T-ITO-BRACKET：连续鞅的平方和、补偿与积分
本页展开第31章较长的证明。工作于通常条件的滤过；除最后的初值说明外，鞅从0出发。前置只有第15章Doob不等式、第16章有界抽样、第30章class D分解与可预测有限变差唯一性、T-LP的完备性。离散恒等式不是第32章Itô公式的应用。
1. 有界连续鞅：先用有限求和造出平方变差
固定有限T，设M连续且|M|≤c。对确定分割π，把每格的左端M值乘上该格截至当前的增量，得到连续鞅Jᵖ；同时令Qᵖ包含当前尚未走完的一格。有限代数给出精确身份。
J^\pi_t=\sum_i M_{t_i}(M_{t\wedge t_{i+1}}-M_{t\wedge t_i}),\qquad Q^\pi_t=\sum_i(M_{t\wedge t_{i+1}}-M_{t\wedge t_i})^2=M_t^2-2J^\pi_t.有界抽样与条件正交性保证Jᵖ为真鞅，并给终值估计。这里尚未使用一般连续鞅积分，只是在有限项之间消去交叉项。
E(J^\pi_T)^2=E\sum_i M_{t_i}^2(\Delta_iM)^2\le c^2 E M_T^2\le c^4,\qquad \|Q^\pi_T\|_2\le \|M_T^2\|_2+2\|J^\pi_T\|_2\le3c^2.比较π和η，取共同细分r。两个左端系数之差的绝对值不超过M在长度δ=max(|π|,|η|)内的振荡\omega_M(\delta)。再次用离散正交性，再用Cauchy–Schwarz，得到
E|J^\pi_T-J^\eta_T|^2\le E[\omega_M(\delta)^2 Q^r_T]\le3c^2\bigl(E\omega_M(\delta)^4\bigr)^{1/2}\longrightarrow0.连续性给振荡逐路径趋0，有界性给控制收敛。Doob的L²最大不等式把终值Cauchy提升为整段时间的L²最大范数Cauchy。其极限J有连续适应鞅版本：选取最大范数误差可求和的子列获得几乎必然一致收敛，条件期望再按L²取极限。整个序列收敛于同一J，而非只抽出一个不明极限。
因此Q=M²−2J连续，且Qᵖ→Q于L²最大范数。Qᵖ未必逐时刻递增，因为当前一格中的平方还会回落；删掉当前一格后得到递增阶梯函数，两者差至多\omega_M(|\pi|)^2。沿上述一致收敛子列取极限，Q递增。它从0出发，适应且连续，因而可预测；其终值可积。
另一方面，先由第30章对有界次鞅M²定义其可预测补偿A。现在M²=2J+Q又是一份满足全部条件的分解，故唯一性给A=Q不可分辨。这证明了A连续，也证明平方和收敛到A；没有先假定A的跳跃可以被可预测时刻枚举。
2. 去掉有界性，并标明分割与收敛模式
若M在[0,T]平方可积，先确认M²为class D：对任意有界停止τ，条件Jensen与闭鞅抽样给 Mτ²≤E[M_T^2\mid\mathcal F_\tau]；右侧是对同一个可积终值的条件平均族，一致可积。由此第30章确实适用，定义A=⟨M⟩。
令\sigma_c为|M|首次达到c的时刻，与T取小。连续性使停止过程有界。M²−A在\sigma_c停止仍为鞅，A的停止过程仍可预测递增且终值可积，所以唯一性使停止过程的补偿恰为A停止。第1节遂给每个停止补偿连续。每条连续路径在[0,T]有界，故随c增大最终不再提前停止；A因而连续，平方和由停止后的L²最大收敛提升为原过程的ucp收敛。
P\!\left(\sup_{t\le T}|Q^{\pi_n}_t-A_t|>\varepsilon\right)\le P(\sigma_c<T)+P\!\left(\sup_{t\le T}|Q^{\pi_n}(M^{\sigma_c})_t-A^{\sigma_c}_t|>\varepsilon\right).先固定c令网格趋细，再令c趋于无穷。对确定分割，E Q^\pi_T=E M_T^2=E A_T，且Q^\pi_T非负。其依概率收敛与期望相等给L¹收敛：任何子列再取几乎必然收敛子列，对min(Q^\pi_T,A_T)用控制收敛，再展开绝对差。因此一般平方可积M得到ucp与固定终点L¹结论，不能擅自声称L²最大收敛。
若M只是连续局部鞅，仍以达到±c的时刻局部化。一个有界的停止局部鞅为真鞅：对原局部化时刻取条件控制收敛即可。各停止括号由唯一性一致，于是拼成连续递增A，在每个有限区间逐路径有限；平方和仍ucp收敛。此时E A_T可能为无穷。
