Haobai Wang · 公开阅读版 · ch30-zh-c2c0dcf998f9
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第三十章：什么叫在事情发生之前就知道？
一次到达发生了。记录员在纸上画下一道竖线；另一个人看见这道线以后，才在同一位置填上“我在这里等待一次到达”。两份记录的时间戳完全一致，却不能据此认定，第二个人曾经预见了那次到达。
在有限次赌博中，下注和揭晓之间有一个格子。连续时间没有这样的最小格子。一份规则可以在每个时刻都只使用截至此刻的信息，却仍然恰好利用此刻刚刚出现的跳跃。要沿随机路径计算累积量，首先必须把这两种“已经知道”分开。
30.1 看见跳跃以后，不能补填事前的选择
取速率λ>0的Poisson过程N，使用其完备右连续自然滤过。第21章已经证明，不同时间区间的到达独立，Mₜ=Nₜ−λt是鞅。先不建立任何新积分。由于N在有限时间内只有有限次跳跃，而λt有有限变差，我们可以分别对二者作普通的路径Stieltjes积分。
在(s,t]开始以前，先依据Fₛ选择一个有界ξ。条件平均告诉我们，这一小段经补偿的收益没有偏向。有限个这样的选择相加，仍然如此。
E\!\left[\xi\bigl(N_t-N_s-\lambda(t-s)\bigr)\right]=0,\qquad \xi\in L^\infty(\mathcal F_s).现在把规则换成Hₜ=ΔNₜ：只在到达恰好发生的时刻取值1，其余时刻取0。H适应，且可以从截至t的记录中读出。可是它对跳跃的取值全部为1，对长度测度却几乎处处为0。于是
\int_{(0,K]}H_t\,dN_t-\lambda\int_0^K H_t\,dt=N_K,\qquad E N_K=\lambda K.公式没有错。错的是把“事后可以读取”当成“事前已经选择”。我们不能只要求规则适应，就把前一个条件平均身份推广到所有这样的规则。真正缺少的是对时间边界的控制。
30.2 一个事件，还要说明它在哪个时刻发生
单个随机变量只需在Ω上可测。过程H则是在Ω×[0,K]上的函数；只逐个检查Hₜ，会丢掉不同t之间共同的可测结构。我们需要在这个乘积空间里区分两类规则，而不是给每个时刻另选一个无关的零集。
可选σ代数O由全部càdlàg适应实过程生成。“可选”在这里不是允许任意使用未来，而是能够按照当前已经显示的路径信息读取。到达计数、右连续价格和首次到达指示过程，都在这类对象中。
另一类规则先把一个选择放在某段未来时间之前：在(s,t]上使用Fₛ可测的ξ，初始时刻使用F₀。由所有这些矩形生成的σ代数，记作P，称为可预测σ代数。它也恰好由全部左连续适应过程生成。
\mathcal P=\sigma\!\left(\{B\times\{0\}:B\in\mathcal F_0\},\ \{B\times(s,t]:B\in\mathcal F_s,\ 0\le s<t\le K\}\right).这不是为了偏爱左端点而作的命名。矩形(s,t]明确规定：在s得到的选择可以作用于随后发生的变化，却不能在t看见变化以后再改填整个区间。左连续过程由越来越细的左端取值逼近；反过来，每个上述矩形的指示过程本身左连续且适应。这证明两种定义等价。
P⊂O，而O中的过程渐进可测，所以在停止时刻读取可选过程，会得到\mathcal F_T可测的变量。生成与读取的完整可测性论证见连续信息补证。可预测过程不一定连续；事先知道在明天中午支付的金额，完全可以在那个时刻跳入累积账户。
30.3 “刚才知道”不能只用固定时刻检验
对一个càdlàg适应过程X，左极限过程Xₜ₋在t>0左连续且适应，因此可预测。Xₜ则可包含刚出现的跳跃。这个区别在固定时刻可能完全看不出来：Poisson过程对每个确定t均有ΔNₜ=0几乎必然，但在首次到达T却有\Delta N_T=1。
