T-DM-COMPACT：一致可积性怎样留下一个真正的极限
本页在概率空间上证明第30章实际使用的紧性工具：一致可积的凸增长判别、弱L¹子列选择，以及有限尾凸组合的L¹收敛。最后一项可以直接用于离散补偿，不借随机积分、Banach空间弱紧性定理或一般Komlós定理。
1. 尾部条件怎样变成一个凸函数
设一族实随机变量X满足一致可积性。选严格递增且趋于无穷的Kⱼ，使所有X的 E[|X|; |X|>Kⱼ]≤2⁻ʲ。令Φ为下面的非负函数。任一有界区间上仅有有限项非零，所以Φ有限、连续、凸，且Φ(0)=0。
\Phi(x)=\sum_{j\ge1}(x-K_j)^+,\quad x\ge0;\qquad \sup_X E\Phi(|X|)\le\sum_{j\ge1}2^{-j}<\infty.给定m，当x≥2Kₘ时，前m项之和至少mx/2。因此Φ(x)/x趋于无穷。反过来，若一个非负凸函数满足这个超线性条件，且上述期望一致有界，则尾积分满足下面的估计。上确界随K趋于无穷而趋于0，一致可积性由此成立。这就是本章使用的 de la Vallée-Poussin 判别。
E[|X|;|X|>K]\le E\Phi(|X|)\sup_{x>K}\frac{x}{\Phi(x)}.特别地，同一一致可积族的所有有限凸组合仍一致可积：绝对值的凸性、Φ的单调性和Jensen不等式使凸增长期望保留同一上界。
2. 所需的弱L¹子列结论
若(fₙ)一致可积，则有子列fₙⱼ和f∈L¹，使对每个有界可测h，E[h fₙⱼ]→E[h f]。这里证明的是序列版本，足够本章使用，不把它替换成未经证明的抽象紧性口号。
取G=σ(f₁,f₂,…)。用所有变量的有理阈值集合逐个生成递增有限代数，记其并为可数代数A。它生成G。对A中每个集合作对角抽取，使 E[fₙⱼ1_B] 同时收敛。下面的统一绝对连续性来自一致可积性：先截断|fₙ|于K，再令P(B)小。
\sup_n E[|f_n|;B]\le K P(B)+\sup_n E[|f_n|;|f_n|>K]\longrightarrow0\quad\text{as }P(B)\longrightarrow0.每个G集合B都可被A中集合依概率的对称差逼近：可如此逼近的集合族是一个σ代数，补集保持误差，递增并先截成有限并再控制概率尾部。上述统一绝对连续性说明，对每个B∈G，E[fₙⱼ1_B]都是Cauchy列。记极限为ν(B)。它有限可加；若Bᵢ互不相交，剩余并的概率趋0，统一绝对连续性把其ν质量也送到0，故ν可数可加。
在任一有限分割上，ν各块质量的绝对值之和至多 supₙE|fₙ|，因为可先对有限个积分取极限再求和。所以ν的总变差有限，且ν≪P。第10章带符号Radon–Nikodym结论给一个G可测f∈L¹。简单函数逼近给所有有界G可测h的弱收敛。对原σ代数中任意有界h，换成 E[h|G]，因为fₙⱼ和f均G可测，两侧积分均不变。这证明所述弱L¹子列结论。
3. 不只弱收敛：让尾凸组合在L¹中收敛
先在Hilbert空间证明一个几何事实。设(vₙ)范数有界，Cₙ为第n项以后向量的有限凸组合集，aₙ=inf{‖v‖²:v∈Cₙ}。aₙ递增到有限a。选uₙ∈Cₙ使‖uₙ‖²≤aₙ+1/n。对i,j≥n，中点仍在Cₙ，平行四边形恒等式给
\|u_i-u_j\|^2=2\|u_i\|^2+2\|u_j\|^2-4\left\|\frac{u_i+u_j}{2}\right\|^2\le4(a-a_n)+\frac4n\longrightarrow0.故uₙ范数收敛。现在把所有截断同时放进一个Hilbert空间，而不逐个截断另取互不相容的权重。令 fₙ⁽ʲ⁾=fₙ1{|fₙ|≤j}，取下面的向量。其平方范数至多Σ4⁻ʲ。所用空间是可数个L²的平方可和直和；它的完备性由逐坐标的L²完备性及对尾部平方和的Fatou不等式直接得到。
v_n=\left(\frac{2^{-j}}{j}f_n^{(j)}\right)_{j\ge1}\in\bigoplus_{j\ge1}L^2(P).Hilbert结论给同一组有限凸权重λₙ,ₖ（k≥n），使每个截断的加权和都L²收敛。对未截断的 gₙ=Σₖλₙ,ₖfₖ，任意m,n的L¹距离至多为两个统一截断尾误差，加上相应截断凸组合的L¹距离。先固定大j使尾误差小，再用L²到L¹的收敛。于是(gₙ)是L¹ Cauchy列，由T-LP的完备性得到L¹极限。
g_n\in\operatorname{conv}\{f_n,f_{n+1},\ldots\},\qquad \|g_n-g\|_1\longrightarrow0.这里每个凸组合都只有有限项，系数是确定数。可以再取子列，使L¹误差可求和，从而几乎处处收敛；若gₙ作鞅终值，连续时间最大不等式还把终值误差变成整段时间的依概率控制。第30章使用前者识别可数网格，另行证明跳跃时刻的可预测性；绝不把左连续逼近的点态极限自动称为右连续补偿。
所用前置：Lᵖ完备性、Radon–Nikodym构造、返回第30章。