随机运动的微积分

在一条已经画定的曲线上计算累积量，通常只需把时间切细，再把每一小段上的取值乘以曲线的增量。曲线若足够规则，取左端、右端，或者稍换几个分点，最后不会留下不同的答案。Brownian 运动使这个熟悉的经验失去了保障：路径连续，细小的变化却没有可以求和的绝对总量。把分割做细，并不等于误差一定消失。

还有一种差别，与曲线是否光滑无关。设想在下一次价格变化以前决定持有多少份资产，与看见变化以后才填写那一段的持有量。两份记录都可以沿同一条路径写下来，也都可能只使用截至某个时刻已经出现的数据，却不是同一种实验。前一种规则承担未知变化，后一种规则可以利用刚刚发生的变化。离散时间里，一个格子的先后尚且分明；当格子消失，事件恰在某一时刻跳来，这个区别必须有自己的数学表达。

因此，重新建立积分，不能只选择更好的分割。我们还要说明被积的规则在什么时候已经确定，哪些变化属于可以事前识别的累积，哪些波动在给定当前信息后仍然没有偏向。同一条路径，配上不同的信息结构，可能产生不同的分解。这里的时间顺序是模型的数学数据，不是关于现实因果关系的无条件断言。

粗糙也不只是需要排除的困难。平方增量在细分中留下的量，提示普通的一阶线性近似可能漏掉真正存在的贡献；路径在某个位置附近反复穿行，又提示普通的停留时间未必读得出全部几何信息。我们需要让计算服从这些已经显现的结构，而不是先写出光滑公式，再把随机路径代入。补偿、随机积分和新的变量变换规则将承担不同的任务，它们之间的关系必须通过构造与证明建立。

这条道路也会反过来检验方程。给定局部变化规则，尚不能把写下的符号当作已经存在的运动；改变边界、噪声或信息的允许范围，答案可能随之改变。一个可靠的随机微积分，应当同时解释怎样累积、怎样变换，以及在什么条件下这些计算确实描述了一条随机路径。

这一卷从一个最小而不能省略的区别开始：事情正在发生时，我们已经知道什么。让这条界线先清楚起来，沿随机运动计算才可能既尊重路径的粗糙，也尊重信息展开的次序。