生成类为什么足以决定整个可测世界？
本篇从第五章的可测集合出发，补足第六章乘积积分、第八章无限实验和第十章概率核所需的集合与函数推广工具。下面的论证只使用集合运算、可数可加性和实数极限，不把待建立的积分交换结论当作前提。
T-MCLASS.1 从矩形或柱集走向所有事件
设 \Omega 是集合。一个集合族 \mathcal P 若对有限交封闭，称为 \pi-系统；允许包含空集。一个集合族 \mathcal D 若包含 \Omega，对补集及可数不交并封闭，称为 \lambda-系统。后一条件比 \sigma-代数弱，因为暂时不能把有重叠的事件任意相并。
先记录一个小事实：若 A\subseteq B 且二者属于 \mathcal D，则 B\setminus A\in\mathcal D。因为 B^c 与 A 不交，先取它们的并再取补集即可。若 A_n\uparrow A，各差集 A_n\setminus A_{n-1} 因而属于 \mathcal D，不交并给出 A\in\mathcal D。
π–λ 定理。 包含一个 \pi-系统 \mathcal P 的任意 \lambda-系统，都包含 \sigma(\mathcal P)。
取所有包含 \mathcal P 的 \lambda-系统之交，记为 \mathcal L。交仍满足三个条件。我们要证明，交运算这个原本缺失的能力，会由 \mathcal P 传给整个 \mathcal L。不妨先把 \Omega 加入 \mathcal P，这不改变生成的 \sigma-代数，也不破坏有限交。
固定 A\in\mathcal P，令 \mathcal L_A=\{B:A\cap B\in\mathcal L\}。它包含全集；对于补集，使用 A\cap B^c=A\setminus(A\cap B) 和刚才的嵌套差集性质；对于不交并，交集仍不交。因此它是 \lambda-系统。它又包含 \mathcal P，故 \mathcal L\subseteq\mathcal L_A。我们得到一边属于 \mathcal P、另一边属于 \mathcal L 时的交闭合性。
再固定 B\in\mathcal L，对 \{A:A\cap B\in\mathcal L\} 重复同一个检验。上一段保证这个 \lambda-系统包含 \mathcal P，所以它包含 \mathcal L。这一次两边都可以属于 \mathcal L。于是 \mathcal L 对有限交、补集及有限并封闭。任意可数并可先改写为逐项去掉前项后的不交并，故 \mathcal L 是 \sigma-代数。它必然包含 \sigma(\mathcal P)，定理得证。
T-MCLASS.2 集合单调类：极限运算怎样补出 σ-代数
称集合族为单调类，如果它对递增可数并与递减可数交封闭。集合单调类定理说：包含代数 \mathcal A 的最小单调类正是 \sigma(\mathcal A)。这里代数包含全集，对补集与有限并封闭；只含一个 \pi-系统还不够，不能把两种定理的假设混用。
设最小单调类为 \mathcal M。类 \{E:E^c\in\mathcal M\} 仍是单调类并包含 \mathcal A，所以 \mathcal M 对补集封闭。固定 A\in\mathcal A，类 \{E:A\cap E\in\mathcal M\} 是包含 \mathcal A 的单调类，故包含 \mathcal M。再固定 E\in\mathcal M，重复这一检验，把另一边也从 \mathcal A 推广到 \mathcal M。因此 \mathcal M 对有限交、补集和有限并封闭。
任意 E_n\in\mathcal M 的有限并递增趋于其可数并，故后者仍属于 \mathcal M。这证明 \mathcal M 是 \sigma-代数，因而包含 \sigma(\mathcal A)。反向包含成立，因为任何 \sigma-代数本身就是单调类。
T-MCLASS.3 函数单调类：从指标到所有有界观察
设 \mathcal H 是有界实函数的向量空间，包含常数1；若 f_n\in\mathcal H 一致有界且逐点非降趋于 f，则 f\in\mathcal H。若它还包含一个 \pi-系统 \mathcal P 的全部指标函数，那么它包含所有有界 \sigma(\mathcal P)-可测实函数。
证明只需把集合论工具装进指标。令 \mathcal D=\{A:\mathbf1_A\in\mathcal H\}。全集和补集由1与向量空间性质处理；不交并的指标是有限部分和的有界递增极限。因此 \mathcal D 是包含 \mathcal P 的 \lambda-系统，π–λ 定理给出全部生成事件。非负有界可测函数由逐点递增的有界简单函数逼近；一般有界实函数加上一个足够大的常数后变成非负函数。每一步都留在 \mathcal H，证明完成。复函数分别处理实部与虚部。
