfloor nt\rfloor}{n}.终点趋于Poisson(1)−1而非Gaussian。更直接地，在至少一次成功的事件上，折线有一个宽度1/n、高度1−1/n的上升格。这个事件概率趋于1−e⁻¹；对任何固定δ>0，充分大的n都有振幅至少1−1/n。因此C紧性失败。每个指定小格出现大跳的概率趋零，全部格子中仍有非消失的机会留下一个大跳。
即使再除以√(1−1/n)把每个步子的方差精确改成1，结论也不改变。第14章Lindeberg条件控制的，正是这种总方差中没有消失的大跳贡献。有限方差不变性原理并没有废除这个条件；固定分布的二阶尾积分已经自动提供了这里所需的控制。
25.14 固定样本数为什么会留下桥
路径极限不只适用于按时间相加的收益。取独立Uᵢ均匀分布于[0,1]，从左向右移动阈值t，记录样本中落在[0,t]内的比例Gₙ(t)。第12章说明Gₙ一致趋于t；现在把剩下的偏差放大√n。
\begin{gathered}
G_n(t)=\frac1n\sum_{i=1}^n\mathbf1_{\{U_i\le t\}},\\
\alpha_n(t)=\sqrt n\{G_n(t)-t\},\\
\operatorname{Cov}(\alpha_n(s),\alpha_n(t))=\min(s,t)-st.
\end{gathered}t=1时总数固定为n，偏差恰为0；不同阈值增加的计数也不能彼此独立，因为它们在分配同一批样本。协方差不是min(s,t)，而多了−st。第23章的Brownian bridge并不是在这里凭类比出现：固定总量确实改变了Gaussian关联结构。
单看协方差仍不够证明过程极限。我们需要一种把整条经验曲线与已经掌握的独立和连接起来的表示。排序后的均匀点之间是随机间隔；独立指数等待在给定总长度之后，恰好产生这些间隔。这个有限样本的精确等式，比另起一套未经证明的经验过程紧性工具更直接。
25.15 指数间隔把随机游走变成经验曲线
取独立均值1的指数变量Eᵢ，部分和记Rₖ，令N=n+1。向量(R₁/R_N,…,Rₙ/R_N)的分布就是n个均匀样本的顺序统计量。变换Eᵢ=r(uᵢ−uᵢ₋₁)的Jacobian为rⁿ，联合密度积分为∫₀∞e⁻ʳrⁿdr=n!，恰等于均匀顺序统计量密度。T-FCLT给出变量范围、Jacobian与归一化的完整计算。
把Rₖ/R_N在k/N之间线性连接，得到严格递增同胚q_N。记指数中心化折线为H_N。刚证明的Donsker与连续映射给出下式；分母来自把总长度固定为1，它减去了与终点共同涨落的那一部分。
v_N(t):=\sqrt N\{q_N(t)-t\}
=\frac{H_N(t)-tH_N(1)}{1+H_N(1)/\sqrt N}
\Rightarrow B_t-tB_1=:B_t^\circ\quad\text{in }C([0,1]).经验CDF则反过来问：空间阈值走到t，已经经过多少个间隔？因此需要逆函数r_N=q_N⁻¹。它满足√N(r_N−id)=−v_N∘r_N。因为q_N趋近恒等函数，r_N也趋近恒等函数；v_N的C紧性又使这次小时间变化造成的一致误差趋零。于是逆函数的涨落趋于−B°。
由这些间隔形成的经验CDF与r_N相差至多1/N，故√n尺度下差异消失。−B°与B°同分布；这里利用的是中心Gaussian对称性，不能在与原Brownian联合讨论时擅自删掉负号。我们得到真正的经验过程定理：
\alpha_n\Rightarrow B^\circ\quad\text{in }(D([0,1]),J_1),\qquad
\|G_n-r_N\|_\infty\le\frac1{n+1}.这里使用D值随机元素和与连续过程一致接近的表示，不把非可分的一致范数函数空间中的Borel弱收敛当作已证明事实。密度表示、逆函数误差及连续映射每一步，均在T-FCLT的经验过程证明实际展开。
25.16 总体分布改变时，桥怎样被重新读出
若样本来自一般分布函数F，经验CDF记Fₙ。使用第七章分位数构造，将样本写成Q_F(Uᵢ)，便有1_{Q_F(Uᵢ)≤x}=1_{Uᵢ≤F(x)}。因此新的偏差过程，就是均匀经验过程在时间F(x)处的读数。
\begin{gathered}
\sqrt n\{F_n(x)-F(x)\}=\alpha_n(F(x)),
\\
\sqrt n(F_n-F)\Rightarrow B^\circ\circ F
\quad\text{in }D([a,b])\quad(a<b\text{ finite}).
