T-LP：求和、乘积与极限的积分工具
本页补全第十五章最大不等式所需的分析工具。前三节在任意测度空间上成立；最后一节明确限定概率空间。本页取实值函数，不假定测度完备，函数均按几乎处处相等识别。这里的完整书面证明仍接受持续数学校订。
乘积为什么能由两个不同的矩控制
设1<p<∞，q=p/(p−1)。对a,b≥0，最大化ab−a^p/p，导数给出最大点a=b^{q-1}，从而
ab\le a^p/p+b^q/q.若f∈L^p、g∈L^q且范数非零，将a=|f|/‖f‖_p、b=|g|/‖g‖_q代入后积分，两项之和为1。因此
\int|fg|\,d\mu\le\|f\|_p\|g\|_q.任一范数为0时，对应函数几乎处处为0，结论仍成立。p=1、q=∞时由|g|≤‖g‖_∞几乎处处直接积分；另一端交换f、g即可。这就是所需的完整Hölder不等式，适用于任意测度。
从乘积估计走向三角不等式
对1<p<∞，凸性先给出|f+g|^p\le2^{p-1}(|f|^p+|g|^p)，所以f,g∈L^p时f+g也在L^p中。这一步先保证下面各积分有意义，不能在尚未确认可积时除以一个可能无穷的范数。记S=|f+g|，则Hölder给出
\int S^p\,d\mu\le\int(|f|+|g|)S^{p-1}\,d\mu
\le(\|f\|_p+\|g\|_p)\|S\|_p^{p-1}.若‖S‖_p>0，除去有限的\|S\|_p^{p-1}，得到\|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p；若范数为0，结论直接成立。p=1使用逐点三角不等式，p=∞使用几乎处处的本性上界。这证明全部1≤p≤∞的Minkowski不等式。
Cauchy列怎样真正找到一个可测极限
设1≤p<∞，f_n在L^p中为Cauchy列。可以抽出子列f_{n_j}，使相邻差的L^p范数≤2^{-j}。有限次使用Minkowski，随后使用非负积分的单调收敛，得到
\left\|\sum_{j=1}^m|f_{n_{j+1}}-f_{n_j}|\right\|_p
\le\sum_{j=1}^m2^{-j}\le1,
\qquad
\int\left(\sum_{j=1}^\infty|f_{n_{j+1}}-f_{n_j}|\right)^p d\mu\le1.所以差的绝对值级数几乎处处有限。定义f为f_{n_1}加上这些相邻差之和，在可测的例外零集上置0。这给出可测函数；同一估计和Minkowski表明f∈L^p。对尾部的有限和再用Minkowski，最后用Fatou，得到
\|f-f_{n_j}\|_p\le\sum_{k=j}^\infty2^{-k}\longrightarrow0.原列是Cauchy列，故对任意ε>0，先选足够大的j使子列误差<ε/2，再用原列的Cauchy性质控制f_n-f_{n_j}，便得到整列趋于f。这证明1≤p<∞的Riesz–Fischer完备性，不是只证明抽取的子列收敛。
对p=∞，同样抽取相邻L∞差范数≤2^{-j}的子列。删去每个差超过该上界的零集之并，并删去首项超过其有限本性上界的零集，所有点上都具有统一可求和的差界，因此子列一致收敛到一个有界函数。将其在可测例外集上置0，得到可测本性有界代表；尾和估计给出L∞收敛，原列的Cauchy性质再给出整列收敛。于是L^p对全部1≤p≤∞都完备。
在概率空间上，怎样逼近、取条件平均与读出范数
以下设μ=P。对f∈L^p、1≤p<∞，截断f^{(K)}=f\mathbf1_{\{|f|\le K\}}满足\|f-f^{(K)}\|_p\to0，因为相应p次尾积分趋于0。每个有界实可测函数再用间距2^{-m}的阶梯函数逼近，误差逐点≤2^{-m}，概率总质量为1便使其L^p误差也≤2^{-m}。因此有界简单函数在这些L^p中稠密。
Hölder同时说明L^p⊂L¹。第九章的条件Jensen及条件平均的序性质，因而给出全部1≤p≤∞的收缩性：
\|\mathbb E[f\mid\mathcal G]\|_p\le\|f\|_p.有限p由|\mathbb E[f\mid\mathcal G]|^p\le\mathbb E[|f|^p\mid\mathcal G]积分得到，p=∞则由-\|f\|_\infty\le f\le\|f\|_\infty得到。对于p=1，此处的条件Jensen就是条件绝对值不等式。
令q为共轭指数，约定1与∞共轭。在这个有限测度空间上，所需的范数对偶公式为
\|f\|_p=\sup_{\|g\|_q\le1}\left|\mathbb E[fg]\right|.Hölder给出≤方向。1<p<∞、f非零时，取g=\operatorname{sgn}(f)|f|^{p-1}/\|f\|_p^{p-1}即取到等号；p=1时取g=sgn(f)。p=∞、\|f\|_\infty>0时，对0<ε<\|f\|_\infty取正概率集合A_ε={|f|>\|f\|_\infty−ε}，令g=\operatorname{sgn}(f)\mathbf1_{A_\varepsilon}/P(A_\varepsilon)，便读出至少\|f\|_\infty−ε；再令ε趋0。零函数情形直接成立。本节只建立上述范数识别，不声称L∞的每个连续线性泛函都由L¹函数表示。