还有常用的代数版本：若 \mathcal H 包含一个有界实函数代数 \mathcal A，其中有1且对乘法封闭，那么它包含全部有界 \sigma(\mathcal A)-可测函数。为免把函数代数的假设悄悄换成指标假设，我们补出这一步。
先证 \mathcal H 对一致极限封闭。若 f_n\in\mathcal H 一致趋于 f，取子列使 \|f_n-f\|_\infty\le4^{-n}，记 d_n=2\cdot4^{-n}、r_n=\sum_{k\ge n}d_k。于是 f_n-r_n 一致有界、逐点非降并趋于 f，因为 \|f_{n+1}-f_n\|_\infty\le d_n。故 f\in\mathcal H。
对区间 [0,1] 上的连续函数 u，Bernstein 多项式 B_nu(x)=\sum_{k=0}^nu(k/n)\binom nk x^k(1-x)^{n-k} 一致逼近 u：若 K 服从参数 (n,x) 的二项分布，则该多项式是 \mathbb Eu(K/n)，而 \operatorname{Var}(K/n)\le1/(4n)。把差分成 |K/n-x|\le\delta 与其补集，用一致连续性和 Chebyshev 不等式，得到下式。
\sup_{0\le x\le1}|B_nu(x)-u(x)|\le\omega_u(\delta)+\frac{2\|u\|_\infty}{4n\delta^2}.先令 n\to\infty，再令 \delta\downarrow0。经仿射换元，同样结论适用于任意紧区间。于是对 f\in\mathcal A 及其值域上的连续 u，多项式逼近给出 u(f)\in\mathcal H。对有限个 f_i\in\mathcal A，各个连续函数的乘积也能由对应多项式的乘积一致逼近；这些乘积属于 \mathcal A，所以极限属于 \mathcal H。
取连续斜坡 u_{i,k}(x)=\min(1,k(x-a_i)_+)。乘积 \prod_i u_{i,k}(f_i) 非降趋于 \mathbf1_{\cap_i\{f_i>a_i\}}，故这些有限交的指标都在 \mathcal H。它们构成生成 \sigma(\mathcal A) 的 \pi-系统；应用已经证明的指标版本即可。这也说明，函数单调类不是把“所有可测函数”当作一个没有说明的极限步骤。
T-MCLASS.4 测度唯一性及其有限性边界
设 \mu,\nu 是同一可测空间上的有限测度，总质量相同，并在生成 \sigma-代数的 \pi-系统 \mathcal P 上相同。则 \mu=\nu。事实上，\mathcal D=\{A:\mu(A)=\nu(A)\} 包含全集；补集等式来自有限总质量相减，不交并等式来自可数可加性。因此 \mathcal D 是 \lambda-系统，应用前面的定理即可。
σ-有限版本需要一份共同的有限覆盖：存在 E_n\in\mathcal P，使 \bigcup_nE_n=\Omega 且 \mu(E_n)=\nu(E_n)<\infty。固定 n，有限测度 A\mapsto\mu(A\cap E_n) 与相应的 \nu 在 \mathcal P 上相同，故在整个生成的 \sigma-代数上相同。令 D_n=E_n\setminus\bigcup_{j<n}E_j；它们可测且不交。分别在 D_n 上相等，再可数求和，得到一般事件上的相等。
缺少有限性时，相同的生成读数未必唯一。实线上计数测度与“每个非空集合都赋值 \infty”的测度，在全部非空有理端点开区间上都取 \infty，却在单点上分别取1与 \infty。把空集加入这族区间便得到生成 Borel 集的 \pi-系统。不能在 \infty-\infty 上重演有限测度的补集证明。
T-MCLASS.5 本书中真正需要的几种用法
实线概率由全部半直线 ( -\infty,q]、q\in\mathbb Q 的概率唯一决定：它们加上全集构成 \pi-系统；任意实阈值可由有理阈值递降逼近，而这些半直线生成 Borel 集。这就是分布函数唯一性的集合论根据。第十一章的连续斜坡先恢复这些概率，再由本结论得到整份分布。
乘积矩形与有限坐标柱集也对有限交封闭。概率测度在所有柱集上一致，就在柱集生成的乘积 \sigma-代数上一致，无论指标集是否可数。这个结论不把任意路径子集自动变成可测事件。若谈 σ-有限乘积测度的唯一性，必须先使用有限测度矩形的共同可数覆盖，不能省掉上一节的定位。
第十章概率核的推广则固定一个状态，检查某性质成立的事件类是否为 \lambda-系统，再从矩形推广。不同状态各自成立的性质，不等于已经处理了不可数多个状态的共同零集；共同零集仍须用可数生成类和版本选择另作论证。
相关基础：积分、零集与DCT；完备化与Borel编码。