所以“每个固定t都与某个事前变量几乎必然相等”，不能替代整段过程的可预测性。第23章区分过修改与不可分辨版本；这里，同一组零集问题会直接影响能否把一个规则用于累积。
在随机时刻T之前的信息，精确地写成下面的σ代数。它保留F₀，并保留“在s观察到B，且T尚未到来”的信息。若H可预测，则H_T在{T<∞}上对\mathcal F_{T-}可测；这是矩形生成元和单调类给出的结论，不要求T可以预告。
\mathcal F_{T-}=\sigma\!\left(\mathcal F_0,\ B\cap\{s<T\}:B\in\mathcal F_s,\ s\ge0\right).30.4 有些时刻可以逐步走近，有些只能等待
设一条连续适应路径从阈值下方出发。第一次到达阈值之前，它必须先到达略低的阈值；这些较低的首达时刻向目标时刻靠近。这与无记忆到达不同：后者没有一串已经观察到的临近信号，保证下一次信号就是到达。
对于取值于[0,∞]的停止时刻T，若存在停止时刻Tₙ↑T，并在{0<T<∞}上Tₙ<T，就称T可预测或可公告；初始事件{T=0}按F₀处理。在{T=∞}上也可要求Tₙ<T并趋于无穷，不改变有限时刻的定义。确定时刻是最简单的例子。连续路径首达的例子使用从内部趋近的水平，须先保证各个首达确为停止时刻；这由第16章的连续路径首达论证给出。
公告给出一个重要可测结论。随机区间(Tₙ,T]的指示过程是左连续适应的；对n取交，得到T的图。因此一个可公告时刻的图是P可测的。它可以被事前规则精确选中，这比“每个固定时刻的截面可测”更强。
若T的有限图可被可数个可预测停止时刻的图覆盖，就称T可达。可达不等于可预测。比如到时刻1才揭晓一枚独立硬币，T在正面时等于1，反面时等于∞。T的有限图被确定时刻1覆盖；但若它可公告，事件{T=1}就属于F₁₋，与硬币直到1才揭晓且非退化矛盾。这里的滤过在1以前平凡，在1及以后包含硬币，并作通常增广。
最后这个论证所用的事实也能直接核实：若Tₙ公告T，则在{T=1}上Tₙ<1，故 {T=1}=∩ₙ{Tₙ<1}∩{T≥1} 属于F₁₋；在此例T只取1与∞，第二个事件是全空间。
30.5 不能公告，并不等于没有发生率
若T与任何可预测时刻S在有限正时间相等的概率都为0，就称T在正时间全不可达。对Poisson首次到达，这一点可以证明，不能只说“到达很突然”。
由30.1的简单规则恒等式，对任意非负可预测H，矩形单调类给下面的等式。证明所用的是两份有限测度：E∫H dN与λE∫H dt；对一般非负H再用单调收敛。
E\int_{(0,K]}H_t\,dN_t=\lambda E\int_0^K H_t\,dt.取H为可预测S的正时间图的指示函数。每条图对dt的长度为0，所以 E[\Delta N_S;0<S\le K]=0。首次到达T若等于S，就有\Delta N_S=1，故P(T=S\le K)=0。对整数K取并，得到全不可达性。这并不说到达不能被统计预测；λ仍然精确地控制每段时间的条件平均，只是不提供一个能够提前公告的确切时刻。
可达与全不可达也确实构成一般停止时刻的两部分。考虑所有可数个可预测图的并所能覆盖的{0<T<∞}概率，取其上确界，再选一列趋近上确界的覆盖并合起来。得到一个可数覆盖C，达到该上确界。把T限制在{(ω,T)∈C}上得到可达部分，限制在其补集上得到全不可达部分；限制后的时刻仍是停止时刻，因为两图相等事件属于相应停止信息。若补集还能与某个可预测图有正概率交集，把该图加进C就会超过上确界。两个分解的可达部分只能在零集上不同，因为可达图与全不可达图的交集为零。初始时刻另作可预测部分。
30.6 右连续滤过，并不自动替我们画好路径
后面的构造会给出一串条件期望 E[Y|Fₜ]。每个t上选一个版本，不等于已经拥有一条càdlàg路径；在随机时刻使用它以前，必须先解决这个版本问题。
