Haobai Wang · 公开阅读版 · ch01-zh-13aef92ae472
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第一章：一场没有结束的赌博
为什么公平分配一笔赌金，竟然需要创造一种全新的数学？
1.1 在概率成为数学之前
想象我们生活在十七世纪的欧洲。
数学家已经能够计算复杂的几何问题，代数学正在发展，天文学家可以利用数学预测天体运动。
但是一个看起来十分简单的问题，却困扰了许多人：
如果一场赌博进行到一半就被迫结束，桌上的钱究竟应该怎样分配？
在十五、十六世纪，这个所谓的 Problem of Points（赌金分配问题）已经出现在数学文献中。Pacioli、Cardano 等人都研究过相关问题。
1654年，Pascal 和 Fermat 的通信将这一问题的求解推进到更加系统、一般的数学方法，后来成为概率论历史上的著名节点。1657年，Huygens 又发表了关于机会游戏计算的重要著作。
但要特别注意，1654年不是人类第一次用数学研究随机问题。这是一段延续数百年的思想发展，而不是某一天突然发生的发明。〔1, 2, 3, 4〕
现在，我们暂且离开真实史料，构造一个简单的现代教学版本。
1.2 什么叫公平？
两名玩家 A 和 B 参加一场比赛：
- 每一局都由 A 或 B 获胜，两人的获胜机会相等。
- 谁先赢得四局，谁就获得全部 64 枚金币。
- 目前 A 已赢三局，B 已赢两局。
- 比赛由于外部原因必须终止。
64 枚金币应如何分配？
第一个想法是按照已经取得的胜利次数分：
A:B=3:2.于是 A 获得
64\cdot\frac35=38.4,B 获得
64\cdot\frac25=25.6.这看起来很公平，因为它尊重双方已经完成的比赛。
但这里存在一个问题。
过去的胜利次数，真的能够衡量玩家当前拥有的获胜机会吗？
假如 A 只需要再赢一局，而 B 必须连续赢两局，我们似乎不能仅仅依据过去的比分来评价他们当前的处境。
于是，出现了一种全新的思考方式：
分配这笔钱，不应该只看过去发生了什么，而应该研究从当前状态出发，未来可能发生什么。
这一思想上的转变比具体的计算更重要。
过去的比赛记录是已知的。
未来的比赛结果是未知的。
我们第一次试图用数学评价一个尚未发生的结果。
1.3 如何对尚未发生的未来进行计算？
我们先不引入概率空间、随机变量或者期望等定义。
只采用一个假设：下一局 A、B 获胜的机会相等，而且每局结果不受之前结果影响。
考虑下一局比赛。
情形一：A 赢。
比赛立即结束，A 获得 64 枚金币。
情形二：B 赢。
此时比分变成 3:3。
双方都只差一局获胜，因此处于完全对称的情况。
如果我们接受对称状态下双方权益相等，那么此时 A、B 各有价值 32 枚金币的获胜机会。
现在回到比赛中止的时刻。
下一局只有两种等可能的情况：
- A 赢，得到 64。
- B 赢，进入双方各拥有价值 32 的局面。
所以 A 在当前状态下拥有的公平价值为
V_A=\frac12(64)+\frac12(32)=48.B 的公平价值则为
V_B=64-48=16.由此得到
\boxed{V_A:V_B=3:1}.这不是一个纯粹由算术决定的答案，而是建立在等机会、独立结果，以及用未来收益的加权平均衡量公平价值这些前提之上。
我们后面还会追问：为什么“公平价值”应当采用这种加权平均，而非其他方法？
1.4 一个数学对象悄悄出现了
刚才的计算中，我们实际上做了一件非常重要的事情。
我们将当前局面的价值，用它未来可能进入的局面的价值来表示：
\boxed{
V(\text{当前})
=
\frac12V(\text{A赢下一局})
+
\frac12V(\text{B赢下一局})
}我们尚未正式定义期望，但这个式子已经具有期望的基本结构。
更加令人感兴趣的是，它还包含另一种思想：
当前的价值，可以由未来状态的平均价值反过来确定。
