偶然的数学：概率论的历史、思想与数学结构

归属与证明范围

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分段阅读所需工具

excursion、伪距离及商空间、实树性质、归一化与函数空间弱收敛。

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进阶阅读：从 Brownian 路径到随机树

现在我们已经从一个非常简单的随机游走中，逐步发展出了：

这些概念看起来已经横跨概率论、泛函分析、偏微分方程和微分几何。

但它们并不是偶然堆积在一起的。

它们都围绕一个核心问题展开：

怎样理解一个在时间中不断产生新随机性的对象？

Brownian motion 提供了这个问题的一个特别精确、特别丰富的数学模型。

更重要的是，它让我们第一次真正学会将一个随机函数视为概率空间中的基本对象。

而这一点具有远远超出 Brownian motion 本身的意义。

我们先提前看一个将来会再次出现的构造。

假设我们有一个非负连续函数

e:[0,1]\to[0,\infty)

满足

e(0)=e(1)=0.

例如，e 可以是一条 Brownian excursion。

我们可以定义

m_e(s,t)
=
\inf_{u\in[s\wedge t,s\vee t]}e(u).

再定义

\boxed{
d_e(s,t)
=
e(s)+e(t)-2m_e(s,t).
}

这个表达式非常值得观察。

它描述了两个时刻对应高度的总和，减去二者之间所经过的最低共同高度的两倍。

如果我们把连续函数的上升和下降解释成一棵树的深度优先遍历，那么这个表达式就具有树上距离的含义。

通过识别满足

d_e(s,t)=0

的时刻，我们能够构造一个商空间。

对于适当的 excursion，这个商空间具有实树（real tree）的结构。

当 e 是合适归一化的 Brownian excursion 时，便与 Brownian CRT 的经典构造联系起来；具体的尺度因子取决于采用的归一化约定。

从连续函数到树形几何的思想示意

概念图：这是示意性的连续 excursion 曲线，并非 Brownian excursion 的真实模拟。

因此，Brownian motion 所带来的，并不只是一个连续随机过程。

它还为从离散组合结构走向连续随机几何提供了重要材料。

我们未来研究 CRT 时，将重新遇到今天的一系列思想：

随机游走、函数空间中的弱收敛、紧性、excursion、商空间以及由随机函数诱导的几何结构。

这是一个我们现在就可以预见的深层统一。