第四卷尾声：让整段运动进入数学

显微镜留下的是位置的记录，运动却发生在记录之间。把每一组有限时刻的联合分布写下来，我们已经知道怎样比较这些记录，却还不能据此断言，记录之间存在一条连续的曲线。一个随机的尖峰可以避开每个预先指定的观察时刻；越来越窄的振荡，也可以藏在越来越密的采样网格之间。要让整段运动成为数学对象，需要控制的正是这些有限观察没有直接留下的部分。

连续性因而不是画图时补上的线。一旦共同的增量估计保证了连续修改，稠密可数时刻的记录才足以决定整条连续路径。我们既保留有限维分布提供的概率信息，又证明这些信息能够在一个可测的路径空间里相容地展开。路径的存在，是这两件事共同完成的结果。

但构造出一条路径，与证明一列随机路径趋近它，仍是不同的工作。后者还要约束整列对象，不能允许越来越剧烈的运动逃进越来越短的时间缝隙。紧性把这种约束变成可以检验的共同条件：先使绝大部分概率留在能够统一控制的路径集合中，再用有限观察识别可能的极限。随机游走的 Gaussian 极限由此才从一张张位置分布，成为关于整段运动的结论。

这里的“趋近”也不只有一种意思。一次跳跃的时刻稍有移动，两条路径在一致距离下仍可能相差一个完整的跳跃高度；允许小幅调整时间，则可以保留同一次跳跃而忽略记录时刻的微小误差。这种选择不能抹去任意振荡。拓扑告诉我们哪些扰动足够小，也决定哪些观察能够随着极限稳定下来。它是极限结论的一部分。

整条路径进入视野以后，连续与平滑之间的距离才显露出来。Brownian 路径没有通常意义下的速度，却有可以严格辨认的振荡尺度与平方变差；允许跳跃以后，无穷多个小跳有时能够直接相加，有时必须先减去平均贡献，再控制剩余波动。有限时刻的分布计算并没有失效，只是它们需要与这些路径结构共同使用。

还有一条方向看似相反的道路：不追随某一次运动，而对未来的函数值取平均。随机转移于是成为确定性的算子演化，短时间变化凝成生成元。然而，同一条内部微分公式可以容纳不同的边界行为。只有把定义域、半群条件与路径实现的要求说清楚，局部公式才可能反过来确定随机运动。平均并未消除随机性，而是把其中能够稳定传递的结构写成了方程。

当我们转向极罕见的路径，问题又换了尺度。通常的弱收敛描述路径分布的整体极限，却不能单凭这个极限区分消失的概率究竟有多小；大偏差则比较那些概率趋于零的路径邻域，辨认它们指数衰减的不同代价。在小噪声 Brownian 运动中，平方能量刻画的是偏离路线的代价，不是说典型 Brownian 路径突然拥有了可积的速度。普通紧性与指数紧性，弱近似与指数尺度的误差控制，各自回答着不同的问题。

我们终于能够把一整段运动放进概率论：让它存在，比较它的形状，研究它的平均，并衡量它偏离常态的代价。可是，沿着这样一条粗糙路径不断累积一个量，仍不能照搬光滑曲线的算法。累积时可以使用什么信息，微小波动与跳跃会留下什么，这些问题把路径的几何与时间中的信息重新放到了一起。理解运动的形状之后，还需要学会怎样沿着它计算。