我们可以把比赛状态一般化。
设 V(a,b) 表示当 A 还需要赢 a 局、B 还需要赢 b 局时，A 获得全部奖金的公平份额，单位取全部奖金为 1。
那么，当 a,b\ge1 时，
\boxed{
V(a,b)
=
\frac12V(a-1,b)
+
\frac12V(a,b-1)
}边界条件是
V(0,b)=1 \quad(b\ge1),以及
V(a,0)=0 \quad(a\ge1).现在，我们不再只是在研究一场特殊的赌博。
我们得到了一个定义在整数格点上的函数，并且它的内部取值由相邻状态决定。
这是一个递归的边值问题。
从现代视角看，它还预示了调和函数、动态规划和鞅之间的联系。
当然，这些属于我们站在现代数学高度作出的重新解释，而不是说十七世纪的数学家已经建立了这些理论。
1.5 一个值得深入追问的问题
刚才我们用当前价值等于未来价值平均数的方法解决了问题。
但为什么这就是唯一合理的办法？
我们实际上依赖了某种关于公平性的原则。
例如，假设一个人可以选择：
- 立即获得 48 枚金币；
- 或者继续比赛，以相等的机会得到价值为 64 或 32 的结果。
我们认为两种选择具有相同的公平价值。
这隐含了一个更普遍的原则：
\text{公平价值}
=
\text{各种可能收益的加权平均}.但为什么权重是概率？为什么平均具有线性形式？如果一个人非常厌恶风险，这样计算还是他的主观价值吗？
这些疑问将把我们带向期望、概率与风险决策理论的区别。
尤其值得注意的是，我们刚才在计算时，甚至还没有正式定义什么是概率。
我们先有了一个关于公平交易的要求，然后才逐渐发现，自己需要一种衡量不同未来可能性的数学语言。
这也许正是概率论诞生故事最值得关注的地方。
《偶然的数学》
第一卷 · 偶然可以计算吗？
第一章：一场没有结束的赌博（续）
1.6 我们真的可以通过计数来计算概率吗？
在上一节，我们通过一场被迫中止的赌博，发现了一种令人惊讶的数学思想：
一个人当前拥有的公平价值，可以通过尚未发生的未来结果来计算。
但我们的推导中，有一个几乎没有引起注意的假设。
我们说，下一局比赛 A 和 B 获胜的机会相等，因此可以取各自的权重为 1/2。
这个 1/2 究竟从哪里来？
假如一个人回答：
“因为只有两种可能的结果，所以每一种结果的概率就是 1/2。”
这个解释看起来非常自然。
但是我们必须问：为什么两种可能的结果就一定各有一半的概率？
一枚硬币可以出现正面或反面，但一枚经过特殊加工的硬币完全可能更容易出现正面。
一场足球比赛可以被简单描述成胜、平、负三种结果，但我们显然不会因此认为三者概率都等于 1/3。
“可能发生”与“以相同的机会发生”并不是同一件事。
我们似乎缺少了一种数学语言，来表达什么叫作两个结果具有相等的机会。
而在继续研究这个问题之前，我希望我们先回到一个比 Pascal 与 Fermat 的通信更早的历史故事。
1.7 伽利略与三个骰子：为什么两种计数给出不同答案？
Galileo Galilei（1564—1642）
伽利略不仅研究运动、天文和物理，也曾经思考过骰子游戏中的数学问题。
在一份通常被定年于1613—1623年间的手稿中，他讨论了三个骰子点数之和的一个看似矛盾的现象。
历史上的问题是：
同时掷三个六面骰子，为什么点数之和为 10 的机会，比点数之和为 9 的机会更大？
这听起来甚至不应该成为一个问题。
因为我们很容易找出六种不同的组合，使三个骰子之和等于 9：
\begin{aligned}
9={}&1+2+6\\
={}&1+3+5\\
={}&1+4+4\\
={}&2+2+5\\
={}&2+3+4\\
={}&3+3+3.
\end{aligned}而对于 10，也恰好有六种：
\begin{aligned}
10={}&1+3+6\\
={}&1+4+5\\
={}&2+2+6\\
={}&2+3+5\\
={}&2+4+4\\
={}&3+3+4.
