积分从哪里获得线性？——零集、极限与任意测度空间
本篇在任意测度空间 (S,\mathcal F,\mu) 上工作，不预设有限性、σ-有限性或完备性。我们先从非负简单函数建立积分的代数，再证明极限原则。这样，第六章里看似自然的“把和拆开”，才有不依赖所求结论的根据。
T-INTEGRAL.1 简单函数与非负积分
对有限值非负简单函数 s=\sum_{j=1}^ra_j\mathbf1_{A_j}，其中 A_j 两两不交、a_j\ge0，定义 I(s)=\sum_ja_j\mu(A_j)，约定 0\cdot\infty=0。不同表示可用全部集合的有限交细分为共同分区，有限可加性保证定义与表示无关。相同细分还给出简单函数的非负线性性与保序性；即使某项测度为无穷，也没有做无穷量的相减。
对可测 f:S\to[0,\infty]，定义 I(f)=\sup\{I(s):0\le s\le f,\ s\text{ simple}\}。因此 f\le g 蕴含 I(f)\le I(g)，而 I 在简单函数上与刚才的定义一致。每个这样的 f 有非负简单函数逼近：
s_n=2^{-n}\left\lfloor2^n\min(f,n)\right\rfloor,\qquad 0\le s_n\uparrow f.每个 s_n 只有有限多个值，且其水平集可测；二进网格细化与上限增大保证非降。有限 f 处的误差最终小于 2^{-n}，而 f=\infty 处有 s_n=n。这一步同时给出了后面反复使用的可测简单逼近。
T-INTEGRAL.2 不借线性性证明单调收敛
若 0\le f_n\uparrow f，保序性先给 L:=\lim_nI(f_n)\le I(f)。固定简单函数 0\le s\le f 及 0<c<1，令 E_n=\{f_n\ge cs\}。在 s>0 的每一点，因 f_n\uparrow f\ge s>cs，该点最终进入 E_n。因此 E_n 递增，且其并包含 \{s>0\}。
把 s 写成不交水平集的有限和，测度从下连续性逐项给出 I(s\mathbf1_{E_n})\uparrow I(s)。由 f_n\ge cs\mathbf1_{E_n} 得 L\ge cI(s)。若 I(s)=\infty，已得 L=\infty；否则令 c\uparrow1，再对全部 s 取上确界，得到 L\ge I(f)。这证明 MCT，且对任意测度空间成立。
T-INTEGRAL.3 非负线性性、可数求和与积分为零
为非负可测 f,g 分别取上述 s_n\uparrow f、t_n\uparrow g。简单函数的线性性和刚证明的 MCT 给出
\int(f+g)\,d\mu=\lim_n\int(s_n+t_n)\,d\mu=\int f\,d\mu+\int g\,d\mu.同理，对有限常数 c>0 有 \int cf=c\int f；c=0 时按 0\cdot\infty=0 处理。有限和以后，MCT 作用于部分和，得到非负函数的可数求和公式。这不是要求函数在每一点都可求和的额外假设，允许两边为 \infty。
\int\sum_{n=1}^\infty f_n\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty\int f_n\,d\mu,\qquad f_n\ge0.若 f\ge0，则 \int f=0 当且仅当 f=0 几乎处处。一方面，\mu\{f\ge1/k\}\le k\int f=0，可数并给出 \mu\{f>0\}=0。另一方面，若 f 只在可测零集上非零，则其下每个简单函数的正水平集都为零测，故积分上确界为零。这也覆盖 f 在零集上取无穷大的情形。
T-INTEGRAL.4 零集修改什么时候合法？
设 f,g\ge0 都可测，并在可测零集 N 外相同。分成 N 与 N^c，由线性性和上一节知 \int f=\int g。所以积分不受可测的零集修改影响。两个函数都可测不可略去：在未完备空间中，零集的任意子集未必是事件，其指标也未必可测。一般完备化的完整构造见测度基础。
