偶然的数学CHANCE / MATHEMATICS

偶然的数学：概率论的历史、思想与数学结构，书籍封面
从真实问题走向现代概率论

偶然的数学

概率论的历史、思想与数学结构

THE MATHEMATICS OF CHANCE

作者：Haobai Wang

从一场没有结束的赌博，到一条尚待构造的随机路径。沿着真实的数学问题，理解概念为何产生，发现随机世界背后的数学结构。

31章长篇工作稿 · 持续写作中

开始阅读 →浏览全书目录
下载离线版 ↓可编辑原稿 ↓
Star on GitHub在 GitHub 阅读源码、关注本书的后续更新。

主作者

Haobai Wang

Haobai Wang 是《偶然的数学》的主作者，统筹全书的问题选择、思想叙事、数学结构与内容采用。著作沿真实的历史问题，追问概率概念为何产生，逐步走向现代概率论与随机几何。写作以广度、深度和正确的数学陈述为目标，保留完整推导、反例与故事的连续性。

作者介绍引用本书

前三十一章 · 阅读目录

每章独立打开。左侧目录或手机顶部“目录”可随时切换章节。

第一卷 · 偶然可以计算吗？

第1–4章

01一场没有结束的赌博从中断的赌局出发，追问公平、对称性、独立性与可加性。→02从机会到知识——我们如何认识未知的概率？从经验频率到 Bernoulli、Bayes 与未知概率的推断。→03钟形曲线的诞生——为什么无数随机现象走向同一种分布？沿着二项分布与特征函数，追问正态极限及其成立条件。→04当随机性进入时间——从随机游走到 Brownian motion从 Gaussian 快照走向整条随机路径的存在与可测性问题。→

第二卷 · 无限世界中的概率

第5–14章

05无限世界的代价——为什么概率需要测度论？从无限集合的矛盾建立 σ-代数、外测度和概率测度。→06平均值的重生——从加权求和到 Lebesgue 积分从公平收益的加权平均，完整建立积分与极限交换的语言。→07收敛究竟意味着什么？——随机世界中的四种极限从罕见而反复的异常与收缩尖峰，理解四种收敛及一致可积性。→08如何构造无限随机实验？从有限实验的相容规则出发，构造乘积概率与无限随机记录，再回到 Brownian 路径。→09看见一部分世界之后——条件期望与信息从公平定价与部分观察出发，建立条件期望、投影几何、Bayes更新和信息流。→10一份概率怎样分解成另一份概率？——密度、条件分布与概率核从密度与奇异质量，走向条件分布、概率核、析取与无限顺序实验。→11第十一章：分布怎样被函数记录？——特征函数、独立和与 Gaussian 极限从有界频率读数与 Gaussian 平滑，走向分布识别、Lévy 连续性及有限方差 CLT 的完整证明。→12第十二章：无穷多次相加，何时仍有答案？从途中越界到随机级数、三系判别、一般可积强律与尾部信息。→13第十三章：罕见事件为什么会产生新的稳定规律？从稀有计数到Poisson误差界、独立标记、Laplace变换与格点局部极限。→14第十四章：不是所有极限都是 Gaussian——三角阵列、稳定分布与无限可分性从改变尺度的独立行，到Lindeberg–Feller、多元极限、稳定吸引域与无限可分。→

第三卷 · 时间中的公平、记忆与再生

第15–22章

15第十五章：一场永远公平的游戏，最终会怎样？从始终公平却归零的本钱，建立最大估计、上穿、UI闭鞅、Lp与反向条件平均的完整离散理论。→16第十六章：如果玩家自己决定何时停止？从玩家的停止规则，理解有界抽样、UI清算与赌博反例。→17第十七章：只记住现在，就足以决定未来吗？从过去如何被现在概括，建立Markov核、链构造、强Markov与平稳结构。→18第十八章：随机游走为什么有时回来，有时消失？从首次返回与Green核，揭示维度怎样改变随机游走的命运。→19第十九章：等待下一次开始从返回周期到关键更新、时间偏置与平稳等待。→20第二十章：一个祖先怎样变成一个随机家族？从一个祖先到灭绝、人口鞅、脊柱与xlogx条件。→21第二十一章：没有记忆的等待时间从等待年龄到指数无记忆、完整计数构造、独立窗口、补偿鞅和到达流的分合。→22第二十二章：随机过程怎样在瞬间发生跳跃？——Continuous-time Markov chains从随状态变化的时钟，建立最小跳链、爆炸、前后向方程、时间平衡与连续分枝。→

第四卷 · 从离散记录到连续路径

第23–29章

23第二十三章：Gaussian 快照怎样真正拼成连续路径？——连续修改、Gaussian processes、Wiener measure从Gaussian有限观察到网格连续修改、Wiener测度、条件桥、OU与内积中的随机性。→24第二十四章：一整条随机路径，究竟怎样收敛？——Portmanteau、Prokhorov与函数空间拓扑从漏看的尖峰到Polish弱极限、共同紧性、连续路径振荡与跳跃时钟对齐。→25第二十五章：随机游走什么时候变成 Brownian motion？——Donsker 不变性原理从最大单步与固定截断到有限方差路径极限，再进入经验桥与更新逆时钟。→26第二十六章：连续的路径为什么如此粗糙？从首次命中的路径反射，到处处不可微、精确振幅、函数型LIL与时间分配的弧正弦律。→27第二十七章：如果随机运动会跳跃而不只是扩散？——Lévy processes 与 Lévy–Khintchine 理论从密集小跳的补偿，建立Lévy三元组、原空间分解、稳定吸引域与跳跃极限。→28第二十八章：随机运动为什么能产生确定性方程？——半群、生成元与 resolvent从未来收益的平均，到生成元定义域、折扣占有、算子构造与正规Markov路径。→29第二十九章：当小概率变成指数级的小概率——Large deviations从全正面的硬币，到指数倾斜、相对熵、经验分布与Brownian路径的平方能量。→

第五卷 · 随机运动的微积分

第30–40章

30第三十章：什么叫在事情发生之前就知道？从刚出现的到达，区分可选与可预测信息，建立正则化、Doob–Meyer及有限变差补偿。→31第三十一章：对一条不可导的随机路径怎样积分？——Itô integral、quadratic variation从左端积分和的二阶余量，建立Itô等距、预测L2延拓、连续鞅括号与随机能量时钟。→

第六卷 · 对称、平稳与可交换的世界

第41–47章 · 规划卷 · 正文尚未写成

第七卷 · 从随机点到随机空间

第48–53章 · 规划卷 · 正文尚未写成

第八卷 · 随机树、连续几何与新的概率结构

第54–58章 · 规划卷 · 正文尚未写成

专题阅读与数学证明

按章节归属查阅六个专题及配套证明。

打开专题与证明索引
资料与版本
版本与阅读说明

当前公开阅读版包含31章中英文长篇工作稿及四份数学基础补证。第十一章主体与小修已获作者采用；第十三章及最新完善已采用，数学持续校订；第十二章待作者阅读；第十四章为完整初稿、数学核验中、作者待确认。第十五章已在原六节基础上完整续写，待作者审阅；前十四章、旧补证、插图及认可的卷级文字和样式受保护。

正文采用、数学核验、史料核验、作者阅读、工程预览与正式发布分别记录，详见逐章版本页。正式站点为前十二章，第十三至十五章仅本地构建，不覆盖线上版本。