\end{aligned}既然两边各有六种组合，为什么它们的出现频率会不同？
伽利略的关键洞察是：我们数错了对象。
例如，组合
1+2+6=9实际上可以通过六种有顺序的结果产生：
(1,2,6),(1,6,2),(2,1,6),(2,6,1),(6,1,2),(6,2,1).但
3+3+3=9只有一种排列。
因此，虽然两种情况都是“一种点数组合”，它们所包含的实际掷骰结果数量完全不同。
我们可以把这件事完整地计算出来。
三枚骰子：和为 9 与 10 的全部组合
点数之和 = 9
| 组合 | 排列数 |
|---|---|
| 1,2,6 | 6 |
| 1,3,5 | 6 |
| 1,4,4 | 3 |
| 2,2,5 | 3 |
| 2,3,4 | 6 |
| 3,3,3 | 1 |
| 合计 | 25 |
点数之和 = 10
| 组合 | 排列数 |
|---|---|
| 1,3,6 | 6 |
| 1,4,5 | 6 |
| 2,2,6 | 3 |
| 2,3,5 | 6 |
| 2,4,4 | 3 |
| 3,3,4 | 3 |
| 合计 | 27 |
和为 9 的概率 25/216
约 11.57%
和为 10 的概率 27/216
12.50%
在三个公平且相互独立的骰子模型下，我们得到
\boxed{
P(S=10)-P(S=9)=\frac{2}{216}=\frac1{108}.
}这与伽利略所解释的现象吻合。有关手稿的年代、问题背景及计算过程，可以参见 Hald 的概率史研究及伽利略文本的英译。〔5, 6, 7〕
但这里真正重要的，还不是 25 和 27 这两个数字。
而是我们必须回答：
为什么有顺序的三元组才是可以等权计数的对象，而无顺序的三个点数组合不是？
我们不能只说，因为使用有序三元组得到了正确答案。
那只是用答案倒过来证明方法。
我们需要一个不依赖具体问题答案的数学原则。
这个原则就是——对称性。
1.8 对称性：为什么某些结果应该有相同的概率？
设想我们有一枚完全对称的理想六面骰子。
六个面分别标记为 1,2,\ldots,6。
如果骰子的材料分布均匀，形状完全对称，掷骰子的机制也不会偏向某个面，那么我们有理由认为：六个面之间不存在影响结果机会的区别。
请注意，我们并没有首先说
P(1)=\cdots=P(6)=\frac16.我们首先提出的是：
如果两个结果能够通过不改变随机机制的对称变换互相交换，那么这两个结果应该具有相同的概率。
于是，数学中一个非常普遍的思想开始发挥作用：
一个对象所具有的对称性，应该对描述这个对象的数学量施加约束。
我们尝试把这件事严格写出来。
设
\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}是一个有限结果空间。
考虑一组作用在 \Omega 上的变换，构成一个群 G。
假设：
G在\Omega上的作用是传递的，即任意两个结果都能通过某个群元素相互转换；- 我们所研究的概率分配在这些变换下保持不变；
- 所有结果的总概率为 1，互斥结果的概率可以相加。
第二点用数学语言写成
P(gA)=P(A),
\qquad g\in G,\quad A\subseteq\Omega.由传递性，对任意 \omega_i,\omega_j，存在 g\in G 使
g\omega_i=\omega_j.因此
P(\{\omega_i\})
=
P(\{\omega_j\}).这意味着所有单点事件具有共同的概率 p。
由归一化和可加性，
1=P(\Omega)
=\sum_{i=1}^{n}P(\{\omega_i\})
=np.因此
\boxed{p=\frac1n}.对于任何事件 A\subseteq\Omega，利用有限可加性，
\begin{aligned}
P(A)
&=\sum_{\omega\in A}P(\{\omega\})\\
&=\sum_{\omega\in A}\frac1n\\
&=\frac{|A|}{n}.
\end{aligned}最终得到了我们极其熟悉的公式：
\boxed{
P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.