若可测 f_n 在某个可测零集之外有极限，先把该零集上所有 f_n 定义成0，再取上极限，就得到可测极限版本。可测性来自 \limsup f_n=\inf_m\sup_{n\ge m}f_n 的可数运算；不能从“存在一个几乎处处相等的函数”无条件推出任意指定版本可测。
T-INTEGRAL.5 可积实函数与复函数
若 f 实值可测且 \int|f|<\infty，定义 \int f=\int f^+-\int f^-。两个量都有限，因而相减合法。由非负线性性及逐点恒等式 (f+g)^++f^-+g^-=(f+g)^-+f^++g^+，积分后整理得可积实函数的线性性；|f+g|\le|f|+|g| 先保证和可积。
由 -|f|\le f\le|f| 得 |\int f|\le\int|f|。复函数按实部、虚部分别定义积分。取单位复数 z 使 z\int f 为非负实数，对 \operatorname{Re}(zf)\le|f| 积分，同样得到复数三角不等式。若积分为0，无需选方向。非负扩展积分允许无穷大，但有符号积分不得写出未定义的 \infty-\infty。
T-INTEGRAL.6 Fatou 与 DCT：不需要 σ-有限的证明
对非负可测 f_n，令 g_m=\inf_{n\ge m}f_n。则 g_m\uparrow\liminf_n f_n，而 \int g_m\le\inf_{n\ge m}\int f_n。MCT 给出 Fatou 引理。若不等式或收敛只在几乎处处成立，先按上一节在共同的可测零集上修改版本。
现在设 f_n\to f 几乎处处，f_n,f 为可测实函数或复函数，且对所有 n 有 |f_n|\le g 几乎处处，其中 g\ge0、\int g<\infty。g=\infty 的集合为零测；将它与可数个例外集合并并取零版本后，可以在每一点使用 |f|\le g 与 0\le|f_n-f|\le2g。对非负函数 2g-|f_n-f| 使用 Fatou：
2\int g\,d\mu\le\liminf_n\int(2g-|f_n-f|)\,d\mu=2\int g\,d\mu-\limsup_n\int|f_n-f|\,d\mu.这里所有被减的积分都有限。因此 \int|f_n-f|\to0，再由积分三角不等式得到 \int f_n\to\int f。这既证明 DCT，也给出 L^1 收敛。证明没有为整个空间寻找有限测度穷尽，没有用拓扑，也没有用 σ-有限性。
T-INTEGRAL.7 能穷尽的是控制函数的有效支集
第六章关于尾部控制的直觉可以严格保留，但范围必须说准。对于 g\in L^1_+(\mu)，令 E_m=\{g\ge1/m\}。Markov 型估计给出
\mu(E_m)\le m\int g\,d\mu<\infty,\qquad E_m\uparrow\{g>0\},\qquad\int_{E_m^c}g\,d\mu\longrightarrow0.最后的极限由 MCT 作用于 g\mathbf1_{E_m} 再从有限的 \int g 相减得到。E_m 穷尽的是 \{g>0\}，不是未必 σ-有限的整个 S。例如，不可数集合上的计数测度没有可数个有限测度集覆盖全空间；但任意可积控制函数仍有上面的有效支集穷尽，DCT 仍成立。
另一种等价的组织方式是有限测度 \nu(A)=\int_Ag\,d\mu。非负可数求和公式保证 \nu 可数可加，总质量为 \int g。如果要控制小集合的贡献，先取 M 使 \int g\mathbf1_{\{g>M\}}<\varepsilon/2，再用
\int_Ag\,d\mu\le M\mu(A)+\int g\mathbf1_{\{g>M\}}\,d\mu.取 \mu(A)<\varepsilon/(2M) 即可，必要时把 M 选成正数。这就是积分关于底层测度的绝对连续性。它来自一个可积函数的尾部，而不是来自整个空间具有有限体积。第五、六章的零集与积分基础，由此能够可靠地支撑第八章的扩张、第十章的密度及第十一章的 Gaussian 平滑。