T-J1：跳跃路径的拓扑、可测结构与紧性
本专题补全第24章实值跳跃路径所需的证明。先在D=D([0,1],ℝ)工作；路径右连续，并在每个正时刻有有限左极限。终点值x(1)是记录的一部分，不能与x(1−)混同。最后独立构造半轴的局部J₁。这里只证明明确写出的强停止对充分准则，不宣称所有Aldous形式等价。
1. 一条路径为什么能被有限阶梯描述
对任意ε>0，从t₀=0出发，令下一点是第一次满足|x(t)−x(tᵢ)|>ε的时刻，若不存在则取1，并在1结束。右连续性使每个真正的新点严格在旧点右侧。在退出点，位移可能恰等于ε；右连续性保证它至少为ε，不能未经论证写成严格大于。
退出点不可能有无限多个。否则它们递增趋于t*≤1，相邻锚点的值相差至少ε，却又都从左趋近t*，与左极限存在矛盾。因此得到有限分区，在每个半开格[tᵢ,tᵢ₊₁)内，所有值距x(tᵢ)至多ε，格内振幅至多2ε。终点1另赋原值。所得有限阶梯s满足‖s−x‖∞≤ε。由此x有界，且其间断点至多可数：幅度大于2ε的跳只能出现在这样一个有限分区的边界，最后对ε=1/m取并。
2. 时间对齐与一个真正完备的度量
设Λ为[0,1]上递增、端点固定的同胚。普通J₁收敛指存在λₙ∈Λ，使时间误差与对齐后的值误差都趋于零。它对应的直接下确界度量不完备，例如1_[1/n,1]会逼近一个在0不右连续的对象。需要约束时钟对间隔的相对拉伸，而不只约束最大位移。令Λ₀由下面对数伸缩量有限的时钟组成，并定义d₀。
L(\lambda)=\sup_{s<t}\left|\log\frac{\lambda(t)-\lambda(s)}{t-s}\right|,
\qquad
d_0(x,y)=1\wedge\inf_{\lambda\in\Lambda_0}
\max\{L(\lambda),\|x-y\circ\lambda\|_\infty\}.逆时钟具有相同L，复合时钟的L不超过两者之和，所以对称性与三角不等式成立。L(λ)≤r还给出‖λ−id‖∞≤eʳ−1。若距离为0，在y的连续点由对齐误差得到x(t)=y(t)；这些点稠密，右连续性补齐内部各点，而端点固定补齐1。因此d₀确为度量。
它与普通J₁有相同收敛列。一个方向由位移界立即成立。反方向，写成‖xₙ∘λₙ−x‖∞→0。给极限x取振幅小于2ε的有限半开分区，将λₙ换成经过这些分区端点像的分段线性时钟。有限个区间长度均为正，其斜率趋于1，所以新时钟的L趋于0。在每个格内，新旧时钟经相互转换后仍落在同一格，值误差至多原误差加2ε；在边界及1两时钟完全一致。先取n极限再令ε↓0，即d₀→0。
证明完备性时，取一个Cauchy子列，仍记xₙ，使相邻距离能由时钟λₙ实现为εₙ误差，其中Σεₙ<∞。定义φ₁=id，φₙ₊₁=λₙ∘φₙ。对齐后的hₙ=xₙ∘φₙ一致Cauchy，故一致趋于càdlàg函数g：右连续与左极限都通过一致误差的三角估计保留。φₙ的位移增量可求和，同时所有φₙ具有共同的双Lipschitz界e^{±Σεₙ}，所以一致趋于同胚φ。尾部复合时钟还满足下式。
L(\varphi\circ\varphi_n^{-1})\le\sum_{j\ge n}\varepsilon_j,
\qquad x=g\circ\varphi^{-1},\qquad d_0(x_n,x)\longrightarrow0.第二个收敛由xₙ(t)=hₙ(φₙ⁻¹(t))与x(φ∘φₙ⁻¹(t))=g(φₙ⁻¹(t))直接得到。Cauchy性恢复整列收敛。可分性也不是额外假设：先用第1节有限阶梯一致逼近，再把有限跳时及各高度逼近为有理数，终点值独立逼近。分段线性时钟对齐相邻跳点，L趋于0。这些有理阶梯是可数稠密集。因此(D,d₀)是Polish空间。
3. 为什么坐标仍然生成全部Borel事件
若xₙ→x于J₁，则xₙ(t)→x(t)在x的每个连续点成立，且一致范数有共同上界；e₀、e₁因时钟固定端点而总连续。对t<1，取h>0且t+h≤1。下面的平均作为x的函数是J₁连续的：除至多可数跳点外逐点收敛，积分由共同上界控制。令h↓0，右连续性给出e_t，因此每个评价都是Borel函数。