}但是，现在它具有了完全不同的意义。
它不再是我们凭空宣布的一条计算规则。
在有限空间中，它是对称性、归一化与可加性共同作用的结果。
而这里还有一个必须强调的逻辑区别：
我们已经证明，如果一个概率分配满足相应的对称性，它就必须是均匀的。
但我们还没有证明，现实中的骰子一定具有这种概率对称性。
数学可以揭示对称性所带来的必然结论，却不能仅凭一个符号化的模型，就保证现实满足模型的前提。
1.8.1 一个更深刻的问题：对称性是客观的，还是我们选择的？
如果一个骰子被人为地改变了重心，虽然它仍然有六个标记，我们却不能再假定六种结果等概率。
所以对称性并不是“结果有六种”这一事实的直接结果。
它来自我们对于产生结果的机制所作出的判断。
然而，还有另一种更微妙的情况。
假如我完全不了解一个骰子的构造，也从未观察过它的结果。
我能否仅仅因为缺少信息，就赋予六个面相等的概率？
这实际上涉及后世所谓的 Principle of Indifference，即无差别原则。
在经典概率解释中，这种思想占有重要地位，但也长期受到质疑：不知道结果之间有什么差别，是否就意味着它们实际上没有差别？〔8, 9〕
这里存在着两个不同的命题：
\text{机制具有对称性}与
\text{我们不知道机制存在不对称性}.第一个是关于世界的陈述。
第二个是关于我们知识状态的陈述。
它们并不等价。
这将成为概率论历史中一条长期存在的思想分歧：概率描述的是客观世界，还是我们关于世界的不确定知识？
但在解决这个哲学问题之前，我们还有一个更加直接的数学困难。
1.9 为什么正确的概率计算取决于我们如何描述结果？
回到伽利略的三个骰子。
我们原本把实验结果表示为
\Omega=\{1,\ldots,6\}^3.这是一个具有
|\Omega|=6^3=216个元素的有限空间。
在独立公平的骰子模型下，每一个有序三元组都有概率
\frac1{216}.但是，当我们把三个骰子的点数相加时，得到的只是一个整数。
定义函数
S:\Omega\longrightarrow\{3,4,\ldots,18\}其中
S(i,j,k)=i+j+k.我们真正关心的事件是
\{S=10\}.换句话说，我们并没有观察完整的三个骰子结果，而是观察了它们经过一个函数变换之后所产生的信息。
于是
\{S=10\}
=
S^{-1}(\{10\}).这里的 S^{-1} 表示原像，而不是反函数。
因此
P(S=10)
=
P(S^{-1}(\{10\}))
=
\frac{|S^{-1}(\{10\})|}{216}.这就是为什么我们必须数出 27 个有序三元组，而不能只数六个无序组合。
同一随机实验的两个描述层次
示意图：映射会合并结果，但不一定保持均匀性。图中的方块仅作概念示意，不代表各事件的实际数量。
我们在这里发现了一条极其重要的数学原则：
一个随机对象具有均匀分布，并不意味着它的函数也具有均匀分布。
用现代数学语言，我们实际上构造了一个新的概率分布：
P_S(B)=P(S^{-1}(B)).这里 P_S 是原概率分布在映射 S 下的推前测度（pushforward measure）。
这个公式值得我们停下来思考。
在有限空间中，它只是“数一数每个总和对应多少种掷骰结果”。
但它的结构已经不再依赖计数本身。
更一般地，设
X:(\Omega,\mathcal F,P)\longrightarrow(E,\mathcal E)是一个可测映射。
那么 X 的分布定义为
\boxed{
P_X(B)=P(X^{-1}(B)),
\qquad B\in\mathcal E.
}这是现代概率论中随机变量分布的基本构造。
我们甚至可以沿着它继续发展，从离散分布走向连续分布、随机过程和随机几何对象。
但现在还不需要这些理论。
我们只需要看清一个事实：
概率不是简单地赋予某个数字一个权重，而是将原本附着在随机实验结果上的权重，通过某种映射转移到我们所观察的对象上。
伽利略三个骰子的计算，在现代数学视角下，已经包含了这种思想的一个有限实例。
1.10 回到赌博：我们原来还偷偷使用了独立性
现在回到最初的赌博。
A 已经赢了三局，B 赢了两局。A 只差一局，B 还差两局。
为了分析这场比赛，我们可以事先设想未来两轮的潜在结果，即使实际比赛可能在第一轮后就结束。
于是，有四种有序的潜在结果：
AA,\quad AB,\quad BA,\quad BB.只要在前两轮中 A 至少赢一轮，A 就能获得全部奖金。
因此，A 最终获胜对应
\{AA,AB,BA\},而 B 获胜对应
\{BB\}.假设每一局都是公平的，且两局相互独立，那么
P(AA)=P(AB)=P(BA)=P(BB)=\frac14.由此
P(\text{A最终获胜})=\frac34.这就解释了为什么我们最初得到 48 枚金币的公平价值：
64\cdot\frac34=48.但是，现在有一个更深刻的问题。
如果我们只知道每一局 A 和 B 获胜的概率都是 1/2，就能推出上面的四种结果等概率吗？
答案是不能。
1.10.1 一个出人意料的反例
设未来两轮潜在结果为随机变量 X_1,X_2，取值在 \{A,B\}。
我们只要求
P(X_1=A)=P(X_1=B)=\frac12以及
P(X_2=A)=P(X_2=B)=\frac12.也就是说，每一轮单独看都是公平的。
但这并不意味着两轮相互独立。
事实上，下面三个模型都满足这些边际概率条件。
| 模型 | P(AA) |
P(AB) |
P(BA) |
P(BB) |
|---|---|---|---|---|
| 独立 | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/4 |
| 完全正相关 | 1/2 | 0 | 0 | 1/2 |
| 完全负相关 | 0 | 1/2 | 1/2 | 0 |
它们对于“每一局是否公平”给出了完全相同的回答。
但对于“谁最终赢得奖金”，却给出了完全不同的回答。
A 最终赢得奖金的概率。选择独立、完全正相关或完全负相关，比较 AA、AB、BA、BB 的概率以及 A 的公平份额。
这表明，仅凭两轮分别公平，我们无法确定最终胜率。
事实上，还可以更进一步。
设
P(AA)=x.由两个边际分布都等于 (1/2,1/2)，我们必须有
P(AB)=P(BA)=\frac12-x,以及
P(BB)=x.其中
0\le x\le\frac12.所以 A 最终获胜的概率是
\begin{aligned}
P(\text{A获胜})
&=1-P(BB)\\
&=1-x.