\end{gathered}F不连续时，极限也可以在总体原子的所在地跳跃；我们没有把它强行称为连续过程。从连续函数g到g∘F的映射，对一致距离是压缩的，输出为càdlàg，所以连续近似足以证明这一版本。这里的拓扑理由是：J₁收敛到连续g时等价于一致收敛，因而gₙ∘F的一致误差不超过gₙ与g的一致误差，即使F不连续也成立。上一节的C值近似给出了这一极限操作的严格实现；没有对一般跳跃极限擅用复合映射。若F连续，极限路径也连续。有限区间版本及可测性见T-FCLT。
均匀情形还直接给√n‖Gₙ−id‖∞⇒‖B°‖∞。这说明一次路径极限怎样同时组织所有阈值的误差，而不是把单个阈值的正态近似重复无穷遍。本章不计算桥上确界的显式分布；那需要另行建立相应的路径工具。
25.17 等待时间的和，怎样变成到达次数
第19章中，更新次数与等待时间的和互为逆问题。设τᵢ>0独立同分布，均值μ>0、方差σ²∈(0,∞)，到达时刻Rₖ=τ₁+⋯+τₖ，N(t)=max{k:Rₖ≤t}。如果等待总长在平均线之上，给定时间内能发生的到达次数就会减少，极限中的负号来自这个可见的逆关系。
\begin{gathered}
\left(\frac{N(nt)-nt/\mu}{\sqrt n}\right)_{0\le t\le T}
\Rightarrow
\left(-\frac{\sigma}{\mu}B_{t/\mu}\right)_{0\le t\le T}
\quad\text{in }D([0,T]).
\\
\left(-\frac{\sigma}{\mu}B_{t/\mu}\right)_t
\ \overset d=\ \left(\frac{\sigma}{\mu^{3/2}}\widetilde B_t\right)_t.
\end{gathered}这个结果不是把逆函数形式地求导就结束。先由强律和单调性证明N(nt)/n在紧窗口上一致趋于t/μ；再用有限二阶矩证明前约Cn个等待中的最大值除√n趋0，从而控制随机下标处尚未完成的一个间隔。最后，等待和过程的共同振幅估计允许把随机时间N(nt)/n换成t/μ。配套更新证明逐项完成这些步骤。
同一最大等待估计还使年龄与剩余寿命除以√n后在紧窗口上一致趋0。这只是当前宏观尺度上的可忽略性，不是它们未缩放的平稳极限定理，更不是重尾更新的函数极限。相同的逆思想，到了无限方差或可能爆炸的模型，需要重新检验自己的尺度与连续性条件。
25.18 不变的是什么，不变的又不是什么
不变性说的是，在这些假设和这种尺度下，许多不同的步子分布共享同一份宏观路径规律。微观分布的偏斜、是否有密度、是否有四阶矩，可以不同；中心化与方差归一以后，独立小波动的共同路径极限相同。这里没有声称所有微观信息消失，也没有声称现实运动自动满足这些模型条件。
尤其不能把分布极限读成原有随机游走逐条趋于某条Brownian路径。即使ξᵢ本身就是独立标准正态，令Aₙ=Sₙ/√n，A₂ₙ−Aₙ仍为方差2−√2的中心正态，故Aₙ不是依概率Cauchy。原概率空间上连终点都未必依概率收敛，更谈不上自动逐路径收敛。
\operatorname{Cov}(A_n,A_{2n})=\frac1{\sqrt2},
\qquad \operatorname{Var}(A_{2n}-A_n)=2-\sqrt2>0.第24章Skorokhod表示允许在另一共同空间上实现几乎必然逼近，但保留的是各n的边缘路径规律，不是原来的跨n依赖。更精细的强逼近又有自己的额外问题。把这些不同结论分开，才能准确理解我们获得的普适性。
25.19 连续运动终于从记录中走出来
最初，那些越来越密的照片只告诉我们：每一个有限窗口的位置看起来像Gaussian。现在我们知道，独立和还提供了照片以外的控制。有界部分的四阶展开约束了细小振荡，尾部二阶矩与最大不等式防止罕见大步破坏整段记录。连续极限不是从图像的平滑外观猜出来的，而是在这两份控制之间得到保证。
把相同的路径思想用于固定样本的计数，会得到两端钉住的桥；把等待之和反过来阅读，会得到到达次数的涨落。路径空间让不同实验之间的联系变得可以证明：不是因为它们有相似的图形，而是因为映射、误差和共同紧性都被明确控制。
不过，连续并不等于光滑。离散折线在每格都有斜率，极限存在也不保证这些斜率趋近某个速度；越界和首次命中，还保留着连续读数无法直接消除的边界困难。Brownian motion如今不只是一份被构造出来的概率，也是许多离散记录共同趋向的对象。接下来需要认真观察的，正是这条已经获得存在与逼近保证的路径本身。
25.20 史料、证明方法与范围
Monroe Donsker的An Invariance Principle for Certain Probability Limit Theorems收于1951年Memoirs of the American Mathematical Society第6号Four Papers on Probability；见AMS正式书目。1952年的Justification and Extension of Doob’s Heuristic Approach to the Kolmogorov–Smirnov Theorems发表于Annals of Mathematical Statistics 23，277–281，见原始期刊记录。这些文献为不变性与经验过程的历史归属提供依据，不表示本章复刻其原始证明，也不把当时的函数空间处理等同于后来成熟的Borel弱收敛框架。
本章采用现代重建：以第23章独立构造的Wiener测度为候选极限，用第24章路径紧性识别它；有界四阶矩加固定截断完成一般有限二阶矩，指数间隔与逆映射完成这里陈述的经验过程和有限方差更新版本。旧Donsker专题保留原推导，当前一般主证明以本章及T-FCLT为准。Brownian停止时刻嵌入、强逼近、一般经验函数类、重尾更新及条件随机树极限均不由本章自动完成。