时间中的公平、记忆与再生

一份随机记录不会把全部未来一次交给我们。它只向前多翻开一页：一轮赌局的结果，一个新的观测值，一次返回，或者一个孩子的出生。我们据此作出判断，有时还要决定是否继续。概率论此时研究的，已经不只是一份分布会给哪些结果分配多少机会，而是判断怎样随着所见的世界一起改变。

在有限次实验中，逐步作条件平均似乎已经把事情安排妥当。只要下一步在已有信息下不占便宜，一场游戏就保持公平。然而，无限记录让这个朴素判断遇到新的困难：每个有限时刻都成立的平均关系，未必保留在路径的最终结果中。问题不在于哪一步偷偷改变了规则，而在于我们是否把有限时刻的承诺，未经论证地带到了无限远处。

玩家自己决定何时离开，又改变了观察实验。一个固定时刻与“等到第一次赢钱”并不是同一种选择；后者已经使用沿途获得的信息。要判断这种选择留下什么概率关系，必须先说清玩家当时究竟知道什么，以及停止以前可能承担多大的等待和损失。时间在这里不仅流逝，也成为依赖观测作出的决定。

同样的困难还藏在“现在”这个词里。一枚偏向未知的硬币，最近一次的结果并不概括此前所有观测；两段末尾相同的记录，可能要求不同的下一步预测。我们需要寻找的不是一个让过去凭空消失的标签，而是能够保存过去对未来仍有作用的信息的状态。只记住现在是否足够，是需要由模型和条件概率检验的事情。

一旦找到足够的状态，返回便有了另一层意义：在路径的寿命结束以前，于合法的随机时刻重新站到同一位置，未来可能遵循同一份规则。但这并不保证那一时刻一定到来。一个每步都没有方向偏好的行者，仍可能从此远离出发点。局部的公平、未来规则的相同和路径最终的命运，在这里必须分开。

若返回真的发生，漫长的时间又可以按返回之间的周期阅读。一次周期结束，下一次等待开始，这使我们有机会用较简单的重复实验理解整段记录。可是，沿到达次数抽取一个周期，与在时钟上随意选一个位置，看到的并不是同一种典型对象。长周期占据更多时间，观察方式于是成为概率问题的一部分。

重新开始还可以不只沿着一条线延续。每个个体产生若干后代，后代再独立使用相同的规则，时间就带上了亲缘结构。对许多可能的家族取平均，与沿一棵生存之树观察增长，也可能给出很不相同的图景。少见的大型家族可以承担平均值中的重要部分；改变观察权重，有时才使这些贡献变得可见。

这些问题相通之处，并不是它们拥有同一个答案。条件公平不能替代可积性，Markov性质不能保证返回，独立的更新周期也不自动使任意两个时间窗口相互独立。它们共同迫使我们认真对待一种差别：一条规则说明怎样再走一步，整条路径的判断却还需要知道信息如何保留、时间怎样被选择，以及重新开始究竟发生在什么条件下。

世代和步数给出了整齐的时钟。若观察的是沿真实时间出现的到达，记录中还会有长短不一的空白。一段空白已经持续多久，会不会改变接下来还要等多久？沿到达点重新开始，与在任意一个时刻重新开始，何时能够给出同样的未来？要回答这些问题，仅有一个固定窗口里的计数分布已经不够；我们必须把到达位置、等待间隔和不同窗口的关系一起构造出来。

而当一次到达同时改变了系统的状态，下一份等待也可能随之改变。把这样的规则写下来，只是开始：还需要确认它们真的能够形成一条时间记录，而不是让无穷多次变化挤在有限时间里。若确实发生堆积，怎样继续还需要额外的规则。这些是连续时钟将带来的数学困难，不能由离散时钟上的直觉预先消除。

公平游戏、空间中的游走、反复等待与随机家族有不同的历史，也需要不同的证明。这里把它们放在同一卷，不是为它们编造一条共同的发现史，而是为了追问：在每次只能得到有限信息的时候，我们怎样作出关于未来的可靠判断，又怎样知道这种判断到了哪里便不再成立。

我们先从一份最朴素的约定开始：在已经知道的事情面前，下一步的平均输赢为零。看看这份有限的公平，究竟能够把一条无限的路径约束到什么程度。