\end{aligned}因此，在不假设独立性的情况下，
\boxed{
\frac12\le P(\text{A获胜})\le1.
}我们原来计算出的 3/4，不过是整个可能区间中的一个特殊值。
只有在独立性假设下，
P(AA)
=
P(X_1=A)P(X_2=A)
=
\frac14,才能得出
P(\text{A获胜})=\frac34.这意味着，我们第一次发现：
了解每一个随机结果单独的规律，并不意味着了解它们组合起来的规律。
这就是概率论与单纯计数相比更深刻的地方之一。
它不仅研究某个结果有多大机会发生，还研究不同结果之间究竟存在什么关系。
更重要的是，原先只用当前比分 V(a,b) 表示价值的递推式，也隐含着当前比分包含了决定未来分布所需的全部相关信息。
如果未来结果之间存在依赖，而这种依赖还取决于此前的具体结果，那么仅凭当前比分就可能无法正确计算未来价值。
这已经隐约触及了后来 Markov 性质及“状态”概念的核心。
1.11 为什么互斥事件的概率应该相加？
我们已经提到了三种重要的思想：
对称性、独立性和可加性。
对称性告诉我们，在什么条件下不同结果应该具有相同的概率。
独立性告诉我们，在什么条件下联合概率可以分解为单独概率的乘积。
但可加性似乎还有一个没有回答的问题：
为什么两个互斥事件的概率应该相加？
例如，如果 A\cap B=\varnothing，我们为什么要要求
P(A\cup B)=P(A)+P(B)?这是不是又是一条凭空引入的规则？
我们不妨再次回到赌博。
假设一个人可以购买一张契约：
当事件 A 发生时，他得到 1 枚金币；否则一无所获。
我们用
\mathbf 1_A来表示这张契约的收益。
现在考虑两张契约：
第一张在事件 A 发生时支付 1 枚金币。
第二张在事件 B 发生时支付 1 枚金币。
假设 A 与 B 互斥。
那么，拥有两张契约的总收益就是
\mathbf1_A+\mathbf1_B.但因为 A\cap B=\varnothing，
\boxed{
\mathbf1_A+\mathbf1_B=\mathbf1_{A\cup B}.
