偶然的数学：概率论的历史、思想与数学结构

归属与证明范围

主要证明归属：第26章

相关工具与应用：第16章 · 第28章

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连续路径、停止时刻、自然滤过、强 Markov 定理及反射变换的保测性。

状态限定于已写材料，不表示本专题已全部证明或通过数学终审。

进阶阅读：首次到达与反射原理

到目前为止，我们已经知道：

B_T\sim N(0,T).

这能够告诉我们时间 T 时粒子在哪里。

但是，如果我们想问：

在时间 T 之前，粒子是否曾经到达某个高度 a>0？

这就完全是另外一个问题。

定义首次到达时间

\tau_a=\inf\{t\ge0:B_t=a\}.

我们真正关心的是

P(\tau_a\le T).

这个事件依赖整条路径，而不仅仅是最终位置 B_T。

例如，粒子可能先到达高度 a，随后又回到原点附近。

如果我们只观察最终位置，就完全无法知道这件事是否发生。

但 Brownian motion 的独特对称性，让我们能够计算这个路径事件。

考虑所有在时间 T 之前达到高度 a，但最终落在 a 以下的路径。

对于每一条这样的路径，我们在它首次达到高度 a 的时刻之后，将后续部分关于水平线 y=a 反射。

利用 Brownian motion 在首次到达时刻之后的强 Markov 性质，以及增量的对称性，这种反射建立了相应路径事件之间的概率对应。

于是得到反射原理（reflection principle）：

\boxed{
P\left(\sup_{0\le t\le T}B_t\ge a\right)
=
2P(B_T\ge a).
}

因为

B_T\sim N(0,T),

所以

P(B_T\ge a)
=
1-\Phi\left(\frac a{\sqrt T}\right),

其中 \Phi 是标准正态分布函数。

因此

\boxed{
P(\tau_a\le T)
=
2\left[
1-\Phi\left(\frac a{\sqrt T}\right)
\right].
}

这个公式非常值得注意。

我们原先通过中心极限定理得到的是某个固定时刻的 Gaussian 分布。

但通过路径对称性，我们又能用它计算首次到达事件的概率。

甚至可以进一步求出首次到达时间的密度：

\boxed{
f_{\tau_a}(t)
=
\frac{a}{\sqrt{2\pi t^3}}
\exp\left(-\frac{a^2}{2t}\right),
\qquad t>0.
}

有趣的是，

P(\tau_a<\infty)=1,

但

\mathbb E[\tau_a]=\infty.

也就是说，粒子几乎必然最终会达到任意固定的正高度，但达到这一高度的期望等待时间却是无穷大。

这再次提醒我们：

几乎必然发生，并不意味着等待时间具有有限期望。

从离散随机游走的首次到达问题，到连续 Brownian motion 的反射原理，概率论开始发展出研究整条随机轨迹的理论。