归属与证明范围
主要证明归属：第31章
相关工具与应用：第26章 · 第32章 （尚未写成）
- 已完成证明或计算（限定范围）
固定 T、沿二进网格的平方变差计算已有书面证明，须先有 Brownian motion。
- 数学直觉
固定时刻差商的尺度说明不可导的动机，不是几乎必然处处不可导的完整证明。
- 待完成的定理
第二十六章处理路径正则性；第三十一章建一般变差与积分，第三十二章证明 Itô 公式。
- 已完成证明或计算（限定范围）
第26章另有处处不可微的统一网格全证及确定二进平方和；这不完成第31章的一般括号/随机积分。
- 已完成证明或计算（限定范围）
第31章与T-ITO-BRACKET已写成连续局部鞅积分、括号与ucp平方和的完整工作证明；作者待审、人工终审开放，旧模块原文保留。
分段阅读所需工具
Brownian motion 的存在、L2 收敛、Borel–Cantelli、随机积分与 Itô 公式。
状态限定于已写材料，不表示本专题已全部证明或通过数学终审。
进阶阅读：路径粗糙性、平方变差与 Itô 动机
4.10 连续，却无法求导：Brownian motion 的另一个悖论
现在，我们已经真正构造出了 Brownian motion。
它具有连续样本路径：
t\longmapsto B_t(\omega).乍看之下，既然粒子的位置随时间连续变化，我们似乎应该能够定义它的瞬时速度：
v(t)=\lim_{h\to0}\frac{B_{t+h}-B_t}{h}.但事情没有这么简单。
根据 Brownian motion 的定义，
B_{t+h}-B_t\sim N(0,h)对于 h>0。
因此
\frac{B_{t+h}-B_t}{h}
\sim N\left(0,\frac1h\right).当 h\downarrow0 时，这个差商的方差反而趋于无穷。
这意味着差商在任何有限数值附近都不会越来越集中。
事实上，对于任意固定 M>0，
P\left(
\left|\frac{B_{t+h}-B_t}{h}\right|\le M
\right)\longrightarrow0.因此，这些差商甚至不可能依概率收敛到一个有限的随机变量。
但这还不是最强的结论。
Brownian motion 的样本路径事实上几乎必然处处不可导。
这是一个令人惊讶的事实：
\boxed{
\text{样本路径连续}
\quad\text{但几乎必然处处不可导}.
}我们在微积分中曾经习惯一种直觉：
连续函数代表平滑的运动，而速度应当是对位置求导得到的。
Brownian motion 则彻底打破了这种直觉。
它是一种数学上严格存在的连续运动，但其路径粗糙到无法使用普通微分来描述。关于其轨道正则性的证明和历史发展，可参见 Brownian motion 的现代概率论教材。〔45, 46〕
不过，我们还可以用一个更加结构性的量，理解这种粗糙性。
4.10.1 一条路径究竟有多粗糙？
在区间 [0,T] 上，考虑二等分网格
t_k=\frac{kT}{2^m},
\qquad k=0,\ldots,2^m.定义平方增量之和：
Q_m=
\sum_{k=0}^{2^m-1}
(B_{t_{k+1}}-B_{t_k})^2.由于各个增量相互独立，且
B_{t_{k+1}}-B_{t_k}
\sim N\left(0,\frac{T}{2^m}\right),所以
\mathbb E[Q_m]
=
2^m\cdot\frac{T}{2^m}
=T.而一个均值为0、方差为 v 的正态随机变量 Z，满足
\operatorname{Var}(Z^2)=2v^2.因此
\begin{aligned}
\operatorname{Var}(Q_m)
&=
2^m\cdot2\left(\frac{T}{2^m}\right)^2\\
&=\frac{2T^2}{2^m}.
\end{aligned}所以
Q_m\longrightarrow T在 L^2 中成立。
更进一步，由 Chebyshev 不等式，
P(|Q_m-T|>\varepsilon)
\le
\frac{2T^2}{\varepsilon^2 2^m}.右侧关于 m 可求和。
利用 Borel–Cantelli 引理，可以得到
\boxed{
Q_m\xrightarrow{\mathrm{a.s.}}T.
}这就是 Brownian motion 的平方变差（quadratic variation）性质，在二进网格上的一种严格表述。
我们通常记作
\boxed{[B]_T=T.}4.10.2 为什么这与普通光滑函数完全不同？
假设 f:[0,T]\to\mathbb R 是一个 continuously differentiable 函数。
那么由均值定理，
|f(t_{k+1})-f(t_k)|
\le M(t_{k+1}-t_k)其中
M=\sup_{0\le t\le T}|f'(t)|<\infty.因此
\begin{aligned}
\sum_k(f(t_{k+1})-f(t_k))^2
&\le
M^2\sum_k(t_{k+1}-t_k)^2\\
&=M^2\frac{T^2}{2^m}\\
&\longrightarrow0.
\end{aligned}所以光滑函数沿越来越细网格的平方增量之和趋于零。
但是 Brownian motion 却满足
\sum_k(B_{t_{k+1}}-B_{t_k})^2
\longrightarrow T.也就是说：
\boxed{
\begin{aligned}
\text{光滑路径：}&\quad [f]_T=0,\\
\text{Brownian 路径：}&\quad [B]_T=T.
\end{aligned}
}这件事比“路径有些不平滑”更加深刻。
它表明，Brownian motion 拥有一种普通微积分无法忽略的二阶累积效应。
4.10.3 为什么随机微积分必须重新发明？
在普通微积分中，我们经常忽略二阶无穷小。
因为如果
dx=O(dt),那么
(dx)^2=O(dt^2),在除以 dt 后趋于零。
但对于 Brownian motion，典型增量具有
dB\sim O(\sqrt{dt})这样的尺度。
于是
(dB)^2\sim O(dt).这意味着平方增量的累积贡献，与一阶时间增量处于相同数量级。
因此，我们不能再像普通微积分那样忽略它。
这就是后来 Itô calculus 中会出现形式关系
\boxed{(dB_t)^2=dt}的根本原因。
这不是把 dB_t 当作普通实数微分进行的代数运算，而是平方变差结构在随机积分理论中的一种简洁记号。
例如，普通微积分可能让我们期待
d(B_t^2)=2B_t\,dB_t.但 Itô 公式实际给出
\boxed{
d(B_t^2)=2B_t\,dB_t+dt.
}那个额外的 dt，正是由 Brownian motion 的非零平方变差产生的。
我们现在还没有严格建立随机积分，因此这里只把它作为后续理论的预告。
但这已经让我们看到了概率论中一种非常重要的发展模式：
不是因为数学家想研究更复杂的公式，才创造新的积分理论；而是因为新的随机对象根本无法被原有的微积分完整描述。