零集的全部子集，为什么改变了可测世界？
第五章把长度推广为测度，却留下两个需要完整回答的问题：为什么 Lebesgue 可测集真的比 Borel 集多，以及任意测度如何补进尚未可测的零集子集。本篇给出构造与集合论证明，不把“集合很多”当成严格包含的论证。
T-MEASURE.1 任意测度的完备化
设 (S,\mathcal F,\mu) 是任意测度空间。令 \mathcal N=\{N:N\subseteq Z\in\mathcal F,\ \mu(Z)=0\}，并定义 \overline{\mathcal F}=\{A\triangle N:A\in\mathcal F,N\in\mathcal N\}。这里 \triangle 是对称差；N 自己暂时不必属于 \mathcal F。等价地，E\in\overline{\mathcal F} 当且仅当存在旧可测集合 A\subseteq E\subseteq B，且 \mu(B\setminus A)=0。
两种形式相同：若 E=A_0\triangle N、N\subseteq Z 且 \mu Z=0，取下夹集 A_0\setminus Z 与上夹集 A_0\cup Z；反过来，夹在 A,B 之间的集合只比 A 多出 B\setminus A 的一个子集。补集满足 E^c=A_0^c\triangle N；可数并与旧可测并的对称差包含在 \bigcup_nN_n\subseteq\bigcup_nZ_n 内。因此 \overline{\mathcal F} 是包含 \mathcal F 的 \sigma-代数。
定义 \overline\mu(A_0\triangle N)=\mu(A_0)。若还有另一表示 B_0\triangle M，则 A_0\triangle B_0 包含在一个旧可测零集内。删去该零集后，A_0,B_0 相同；由测度可加性，给集合加减零集不改变其测度。因此定义无关表示，即使 \mu(A_0)=\infty 也成立，没有使用无穷减无穷。
还要证明可数可加性。若 E_i=A_i\triangle N_i 两两不交，取旧零集 Z_i\supseteq N_i。旧可测核心 C_i=A_i\setminus Z_i 包含在 E_i 内，因而两两不交，且 \mu C_i=\mu A_i。\bigcup_iE_i 与 \bigcup_iC_i 的差包含在旧零集 \bigcup_iZ_i 中，所以
\overline\mu\Bigl(\bigcup_iE_i\Bigr)=\mu\Bigl(\bigcup_iC_i\Bigr)=\sum_i\mu(C_i)=\sum_i\overline\mu(E_i).若 \overline\mu(E)=0，上面的表示把 E 放在旧可测零集 A_0\cup Z 内。因此 E 的任意子集都属于 \overline{\mathcal F} 且测度为零。这证明完备性。任何包含旧空间的完备测度扩张都必须容纳这些零集子集，故必须包含 \overline{\mathcal F}；夹集的上下界又迫使其在这里取值为 \overline\mu。完备化因此是最小的完备扩张，且在这个最小定义域上唯一。没有用 σ-有限性。
T-MEASURE.2 一个长度为零、却装得下连续统的集合
从 [0,1] 逐次删去每个剩余区间的开中间三分之一。第 n 层剩余 2^n 个长 3^{-n} 的闭区间，记其并为 C_n，令 C=\bigcap_nC_n。它是闭集，且 m(C)\le(2/3)^n 对每个 n 成立，所以 m(C)=0。
每个二进序列 b=(b_1,b_2,\ldots)\in\{0,1\}^{\mathbb N} 给出 x(b)=\sum_{n\ge1}2b_n3^{-n}\in C。若两序列首次在 k 处不同，首个差值为 2\cdot3^{-k}，余下尾部至多抵消 3^{-k}，故得到不同的点。因此这个映射单射；不受一般三进表示端点二义性的影响。
二进序列的集合就是 \mathcal P(\mathbb N)，其基数记为 \mathfrak c。实数可由有理数的下截集编码，所以 |\mathbb R|\le\mathfrak c；刚才的单射给出反向不等式。于是 |C|=|\mathbb R|=\mathfrak c。这里没有采用连续统假设。
这里使用的基数比较也可直接证明。设单射 f:A\to B、g:B\to A。令 A_0=A\setminus g(B)、A_{n+1}=g(f(A_n))、U=\bigcup_{n\ge0}A_n。在 U 上取 h=f，其余点取 h=g^{-1}；后者有定义，因为它们不在 A_0。两部分各单射，像不交：若 b=f(x)、x\in U，则 g(b)\in U，不能同时来自另一部分。若 b\notin f(U)，则 g(b)\notin U，所以由后一部分映到 b。因此 h:A\to B 双射。这证明了 Cantor–Bernstein 原理。