通常条件由两部分组成：F₀包含环境中的全部零集，且Fₜ等于所有s>t的Fₛ之交。右连续性控制从右侧逼近所得信息，完备性允许一次删除共同零集。它们是滤过的条件，不是对每个适应过程自动连续的承诺。
对Y∈L¹，闭鞅 E[Y|Fₜ]在通常条件下有càdlàg修改。证明从可数稠密网格的上穿不等式出发，先排除无穷振荡与无穷逃逸，再取右极限；条件期望的反向鞅收敛及滤过右连续性把固定时刻的极限识别回原变量。对于class D次鞅，还要均值右连续，才保证这一延拓是原过程的修改。正则化补证给出共同零集、L¹极限及停止抽样的全部步骤。
例如确定过程Sₜ=1{t>0}在平凡且通常的滤过下是有界次鞅，却不能在0处得到右连续修改；它的均值在那里也不右连续。相反，对任何真鞅，在固定K上取Y=M_K就属于前述闭鞅情形。各有限区间的修改由稠密时刻相等与右连续性拼合，这给出半轴上的鞅正则化。
30.7 让随机选取的时刻也保留积分质量
在一个固定时刻有有限期望，控制不了观察者沿路径挑选出的时刻。Doob–Meyer需要的条件直接约束后一种选择：在[0,K]上，所有停止时刻τ≤K的Sτ构成一致可积族。这样的过程称为class D。
\lim_{L\to\infty}\ \sup_{\tau\le K}E\!\left[|S_\tau|\mathbf1_{\{|S_\tau|>L\}}\right]=0.一个终值可积的递增过程具有这个性质，因为所有停止值都被终值控制；闭鞅也具有这个性质，因为Mτ=E[Y|Fτ]，对同一个可积Y作任意条件平均得到的族一致可积。后一个身份先在有限网格证明，再由càdlàg性与UI取极限，不循环使用尚未建立的分解。
它所防止的正是第七章尖峰中出现的期望流失。这里尖峰不再只由一个确定指标n选中，还可能被一个依赖历史的时刻选中。控制所有这些选择，才能在网格越来越细时仍然保留平均累积。
30.8 在网格上，增长部分确实可以事前计算
现在设S为càdlàg class D次鞅。先把时间区间缩放为[0,1]。在二进网格Dₙ上，每一步未来增长的条件平均都非负，于是只能有下面的自然分解：把这些平均累加为Cⁿ，再把剩余项记为Mⁿ。
\begin{gathered} D_n=\{j2^{-n}:0\le j\le2^n\},\quad C^n_0=0,\\ C^n_{j2^{-n}}-C^n_{(j-1)2^{-n}}=E[S_{j2^{-n}}-S_{(j-1)2^{-n}}\mid\mathcal F_{(j-1)2^{-n}}],\qquad M^n_t=S_t-C^n_t\quad(t\in D_n). \end{gathered}Cⁿ递增，而且第j步的增量在前一网格点已经知道；Mⁿ在网格上是鞅。这同时解释可预测性为什么会出现在分解中：我们抽出的是事前条件平均，不是事后看见的全部增长。
但网格细分以后，Cⁿ并不按n单调；不能直接使用单调收敛。即使E Cⁿ₁固定，L¹有界也不能保证存在L¹收敛子列。我们需要先证明终值不把质量推向越来越罕见的巨大取值，再找到可以保留条件平均的极限方式。
30.9 允许平均逼近，却不能平均掉时间顺序
适合这里的操作是取尾部有限凸组合。若(fₙ)一致可积，就能选确定权重λₙ,ₖ≥0、Σₖλₙ,ₖ=1，只使用有限个k≥n，使这些加权和在L¹收敛。确定权重不偷看样本结果；非负权重保留递增性；只用尾部网格，保证任一固定粗网格最终被所有参与项包含。
g_n=\sum_{k=n}^{N_n}\lambda_{n,k}f_k\longrightarrow g\quad\text{in }L^1.这个工具的证明并不要求尚未建立的弱紧性理论：T-DM-COMPACT把所有截断放进同一个平方可和Hilbert空间，用最小范数凸组合与平行四边形恒等式得到Cauchy列，再由UI统一去掉截断。同页也实际建立凸增长判别及所需弱L¹子列结论。这里不是用一个引理名字替代紧性步骤。
