数学图示与实验
六组辅助理解图，每组均有独立出版矢量原图。本批只新增移动窗口交互。图像帮助看见数学机制，不代替正文证明。
在正文中阅读：第4章
步子缩小，波动为什么没有消失？ 时间步长为1/n，空间步长为1/√n；每单位时间约n步，位移方差保持为1。图中是固定种子的有限模拟，使用同一增量序列的不同长度前缀再分别缩放；它们不是同一路径的逐级逼近，不说明不同n的路径逐条收敛，也不是Donsker定理的证明。既有实验可继续切换步数。在正文中阅读：第7章
同样小的命中概率，两种不同的命运 第k轮的移动窗口为[j/2^k,(j+1)/2^k)，j从0到2^k−1；每次命中概率为2^−k。它们每轮分割[0,1)，所以每个固定点每轮恰中一次，并在其余窗口取0；这说明移动序列没有逐点极限。左端窗口[0,2^−k)对每个u>0最终不再命中，u=0是零概率例外。静态关键帧说明分割机制，下面的确定性操作只帮助观察，不代替无限结论的证明。在正文中阅读：第7章
高度带走了消失的宽度 X_n=n·1_(0,1/n)，非零区间两端均不包含；端点不影响面积。对每个固定u>0，尖峰最终离开它，u=0处也恒为0，但积分始终为1。任给K≥0，选择n>K，门槛外的期望仍为1，所以sup_n E[X_n·1_{X_n>K}]=1，一致可积性失败。固定坐标与等面积纹理使概率质量变小和平均贡献不消失之间的区别可见。在正文中阅读：第9章
预测留下什么，残差又指向哪里？ 令P_G X=E[X|G]。图是L²几何的二维抽象示意，并非说所有随机变量生活在二维空间。残差X−P_G X与整个L²(G)正交；任意另一个可观察预测V的均方误差E[(X−V)²]等于E[(X−P_G X)²]+E[(P_G X−V)²]。这一正交机制说明条件期望是最佳平方预测，而不是凭图形代替其存在与唯一性证明。在正文中阅读：第10章
从三角区域到归一化的竖切片 左图给出联合密度2的支持区域；中图固定x*=0.6，沿y方向的密度仍为2，切片积分为边缘密度m(x*)=2x*=1.2；右图除以2x*，得到(0,x*)上高度1/x*、面积1的条件密度。这里切片质量是边缘密度，不是P(X=x*)：单点事件仍为零概率。核由密度的析取等式确定；x=0处可另选版本，不用1/x公式。在正文中阅读：第11章
均值和方差相同，所有频率的读数却不同 X在±1各有概率1/2；Y在0的概率为2/3，在±√3各有概率1/6。它们的均值均为0、方差均为1，但φ_X(t)=cos t与φ_Y(t)=2/3+(1/3)cos(√3t)不同。两者对称，虚部均为0。低阶矩只记录原点附近有限信息；完整特征函数才能识别整份分布。有限绘图区间只是示例，唯一性定理使用所有实数频率。在正文中阅读：第13章
钟形轮廓相似，允许格点却随奇偶改变 每步独立取±1，各以概率1/2；左图n=20，右图n=21。实心圆和竖线为精确概率质量，虚线空心菱形为允许格点上的(2/√n)φ(k/√n)，不是连续密度本身。最大跨度h=2解释了因子2；另一奇偶类质量严格为0。仅展示|k|≤10，完整支持和精确数值保存在共享源中。此图不使用模拟，不给出误差速度，也不代替局部CLT证明；总变差结论须使用下一节的离散化Gaussian。在正文中阅读：第14章
Feller相同，大项预算仍可完全不同 每行n项、总方差1。小步模型每项等可能取±1/√n；罕见跳模型每项以1/(2n)概率分别取±1，否则为0。两者最大单项方差同为1/n，所以都满足Feller；但对固定0<ε<1，小步模型的L_n(ε)最终为0，单位跳模型始终为1。虚线竖标ε=0.3提供一个固定阈值。曲线由精确二阶期望计算，无随机模拟；有限图不代替后面的CLT证明。