上述网格不必嵌套。还可允许每个分割由确定有限个有序有界停止时刻组成，且最大时间间距依概率趋0。有限抽样使第1节的正交性与3c²估计原样成立；两个停止网格的有序并仍由停止时刻组成，其系数是先前停止值。随机δ趋0于概率，且振荡有界，故E\omega_M(\delta)^4→0，同一证明给ucp结论。没有在此覆盖按未来全路径任意挑选的非停止分点。
3. 协变差的双线性与有限变差不是形式上的猜测
对连续局部鞅M,N，在共同局部化后由平方和极限定义交叉和。有限恒等式给下面的极化公式；交叉和本身逐项双线性，故其ucp极限也双线性。对平方可积M,N，MN−C为真鞅，因为它是两份平方过程减补偿的线性组合。
C=[M,N]=\frac14\bigl([M+N]-[M-N]\bigr),\qquad C=\langle M,N\rangle.在一个共同零集之外，对全部有理a及有理区间，A(M+aN)的增量非负。由双线性、连续性和有理稠密性，下面的二次式对任意实a与任意区间都非负。这给区间Cauchy–Schwarz，并对分割再用有限和Cauchy–Schwarz得到路径总变差界。
\Delta A(M)+2a\,\Delta C+a^2\Delta A(N)\ge0,\qquad |\Delta C|^2\le\Delta A(M)\Delta A(N),\qquad \operatorname{Var}(C)_T\le\sqrt{A(M)_T A(N)_T}.相应的积分不等式也须证明。对每条路径，以dD=dA(M)+dA(N)为支配测度。区间上的二次式非负推广到Borel集合，Radon–Nikodym密度a,b,c满足c²≤ab。于是对任意可测H,K，先用密度界，再用积分Cauchy–Schwarz，得到
\int_0^T|HK|\,|dC|\le\left(\int_0^T H^2\,dA(M)\right)^{1/2}\left(\int_0^T K^2\,dA(N)\right)^{1/2}.这里只用逐路径密度证明不等式，不需要凭空假设能联合选择一个随机密度。期望不等式再由普通Cauchy–Schwarz得到。特别地，括号在终值L²收敛下稳定：写A(X)−A(Y)=⟨X−Y,X+Y⟩，有
E\sup_{t\le T}|A(X)_t-A(Y)_t|\le\|X_T-Y_T\|_2\,\|X_T+Y_T\|_2.4. 随机时钟上的完整积分延拓
设M连续平方可积，A=⟨M⟩，定义可预测σ代数上的有限测度m_M(E)=E\int_0^T\mathbf1_E\,dA。路径积分的可测性先对矩形检查，再由非负函数单调类推广。其总质量为E A_T=E M_T^2。
有界简单可预测过程在L^2(m_M)稠密。具体地，对确定矩形作有限集合运算得到一个集合代数，它生成P；能以该代数简单函数逼近的指标集合族，对补集和递增并封闭，因测度有限而覆盖整个P。再截断一般L²函数并作阶梯逼近。每个代数简单函数可在共同确定网格上写成有界F左端系数的形式；0处无质量，因为A₀=0且A连续。
对这些简单H定义有限和I(H)。条件正交性，加上M²−A的鞅身份，给等距；在非网格终点把该区间截断，同样成立。
E I_T(H)^2=E\sum_i H_i^2(\Delta_iM)^2=E\sum_i H_i^2\Delta_iA=E\int_0^T H^2\,dA.取L^2(m_M)逼近，Doob L²估计给连续鞅的L²最大范数极限。它适应且连续，并为真鞅；与逼近无关，且等距保留。这里的过程空间完备性使用第31章Brownian构造中已经证明的“最大范数可求和子列”论证，不使用未来积分定理。
5. 停止与局部化必须与延拓相容
对确定有限网格取值的停止时刻τ，细分到共同网格，有限和直接给下面的停止身份。对一般τ≤T，以从右逼近的有限网格停止时刻τₙ代替。左边因积分路径连续而逐路径一致收敛；右边由H²对m_M的可积性、指标1{s≤τₙ}下降以及等距，按L²最大范数收敛。于是身份对一般τ成立。
(H\mathbin{\cdot}M)_{t\wedge\tau}=\bigl(H\mathbf1_{(0,\tau]}\mathbin{\cdot}M\bigr)_t,\qquad \langle M^\tau\rangle=\langle M\rangle^\tau.后一括号身份由第30章停止保持可预测性及分解唯一性给出，不能只当符号法则。于是对同一H，使用停止积分器或停止被积规则一致：先对简单H算有限和，再按两侧相同能量范数延拓。