A_{t,h}(x)=\frac1h\int_t^{t+h}x(s)\,ds\longrightarrow x(t).反方向令Pₖx在每个二进半开格取左端采样值，并在1取x(1)。该映射仅用有限坐标，且从这些高度到固定阶梯的映射在一致范数下连续。Pₖx→x于J₁：对有限阶梯s，采样至多将各跳点右移2⁻ᵏ，足够细时不合并不同跳点，时钟可将其对齐；对一般x，先取‖x−s‖∞小，利用Pₖ对一致范数的压缩性和d₀≤1∧‖·‖∞，再用三角不等式。
固定y后，d₀(x,y)=limₖd₀(Pₖx,y)对坐标σ-代数可测。可分性使开集为可数基开球的并，故Borelσ-代数恰由坐标生成。任意含1的可数稠密时间集也足够：每个t<1可从其右侧选时间递减趋近，由右连续性恢复x(t)。端点1须明确包括。
4. 振荡分区与紧性的完整判别
下面分区的每个间距都严格大于δ。每格排除右端点，尤其最后格不包括1；终点另由一致范数控制。这个约定允许真实的终点跳跃，却不允许把端点附近的两次相反跳跃藏起来。
w'(x,\delta)=\inf_{\substack{0=t_0<\cdots<t_m=1\\
\min_i(t_i-t_{i-1})>\delta}}
\max_i\sup_{s,t\in[t_{i-1},t_i)}|x(s)-x(t)|.集合K相对紧，当且仅当其一致范数有共同上界，且sup_{x∈K}w′(x,δ)→0。先证充分性：给精度ε，取一个共同δ，使每条路径都有振幅小于ε的好分区。用左端值替换每格，终点保留，产生一致误差小于ε的阶梯。格数至多1/δ，跳点间距至少δ，高度位于共同有界闭区间。对固定格数，这些时间和高度参数组成有限维紧集，映为D的映射连续：用线性时钟对齐对应时间，最小间距保证斜率随参数连续。有限种格数的像是紧集，故K有有限ε网。完备性将全有界性变为紧闭包。
必要性从单路径分区出发。给x的一个好分区，最小间距为g>0。若y与x在d₀下接近r，则对齐时钟把该分区输送为y的分区，间距至少e⁻ʳg，振幅至多原振幅加2r。一致范数在J₁下连续。对紧集取有限邻域覆盖，就得到共同的范数界和共同的δ。相对紧集在其紧闭包上应用这一论证。
w′可测也需要说明。若w′(x,δ)<a，选出一个严格好分区；其间距相对δ有正余量。足够小的J₁扰动输送后仍有间距>δ，振幅仍<a。因此{w′(·,δ)<a}开，w′上半连续。概率版本随之成立：一族D值概率一致紧，当且仅当一致范数紧包含且对每个ε>0，supₙP(w′(Xₙ,δ)>ε)→0。充分性选择可求和的坏事件概率，把好约束取交再取闭包，应用刚证的相对紧性；必要性在一个共同紧集上用一致判别。将supₙ换成limsupₙ不改变准则，因为有限个概率各自紧，且每条càdlàg路径的w′趋零。
5. 有正概率跳跃的固定时刻至多可数
在同一概率空间的实随机变量等价类上用ρ(V,W)=E[min(1,|V−W|)]。路径的右连续性和左极限，由控制收敛传给t↦[X_t]，使它成为这个度量空间中的càdlàg曲线。左极限X_{t−}由确定性时间递增采样，故可测。第1节有限振幅分区的证明只用度量三角不等式，对这条曲线也适用。因此它有至多可数个不连续时刻。而ρ(X_t,X_{t−})>0恰当且仅当P(X_t≠X_{t−})>0，结论成立。这里不需要假设该随机变量空间完备，也没有调用任何过程正则化定理。
6. 强停止对条件为什么给出紧性
设Xₙ适应右连续滤过，路径càdlàg，一致范数紧包含，并满足第24章的aₙ(δ,ε)条件。所有停止时刻都取值于[0,1]。先核验退出点合法性，而不借用未来的连续时间抽样定理。对停止时刻S，向上取二进近似S_m↓S；X_{t∧S_m}对F_t可测，因其有限分片只用不晚于t的观察。右连续性给X_{t∧S_m}→X_{t∧S}，所以停止过程适应。Z_t=X_t−X_{t∧S}也是适应càdlàg过程。
开放越界σ=inf{t:|Z_t|>ε}的{σ<t}由t以前有理时刻的观察生成；右连续滤过再给{σ≤t}=∩_m{σ<t+1/m}∈F_t。截在1仍是停止时刻。严格退出时刻可只达到ε，这就是后面估计采用ε/2的原因。
从τ₀=0反复按尺度ε退出，记N为1以前真正退出的次数。逐路径N有限。若第k个间隔至多δ且下一退出在1前，停止对S=τ_k、U=τ_{k+1}∧(τ_k+δ)∧1的位移至少ε。因此该事件概率至多aₙ(δ,ε/2)。N≥K时，前K个间隔中至少K/2个长度不超过2/K；对这些指示求期望而非错误地要求独立，得到下面的估计。