30.10 为什么停止时刻恰好控制补偿的尾部
先减去闭鞅Zₜ=E[S₁|Fₜ]，令R=S−Z。次鞅关系给R≤0，且R₁=0。R仍càdlàg且class D，离散补偿Cⁿ则完全不变，因为Z的每个条件平均增量为0。记Dⁿ=Cⁿ₁。网格鞅身份变成
R_\tau=C^n_\tau-E[D^n\mid\mathcal F_\tau],\qquad E D^n=E S_1-E S_0=:c_0,其中τ可以是Dₙ上的停止时刻。对r>0，停在Cⁿ即将首次超过r之前的那个网格点，记为τₙ(r)；若不超过则取1。这个“前一格”仍是停止时刻，因为下一步的补偿增量在当前已经可测。它满足 C^n_\tau\le r，而且{τ<1}={Dⁿ>r}。于是
E[D^n;D^n>r]\le rP(D^n>r)+E[-R_{\tau_n(r)};\tau_n(r)<1].第一项还不能只靠Markov不等式处理，那只会给一个不趋零的常数。再在r/2处作同样的预先停止，记σ=τₙ(r/2)。在{Dⁿ>r}上，停止后剩余补偿至少r/2；在其余路径上剩余补偿也非负。对条件身份积分，得到
\frac r2 P(D^n>r)\le E[(D^n-C^n_\sigma);\sigma<1]=E[-R_\sigma;\sigma<1].合并可得尾积分上界。两个事件的概率分别至多2c₀/r与c₀/r，一致趋0。class D保证所有这些停止值Rτ一致可积，故它们在这些小概率事件上的积分一致趋0。这才真正证明(Dⁿ)一致可积。
E[D^n;D^n>r]\le2E[-R_{\tau_n(r/2)};\tau_n(r/2)<1]+E[-R_{\tau_n(r)};\tau_n(r)<1]\longrightarrow0\quad\text{uniformly in }n.由于Mⁿ₁=S₁−Dⁿ，终值鞅部分也一致可积。证明中最关键的不是总平均有界，而是能够在补偿即将变大以前，合法地选择一个观察时刻，把其尾部还原为原次鞅的停止值。
30.11 从共同终值，得到一条真正的分解路径
将Mⁿ扩成闭鞅 Mⁿₜ=E[Mⁿ₁|Fₜ]。取30.9的同一组尾凸权重，使 gₙ=Σλₙ,ₖMᵏ₁→g 于L¹。令Mₜ=E[g|Fₜ]，选30.6给出的càdlàg修改，再令C=S−M。
\overline M^n_t=\sum_{k=n}^{N_n}\lambda_{n,k}M^k_t=E[g_n\mid\mathcal F_t],\qquad \|\overline M^n_t-M_t\|_1\le\|g_n-g\|_1.在任一固定二进网格点t，n足够大以后，所有参与网格都包含t，所以 ΣλCᵏₜ=Sₜ−M̄ⁿₜ→Cₜ 于L¹。抽取一个子列，使可数个二进时刻上同时几乎必然收敛。每个凸组合在时间上递增，因此C在稠密网格上递增；càdlàg性把递增性推广到全部时刻。C₀=0，C₁=S₁−g可积，故得到一条真实的递增路径，而不是仅有各时刻不同版本的极限。
还有一个尚不能跳过的问题：C适应，不代表C可预测。若在这里停笔，Poisson计数本身也可以假装成为“补偿”，而30.1的区别就消失了。
30.12 在跳跃发生的那一刻，证明仍须跟得上
把离散Cᵏ向整个区间延拓：在((j−1)2⁻ᵏ,j2⁻ᵏ]上取下一网格点的Cᵏ值，0处取0，记为Lᵏ。看起来用了“下一格”，但这个值在前一格已经知道，故Lᵏ左连续且适应。使用原来的凸权重得到L̄ⁿ；它们全部可预测、非负、递增。