T-MEASURE.3 为什么 Borel 集至多只有连续统多个
“从可数区间做可数运算”本身不是基数证明，因为可数层之后还可继续迭代。正确的编码要容纳所有有限或可数的良基运算树。先枚举有理端点开区间。一个编码是一棵以有限整数序列为节点的可数树：叶子标记这些基本区间，内部节点标记补集或可数并；树不允许无限下降分支。
每棵这样的良基树可从叶子向上赋值。形式上，叶子秩为0，父节点的秩为各子节点秩加1后的上确界；按秩递归解释集合。这里的秩均为可数序数：每个节点只有可数个子节点，整树也可数。若逐次移去已赋秩节点仍有剩余，则每个剩余节点都有剩余子节点；依次选择便产生无限分支，矛盾。因此递归确实覆盖全树。我们在通常的 ZFC 集合论中使用可数选择与良基递归。
有编码的集合族包含基本区间，对补集与可数并封闭：添加一个根节点，下面接一棵树或可数棵已有树即可；任何无限分支都会在其中某棵子树中留下无限分支，所以新树仍良基。因此全部 Borel 集都有这种编码；反过来，按秩递归可知每个编码的值是 Borel 集。
有限整数序列的集合可数；一棵树及其节点标签可编码为一个可数集合的子集。因此编码总数至多为 2^{\aleph_0}=\mathfrak c，Borel 集总数也至多为 \mathfrak c。另一方面，每个单点都是闭集，所以 Borel 集至少有 \mathfrak c 个。我们得到精确基数，而不是只数有限层生成的集合。
T-MEASURE.4 严格包含的最后一步
Cantor 的对角论证说明，对于任何集合 E，不存在从 E 到 \mathcal P(E) 的满射：若 F 是这样的映射，取 D=\{x\in E:x\notin F(x)\}，则 D=F(d) 会给出 d\in D 当且仅当 d\notin D。因此 |\mathcal P(C)|>\mathfrak c。
零外测度集合 N 的每个子集 A 都有零外测度。对任意 E，外测度的单调性和次可加性给出 m^*(E)=m^*(E\setminus A) 及 m^*(E\cap A)=0，所以 Carathéodory 分割等式成立，A 是 Lebesgue 可测的。于是 C 的所有子集可测，但其中至多 \mathfrak c 个可能是 Borel 集。故
\mathcal B(\mathbb R)\subsetneq\mathcal L(\mathbb R).这是一份存在性证明，并没有假装写出某个非 Borel 子集的显式公式。它依靠的是零集容纳的全部子集与 Borel 运算编码之间的严格基数差，而不是“不可数”与“可数”之间的混淆。
T-MEASURE.5 Lebesgue 测度正是 Borel 长度测度的完备化
还需证明“补进零集”没有漏掉其他 Lebesgue 可测集。设 E 是有限测度的 Lebesgue 可测集。由区间覆盖定义，先选总长度小于 m(E)+\varepsilon/2 的可数覆盖，再把第 k 个区间稍微放大为开区间，新增长度之和小于 \varepsilon/2。于是有开集 O\supseteq E，m(O)\le m(E)+\varepsilon。这一步直接由外测度定义得到，没有预用测度的正则性定理。
对 \varepsilon=2^{-n} 取开集 O_n，令 B=\bigcap_nO_n。则 B 是 Borel 集，E\subseteq B，且 m(B)=m(E)<\infty，所以 m(B\setminus E)=0。再给零集 B\setminus E 作同样的开覆盖，得到包含它的 Borel 零集 Z。于是 E=B\setminus N，其中 N\subseteq Z，正属于 Borel 测度的完备化。
一般 Lebesgue 可测 E 可分成与 [-n,n] 相交的有限测度部分；每部分属于完备化，故其可数并也属于。反向包含来自 Borel 集的 Lebesgue 可测性及 Lebesgue 测度的完备性。两种测度在旧 Borel 集上一致，所以上一节的一般构造也确定了取值。
因此，不完备概率空间不是自相矛盾，而是尚未选择把全部零集子集加入。第八章先在柱集生成的结构上构造概率，第十章在标准 Borel 状态空间处理条件核，都有明确理由；若随后完备化，必须重新说明定义域和可测版本，而不能把“相差一个零集”当作任意函数自动可测的许可。积分中的准确边界见零集修改定理。