P(N\ge K)\le 2a_n(2/K,\varepsilon/2).给定K后，前K个真实退出间隔中有一个≤δ且τ_{k+1}<1的概率至多K aₙ(δ,ε/2)。另从确定时刻1−2δ开始作一次开放越界，将坏事件明确取为sup_{t∈[1−2δ,1]}|Xₙ(t)−Xₙ(1−2δ)|>ε，其概率至多aₙ(2δ,ε/2)。在没有这些坏事件时，保留所有1−δ以前的退出点，然后接上1。每个间距都>δ；普通格振幅至多2ε，最后一格至多4ε：若其锚点早于1−2δ，直到末段之前仍在锚点ε范围内，末段各点又距X(1−2δ)至多ε；若锚点已在末段，只用末段界即可。因此
P(w'(X_n,\delta)>4\varepsilon)
\le P(N>K)+K a_n(\delta,\varepsilon/2)
+ a_n(2\delta,\varepsilon/2).先取n上极限，再令δ↓0，最后令K↑∞，上式及退出次数估计使右侧趋零。再将有限前缀的概率由各自紧性补入，第4节给出整族紧性；这里不要求有限前缀也满足渐近停止对条件。固定已知时刻的一次确定性跳跃不满足这个停止对条件，却单独构成紧集，所以这里只是充分准则。
7. 半轴上的局部J₁：不能固定所有截断端点
记D∞=D([0,∞),ℝ)，R_Tx(s)=x(Ts)，0≤s≤1。以下积分给出一个有用的完备度量，而不是简单地对整数截面求和。对固定路径，T↦R_Tx是Borel映射：有限区间Borel已由坐标生成，而x(Ts)是Borel函数。因此积分有定义。
d_\infty(x,y)=\int_0^\infty e^{-T}d_0(R_Tx,R_Ty)\,dT.三角不等式与对称性逐点积分即可。若x≠y，则右连续性使某个时刻右侧的一小段也有不同值，故所有足够大的T上两条限制路径不同，积分严格正。这证明分离性。
先建立截断引理：若在[0,H]上xₙ→x于J₁，且T<H是x的连续点，则限制到[0,T]仍J₁收敛。取原来的对齐时钟，在T之前一个趋零的邻域内作线性调整，使新时钟恰好固定T，而在此前保持原时钟。邻域宽度可取原最大时间误差平方根的两倍，使线性插值严格递增；其最大时间误差仍趋零。原误差之外，新产生的值误差只涉及x在T邻域内的振幅，它由连续性趋零。有限区间的两个等价度量给出结论。
为证完备性，从d∞-Cauchy列抽出相邻距离可求和的子列。Tonelli保证对几乎每个T，限制列在完备d₀中Cauchy，将其极限从[0,1]缩放回[0,T]，记为y_T。选一列趋无穷的好窗口T_j。在任何两个窗口的公共内部，两个极限在共同连续时刻由逐点收敛相等，再由右连续性处处相等；不需要先宣称较短窗口的终点也相等。用更大的窗口定义每个有限时刻，就拼成一条全局càdlàg路径x。
现在取任何好窗口T，且x在T连续。在[0,T)上y_T已经等于x；选一个更大的好窗口，截断引理给出其限制在T处的极限x(T)，而短窗口的端点评价连续，给出y_T(T)。两者都等于原子列在T的值极限，故相等。x的跳点至多可数，所以对几乎每个T，限制列收敛到R_Tx。被积距离≤1，控制收敛给d∞收敛；Cauchy性恢复整列。
有理有限阶梯、在某个整数以后保持常数，构成可数稠密集。证明时先取大窗口M使尾积分e⁻ᴹ小；在[0,M]一致逼近为有限阶梯，再把高度及跳时逼近为有理数。除有限个跳跃端点外，每个较小截面都J₁收敛，控制收敛处理积分。由此D∞也是Polish。
这个度量的收敛恰是：在极限x的每个连续截断端点T上，R_Txₙ→R_Tx。反方向直接积分。正方向，从任意子列再抽出几乎所有窗口上收敛的子列；对给定连续端点T，选一个更大的好窗口并用截断引理。坏子列反证遂得到原整列在该T的收敛。移动跳跃1_[1+1/n,∞)趋于1_[1,∞)就是这一拓扑中的合法收敛，但整数窗口1上的端点值并不收敛。
最后核验可测结构。令Σ为全部坐标生成的σ-代数。联合映射(t,x)↦x(t)对B(ℝ₊)⊗Σ可测，因为从右侧二进取整采样得到可数矩形分片的可测近似，并逐点收敛。有限区间的坐标生成结论使(T,x)↦R_Tx联合可测，于是积分距离对Σ可测；可分性给出B(D∞)⊂Σ。反方向用右侧短平均，借连续窗口上的限制收敛及控制收敛证明平均连续，再取极限得到每个评价Borel。因此仍有B(D∞)=Σ。
本专题的空间为实值路径。任意Polish值路径、更弱的M₁拓扑、以及较弱Aldous形式的等价性，不由这些实值证明自动获得。有限区间紧性准则、全半轴Polish与Borel结构、上文强停止对充分条件，则均已有实际证明。