L^k_t=C^k_{2^{-k}\lceil2^kt\rceil}\quad(t>0),\qquad L^k_0=0,\qquad \overline L^n=\sum_{k=n}^{N_n}\lambda_{n,k}L^k.沿30.11的共同子列，稠密网格上的收敛给每条剩余路径的 limsup L̄ⁿₜ≤Cₜ；在C的连续点，两侧网格夹逼甚至给完全收敛。困难只剩C的跳跃点。不能说跳跃点“至多可数”就结束，因为这些点依赖ω，未必是某串固定时刻。
先对任意停止时刻τ≤1证明等号。令σₖ为不小于τ的首个Dₖ点，则L^k_\tau=C^k_{\sigma_k}。网格抽样给 E L^k_\tau=E S_{\sigma_k}-E S_0。σₖ↓τ，右连续性与class D给S_{\sigma_k}\to S_\tau于L¹；因为所有凸权重使用k≥n，整个凸组合也满足 E\overline L^n_\tau\to E S_\tau-E S_0=E C_\tau。
而0\le\overline L^n_\tau\le\overline L^n_1，末项在L¹中收敛到C₁。于是停止值族一致可积；截断后用反向Fatou再去截断，得到 E\limsup_n\overline L^n_\tau\ge\limsup_n E\overline L^n_\tau=E C_\tau。结合逐路径上界，可知 \limsup_n\overline L^n_\tau=C_\tau 几乎必然。
现在才把例外集统一起来。对每个正有理q，取T_q=\inf\{t:C_t\ge q\}，未命中时为∞。C递增且右连续，所以\{T_q\le t\}=\{C_t\ge q\}，每个这样的首达都是停止时刻。每个正跳跃都跨过某个有理水平，因此其时刻包含在这可数列首达时刻中。对T_q\wedge1应用前一结论，再删去可数个零集，所有跳跃点也同时成立。0处另由C₀=L̄ⁿ₀=0处理。
C_t=\limsup_{n\to\infty}\overline L^n_t\qquad\text{for every }t\in[0,1]\text{ outside one pathwise null set}.右端是可预测函数，完备性允许在共同零集上统一修改。所以C有可预测的不可分辨版本。这里没有调用一般section或début定理：覆盖跳跃用的是已知递增路径的有理水平首达。跳跃时刻的这一步，才把离散的“前一格已经知道”真正带到了连续时间。
30.13 一条分解定理，为什么需要每个限定
我们已经证明存在性。恢复任意有限K后，结论是：通常条件下，每个càdlàg class D次鞅S，存在唯一不可分辨意义下的分解 S=M+A，其中M为UI鞅，A为起于0、终值可积的可预测càdlàg递增过程。M₀=S₀。这里的UI鞅指其全部有界停止值形成UI族，有限区间上等价于被终值闭合。
S_t=M_t+A_t,\qquad A_0=0,\quad A\text{ predictable and increasing},\quad E A_K=E S_K-E S_0<\infty.唯一性不是“有限变差鞅恒定”这个不带条件的错误命题。若两份分解存在，D=A−A′是可预测有限变差鞅，且期望总变差有限。补证用有界可预测测试函数证明 E∫H dD=0，再取凸函数f(x)=√(1+x²)的导数H=f′(D)。普通有限变差积分的凸不等式迫使E f(Dₜ)≤f(0)，从而Dₜ=0，并由右连续性统一为不可分辨相等。
若删掉可预测性，Poisson过程就有 N=(N−λt)+λt 与 N=0+N 两份“鞅加递增”分解。若删掉A₀=0，还可以在两项之间搬移初始可积变量。定理中的限定分别排除了真实的歧义，而不是形式上的装饰。
30.14 补偿可以跳，但不能偷用刚出现的信息
在确定时刻1揭晓可积非负Y，此前只知道其分布，令Sₜ=Y1{t≥1}。若F₁₋中没有关于Y的额外信息，则补偿为Aₜ=EY·1{t≥1}，剩余项为(Y−EY)1{t≥1}。补偿在1跳跃，却没有使用揭晓后才知道的Y。若Y在1以前已经完全知道，补偿就改为S本身。