}请注意，这首先是一个完全确定的代数恒等式。
不涉及任何概率计算。
它只是说：当两个事件不可能同时发生时，在任何一个事件发生时支付一枚金币，与分别持有两张对应的契约，最终收益完全一样。
现在我们引入一种理想化的无套利定价原则：
如果两个交易组合在所有可能情况下产生相同的收益，那么它们应当具有相同的价格。
设
\pi(X)表示收益 X 的价格。
如果这些契约都可以自由买卖，并且价格体系必须排除有限组合中的套利机会，那么一致的定价需要满足线性关系。
特别地，
\pi(\mathbf1_A+\mathbf1_B)
=
\pi(\mathbf1_A)+\pi(\mathbf1_B).于是我们可以定义
P(A)=\pi(\mathbf1_A),其中把必定支付 1 枚金币的契约价格规范化为 1。
便得到了
\boxed{
P(A\cup B)=P(A)+P(B)
}只要 A\cap B=\varnothing。
我们还可以得到
P(\Omega)=1,
\qquad
P(A)\ge0,其中非负性来自非负收益不能具有负价格的无套利要求。
因此，在这样一个理想的有限交易模型中，一致的事件契约价格会给出一个有限可加的概率分配。
这不是说历史上的概率论完全由金融定价推导而来，也不是说实际市场价格一定等于真实概率。
我们只是从现代数学角度发现了一种令人惊讶的统一：
概率的可加性，可以与不同赌约之间的定价一致性联系起来。
在这一意义上，概率不仅能够作为对偶然性的描述，还能够成为衡量不确定收益的数学工具。
这也帮助我们重新理解第一章的出发点。
原本我们只想公平地分配 64 枚金币。
然而，为了真正理解“公平”二字，我们逐渐引入了状态、对称性、独立性、事件以及可加性。
一套数学结构正在从一个具体问题中浮现。
1.12 但是，计数的方法终究会失效
此时，我们已经能够在有限的等可能样本空间中计算概率。
那么，是否所有概率问题都能够归结为某种计数呢？
假如一个人从区间 [0,1] 中随机选取一个实数。
我们想知道这个数字位于
\left[0,\frac12\right]中的概率。
如果依照以前的公式，我们似乎应该计算
\frac{
|\{x:0\le x\le1/2\}|
}{
|\{x:0\le x\le1\}|
}.但两个区间的基数是一样的。
事实上，映射
f:[0,1]\longrightarrow\left[0,\frac12\right],
\qquad f(x)=\frac x2是一个双射。
所以
\left|\left[0,\frac12\right]\right|
=
|[0,1]|.如果只是比较集合的元素数量，我们根本无法区分这两个区间。
而我们对“均匀地在 [0,1] 中选择”的直观理解，却希望
P\left(X\in\left[0,\frac12\right]\right)=\frac12.这揭示了一个本质性的困难：
在无限集合中，集合的大小不再能够直接扮演概率的角色。
更准确地说，基数已经无法反映区间长度所体现的那种相对大小。
我们需要的不是单纯的计数，而是一种更一般的概念：
一种能够把数学上的“大小”赋予集合，同时保留必要可加性质的工具。
这正是后来测度论所解决的问题之一。
我们还没有准备好在这里直接构造 Lebesgue 测度，因为还有许多基础问题需要探索。
但历史的方向已经开始显现。
从有限的等可能结果出发，概率论最终必须走向一种不依赖计数的语言。
在这个过程中，我们也会发现一个反过来很深刻的事实：
\text{计数}
\subset
\text{测度}.有限集合上的均匀概率，不过是更一般的测度结构中的一个特殊情形。
本章思想小结：我们究竟发现了什么？
回顾整段讨论，我们最初只是想解决一场赌博如何分配奖金的问题。
但为了得到数学上有意义的答案，我们发现：
\boxed{
\text{公平分配}
\longrightarrow
\text{未来结果}
\longrightarrow
\text{对称性}
\longrightarrow
\text{概率分配}
}而当我们研究多个结果的组合，又不得不引入独立性、可加性与随机映射。
最有意思的是，初看十分自然的古典概率公式
P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}并没有真正告诉我们概率是什么。
它只是告诉我们，在一个特殊的、有限的、具有等权结构的模型中，概率应该如何计算。
正如后来 Laplace 的经典表述所体现的，古典概率方法依赖“等可能情形”这一关键前提；而什么使这些情形等可能，本身仍然是一个需要解释的问题。〔8, 10〕
我们已经得到了一些数学工具，却仍没有解决最根本的问题：
当结果之间不存在对称性，或者我们根本不知道它们的概率时，我们究竟应该怎么办？
这将自然地把我们带到下一章。
第二章：从机会到信念——当结果不再等可能
下一章我们将从一枚不公平的骰子开始。
这一次，不能直接计数，不能预先假定均匀分布。
我们将尝试回答：人类能否通过观察随机现象，逐渐认识它背后的概率？如果能，那么有限的经验如何支持对未来的预测？
在那里，我们将遇到早期概率论中两个重要而彼此不同的思想方向：通过重复试验研究频率的稳定性，以及利用已有信息对未知结果作出推断。
这些探索，最终将使我们走向 Bernoulli 的大数定律，以及 Bayes 与 Laplace 所推动的概率推断思想。
《偶然的数学》· 第一卷第一章草稿 v0.2 · 本章完