T-CONTINUOUS-INFORMATION：正则化、停止与可预测有限变差

以下在有限时间区间[0,K]、完备且右连续的滤过下工作。“完备”指F₀含整个环境σ代数中的全部P零集及其子集。只用离散鞅、条件期望、路径有限变差积分和已经建立的积分极限定理。

1. 先造出可以在随机时刻读取的路径

对Y∈L¹，过程 Mₜ=E[Y|Fₜ] 存在càdlàg修改。稍广地，若一个次鞅S为class D，且t↦ESₜ右连续，则也有càdlàg修改。这里class D在本区间指所有停止时刻τ≤K的Sτ构成一致可积族；这个较广版本只用于本章原始递增过程的投影。

取含0与K的嵌套有限网格，其并D稠密。在每个有限网格使用第15章上穿不等式；次鞅的端点L¹界使每个有理水平区间的期望上穿次数有同一个有限上界。单调收敛表明，在D上几乎必然没有任何有理水平区间被无穷次上穿。还需排除路径沿D逃向无穷：在任一有限网格首次满足|S|>L时停止，否则停于K，class D的L¹一致界给命中概率≤C/L。先增加网格，再令L趋于无穷。因此在一个共同零集之外，D上的路径有界，并在每一点具有有限左右极限；否则两个交错趋近的序列会在某个有理水平区间产生无穷次上穿。

令右极限定义S⁺ₜ，t<K，并保留给定的S_K。稠密集上有限左右极限的确定性准则保证这条延拓càdlàg：若它不右连续，便能从右侧再选稠密点，使原来的右极限不存在。S⁺ₜ对Fₜ₊可测，所以右连续滤过使其适应。class D给沿确定时刻下降序列的L¹收敛；由次鞅关系得Sₜ≤E[S⁺ₜ|Fₜ]=S⁺ₜ，而均值右连续给两者期望相等，故S⁺ₜ=Sₜ几乎必然。完备性允许把共同例外集上的整条路径设为0而保持适应性。

对闭鞅M，所需class D先在全部停止时刻上核实，不能循环使用刚要得到的路径。可先用所有网格停止时刻：Mτ=E[Y|Fτ]由有限分片得到。任意条件σ代数下对同一个Y取条件期望的族一致可积，因为尾事件的概率一致小，而Y的积分对小概率集合一致绝对连续。前述路径论证因此适用于M。然后对任意τ以从右侧逼近的网格时刻τₙ读取这条càdlàg路径，UI与Vitali给L¹收敛，并从网格身份推出

具体地，对B∈Fτ⊂Fτₙ，在网格上 E[\mathbf1_B M_{\tau_n}]=E[\mathbf1_B Y]，取L¹极限即可。这同时证明闭鞅的全部有界停止族一致可积。对càdlàg class D次鞅，有界停止抽样同样由网格不等式、UI与右连续性推出；不需要随机积分。

2. 可预测σ代数的生成与停止读取

可预测σ代数P由所有左连续适应实过程生成，等价地由F₀×{0}及 B×(s,t]（B∈Fₛ）生成。一个方向来自这些矩形的指示过程左连续且适应；另一方向把左连续过程在每个网格区间(s,t]上换成左端值，再取逐点极限。

对任何停止时刻T，定义 \mathcal F_{T-}=σ(F₀, B∩{s<T}:B∈Fₛ,s≥0)。在T有限的集合上，一个可预测过程H的H_T对\mathcal F_{T-}可测：先逐个检查矩形生成元，再用函数单调类。对于H₀另用F₀。这不要求T本身可以提前公告。

可选σ代数O由càdlàg适应实过程生成，P⊂O：左连续过程可由取左网格值的右连续阶梯过程逐点逼近。càdlàg适应过程又渐进可测：在任一[0,t]上，用右网格端点、且不超过t的取值逼近，得到B([0,t])⊗Fₜ可测性。因此可选过程在停止时刻的值对\mathcal F_T可测。最后一步是把渐进过程在[0,t]上的可测函数与ω↦(T∧t,ω)复合，再限制到{T≤t}；它不需要一般随机集合的début定理。

3. 可预测有限变差鞅为什么必须恒定

设D是càdlàg、可预测的鞅，D₀=0，且其路径总变差V_K的期望有限。对每条有限变差路径按Stieltjes方式积分。矩形简单可预测H给 E∫H dD=0，因为每项是先前可测的有界变量乘未来鞅增量。期望总变差有限，使该恒等式可以按有符号有限测度的单调类推广到所有有界可预测H。路径积分的可测性先对矩形检查，再由对正负变差测度的单调类得到。

取凸函数f(x)=√(1+x²)，其导数有界。任一确定性分割上的凸切线不等式求和，再使网格变细，得到下面的不等式。右端的右端点阶梯取值因D右连续，逐点趋于f′(Dₜ)，对路径变差测度使用控制收敛即可；这一步只是普通有限变差积分，不是Itô公式。

f′(D)可预测，故期望等式确实适用。左端非负，且仅在D_K=0时为0；于是D_K=0几乎必然。对有理终点重复并用右连续性，D不可分辨地恒为0。特别地，两个起于0、终值可积的可预测递增过程若其差为鞅，则二者不可分辨。这是第30章分解唯一性的完整依据。

不能删去“可预测”：Poisson补偿鞅Nₜ−λt在有限区间内有可积总变差，却并非常数。也不能把本结论误读为任意有限变差局部鞅恒定。

4. 可以公告的时刻，鞅跳跃仍没有事前偏向

设0<T≤K且Sₙ<T、Sₙ↑T是一列停止时刻，M为闭鞅。càdlàg性与UI给M_{S_n}\to M_{T-}于L¹。对B=A∩{s<T}，A∈Fₛ，取Bₙ=A∩{s<Sₙ}∈\mathcal F_{S_n}；由有界抽样，E[\mathbf1_{B_n}(M_T-M_{S_n})]=0。取极限并用生成元单调类，得到下面的条件等式。

F₀生成元直接用Bₙ=B处理。若S=M+A是本章分解，A_T与A_{T-}都\mathcal F_{T-}可测，于是 \Delta A_T=E[\Delta S_T\mid\mathcal F_{T-}]。这说明可预测补偿并不等于连续补偿；可以预见的时刻仍可能出现具有条件平均的跳跃。

本页未使用、也不据此宣称证明一般可测投影、一般随机集合的début或section定理。返回第30章。