一般地，在可以公告的有界正停止时刻T，UI鞅的跳跃满足 E[\Delta M_T\mid\mathcal F_{T-}]=0。公告列从左边逼近，M的停止值UI保证左极限也可在L¹中读取；完整条件证明给出所需生成元检验。因此
\Delta A_T=E[\Delta S_T\mid\mathcal F_{T-}].这不是对所有随机时刻无条件成立的公式。Poisson首次到达T处，\Delta N_T=1而\Delta(\lambda t)_T=0，T恰好不可公告。没有区分时刻类型，就会把一个正确的条件身份写成错误的路径公式。
30.15 同一条到达路径，可以有不同的事前结构
只观察第一次Poisson到达，记T为其时刻，Jₜ=1{T≤t}。规则1{s≤T}左连续且适应，因而可预测。用30.5的恒等式，或先对矩形再作停止，得到Jₜ的补偿为λ(t∧T)。两者终值在有限区间内可积，其差确为鞅；这也由对每段(s,t]的Fₛ条件积分检验直接得到。
J_t-\lambda(t\wedge T)\text{ is a martingale in the natural filtration}.若实验开始以前就把T完整告诉观察者，使用含T的初始信息，T便可以由(T−1/n)⁺公告；J本身可预测，故其补偿就是J，鞅部分为0。这里没有改变T的分布，也没有改变任何一条到达路径；改变的是允许用于事前选择的信息。原来的λ(t∧T)不再是这份扩大信息下的补偿。
于是“不可预测”并非到达时刻脱离观察方式的内在标签，正如第17章的Markov性并非脱离状态选择的绝对无记忆。滤过参与数学结论，却不能因此任意更换而保留旧的鞅身份。
30.16 甚至一份尚未适应的累积，也能寻找事前投影
现在给定一个非负递增、右连续、有左极限的原始过程B，B₀=0，E B_K<\infty。只要求B对环境σ代数与时间联合可测，不要求适应。我们希望找到一条可预测递增路径A，使每个非负可预测规则得到同样的平均累积。这是对偶可预测投影的有限变差基础版本。
E\int_{(0,K]}H_t\,dA_t=E\int_{(0,K]}H_t\,dB_t\qquad(H\ge0,\ H\text{ predictable}).构造不能把Bₜ直接拿来作次鞅，因为它未必适应。先令U_t=E[B_K-B_t\mid\mathcal F_t]。它是非负超鞅，且被 E[B_K\mid\mathcal F_t]控制，所以停止族一致可积；其均值由B的右连续性及控制收敛而右连续。30.6对−U的正则化给càdlàg修改。于是
V_t=E[B_K\mid\mathcal F_t]-U_t是càdlàg class D次鞅，且每个确定t上Vₜ=E[Bₜ|Fₜ]。这里关于U的停止族可先在任意网格上由条件上界控制，取得正则路径后再以从右逼近得到任意停止值，避免对未构造路径预先抽样。V₀=0。对V作已证明的Doob–Meyer分解 V=L+A。
对有界ξ∈Fₛ，鞅项的条件平均消失，而条件期望在两个确定端点都可回代成B。因此矩形身份成立。两侧都是可预测σ代数上的有限正测度，单调类与单调收敛给出所需的全部非负测试身份。
E[\xi(A_t-A_s)]=E[\xi(V_t-V_s)]=E[\xi(B_t-B_s)].若A′也满足身份，取H=ξ1(s,t]便知A−A′是可预测有限变差鞅，30.13的唯一性证明迫使A=A′不可分辨。对期望总变差有限、起于0的有符号原始过程，把路径Jordan正负变差各自投影再相减，得到有符号版本；正负变差的联合可测性由有理分割的总变差上确界和右连续性得到。
这个“投影”不是逐时刻把Bₜ换成条件期望就结束。V只给当前可见的平均水平，A则提取了对全部事前规则都相容的累积测度。两种操作的对象不同，前者在函数值上取条件平均，后者对时间中的质量作对偶识别。