设M连续局部鞅，H可预测，且每个有限T上∫H²dA有限几乎必然。其能量累积Cₜ=∫₀ᵗH²dA连续、适应、递增：在[0,t]上先对可预测矩形检查积分对Fₜ可测，再以非负函数单调类推广；A的连续性使积分测度无原子，局部有限总积分给C的连续性。取ρₙ为时间n、|M|首达n、C首达n三者之小；它们是停止时刻，ρₙ↑∞几乎必然。
停止后M有界，能量不超过n，因而各局部积分都在已经建立的L²理论中。停止身份使它们在重叠区间一致，可拼成唯一不可分辨的连续局部鞅。不同局部化序列也由共同细分与停止身份得到同一过程。这一步没有把仅几乎必然有限的能量误作有限期望。
6. 积分怎样改变括号与协变差
先对简单H在每个区间检查：该段积分从过去值开始，后续增量为H_i乘M的增量；展开平方时线性项条件平均为0，平方项用M²−A补偿。因此I(H)²−∫H²dA为鞅，右侧递增连续且可预测；Doob–Meyer唯一性给括号公式。没有使用Itô公式。
对一般H，取简单Hⁿ按能量L²逼近。第3节的括号稳定性使左侧按L¹最大范数收敛；Cauchy–Schwarz使∫|(Hⁿ)²−H²|dA的期望趋0。因此等式在极限保留。不同积分器的混合公式，先对简单过程用MN−⟨M,N⟩检查，再由第3节积分不等式控制两边的误差。
\langle H\mathbin{\cdot}M\rangle_t=\int_0^t H^2\,d\langle M\rangle,\qquad \langle H\mathbin{\cdot}M,K\mathbin{\cdot}N\rangle_t=\int_0^t HK\,d\langle M,N\rangle.局部情形在ρₙ上应用已证公式再拼合。积分还具有结合性：K·(H·M)=(KH)·M，只要两侧局部能量条件成立。对简单K由区间增量可直接算出；用上式可知一般K的逼近误差在两侧恰是同一能量范数，故按等距与局部化延拓。这是构造的相容性，不是把随机微分当普通代数。
7. Brownian时钟下，渐进可测规则的可预测代表
Brownian积分在dt·P意义下只认被积过程的等价类，并不要求每个单点取值由某个连续版本实现。若H渐进可测且E∫H²dt有限，将它在负时间延为0，取只使用过去的时间平均。Fubini保证几乎每条H路径局部可积，时间平均连续且适应，故可预测。
H^{(n)}_t=n\int_{(t-1/n)^+}^t H_s\,ds,\qquad \|H^{(n)}-H\|_{L^2(P\,dt)}\longrightarrow0.最后的收敛可由时间平移的L²连续性证明：先对有限矩形简单函数检查，再用稠密性与平移的范数收缩推广；对过去平均使用Minkowski。P可测L²空间完备，所以极限有可预测代表，与原H在dt·P下相等。这个证明不调用一般可测投影，也不能不加论证就搬到有原子的随机时钟。
最后，若平方可积M初值不为0，先减去F₀可测的M₀。两份平方过程之差为2M₀(M−M₀)+M₀²；截断M₀，用L² Cauchy–Schwarz取L¹极限，证明这项为鞅。因此括号不变，积分也只使用增量。本页所有从0出发的结论遂涵盖一般平方可积初值。
8. 普通时间的零集，为什么仍能承载全部积分能量
取独立公平Bernoulli变量ξₖ，令Y为下面的独立级数，其分布ν支持于标准Cantor集C；该集长度为0，见测度补证。每个n位前缀对应一个质量2⁻ⁿ的闭区间，这些区间彼此分离；任意单点的质量至多2⁻ⁿ，对n取极限为0。因此ν无原子，其CDF c连续，c(0)=0、c(1)=1。
Y=\sum_{k\ge1}2\xi_k3^{-k},\qquad c(t)=\nu([0,t]),\qquad \nu(C)=1,\quad |C|=0.这份c是确定函数，不是随机停止时间。对Brownian自然通常滤过取Gₜ=\mathcal F^B_{c(t)}，由c的连续性与单调性，G仍右连续且完备。Mₜ=B_{c(t)}的增量独立于Gₛ、均值0、方差c(t)−c(s)，所以M为连续平方可积鞅；M²−c也为鞅，Doob–Meyer唯一性给⟨M⟩=c。
确定的Borel过程H=\mathbf1_C可预测，因为确定时间区间的矩形已经生成全部时间Borel集。它与1在dc下相等，与0在dt下相等。等距与等价类唯一性给下面的身份；M₁的方差为1，所以结果确实不是零过程。
\int_0^1 H_s^2\,ds=0,\qquad \int_0^1 H_s^2\,dc(s)=1,\qquad (H\mathbin{\cdot}M)_t=(1\mathbin{\cdot}M)_t=M_t.返回第31章。本页证明连续（局部）鞅的范围；一般跳跃半鞅、BDG全范围与Itô公式不在这里冒充已建立。