30.17 不断延长观察时间，哪些条件还要保留
若S在每个有限[0,K]上都为class D，可分别分解；唯一性保证较长区间的分解限制到较短区间时一致，故可以拼成半轴上的M与A。M在每个有限区间是UI鞅，不等于整个半轴的所有停止值都一致可积。后一种全局结论还需要额外尾部控制。
局部版本也要给出真实局部化条件：若存在停止时刻ρₙ↑∞，使每个停止过程S^{\rho_n}在每个有限区间满足前述条件，则相应分解可一致拼合，得到局部鞅与局部可积的可预测递增过程。停止可预测càdlàg过程仍可预测，因为A_{t\wedge\rho}=A_t\mathbf1_{\{t\le\rho\}}+A_\rho\mathbf1_{\{\rho<t\}}；第一项是可预测过程之积，第二项左连续且适应。由此可对重叠的停止分解应用唯一性。不能只写“局部化”三个字而不保证这些条件。
30.18 有界的期望，仍会在最后一刻失去质量
class D的要求不能被 supₜE|Sₜ|<∞替换。令tₙ=1−2⁻ⁿ，在这些时刻依次揭晓公平硬币。n次全正面时资本为2ⁿ，第一次反面后资本永久归0；在[tₙ,tₙ₊₁)保持第n次后的资本，记为Wₜ，W₀=1。令W₁=0。几乎每条路径在1以前已经遇到反面，故W有càdlàg路径；永远正面的零集统一修改即可。
在1以前W是鞅，但包括终点1以后不再是鞅。反过来S=−W在[0,1]是次鞅：对s<1，终点的条件平均为0，确实不小于Sₛ。几乎每条路径早已归零，期望的失落不对应一个共同的终点跳跃。它满足E|Sₜ|=1（t<1）、S₁=0，且沿tₙ趋于0几乎必然，却不在L¹收敛。若它有本章所述的UI鞅加终值可积递增过程的分解，两项的停止族都UI，S也必为class D，矛盾。
此例失败的不是某个离散条件平均计算。每个有限网格都能分解，真正失败的是把这些平均原封不动地带到累积时刻1。30.10用停止值控制尾部，正是为了排除这种失效。
30.19 时间的边界成为计算的一部分
回到最初那道到达的竖线。我们如今能够区分：在它出现之前已经可以选择的规则，在它出现之时才可读取的记录，以及即使不能公告却可以具有确定发生率的时刻。可预测性没有消除随机性，而是把“不借用下一次变化”写成了能在极限中保留下来的数学结构。
分解也不只是一种记账。原来我们只有每一小步的条件平均；现在，一致可积性、凸组合和跳跃时刻的识别把这些局部平均合成了一条唯一的可预测累积路径。剩余部分仍然是鞅。若只看已完成的路径，两项可能看似都在事后可知；若要求每个取值遵守信息的先后，分解才真正被确定。
但我们还没有建立沿一般粗糙鞅的积分。对Poisson计数使用的有限变差求和，不能直接移到Brownian运动上。现在已经确定了哪类取值规则能够在变化以前选定；下一项困难才是证明，这些规则乘上越来越细的随机增量，何时能形成稳定的累积。时间顺序已经澄清，路径的粗糙仍需要自己的控制。
来源与数学范围
Meyer关于连续时间分解的原始工作发表于1962、1963年；可预测表述与Doléans-Dade关于自然递增过程的工作相联系。这些年代及文献入口可由作者论文中的文献表核对。本章的网格、尾凸组合与跳跃识别采用现代数学重建，不声称复演当年的发现顺序；证明结构可与Beiglböck、Schachermayer、Veliyev的原作者版本对读，具体推导由本章及配套证明给出。
这里证明了有限区间通常条件下class D càdlàg次鞅的Doob–Meyer分解，以及期望总变差有限的原始càdlàg过程的对偶可预测投影。一般随机测度补偿还要处理标记、σ有限性与局部化，由后续跳跃积分理论承担。任意随机集合的可测投影、section与一般début不由本章的水平首达论证自动得到；本章的分解证明不以这些一般定理为前提。