从离散记录到连续路径

把一段运动拍成照片，照片再多，也总有未被拍到的时刻。实验者可以缩短两次曝光的间隔，数学却允许把问题推得更远：假如任意有限组时刻的联合分布都已知，整段运动是不是也就已经确定了？

在每一张照片上，我们看见位置；在多张照片之间，我们看见相关性、独立性和时间间隔留下的规律。第四章中，随机游走的缩放让这些读数逐渐呈现 Gaussian 结构。第八章又说明，相容的有限实验确实能够住进一个共同的概率空间。但“每个时刻都有一个坐标”，与“这些坐标沿时间连成连续曲线”，仍是两件不同的事。一个出现在随机时刻的孤立尖点，可以逃过每一组预先选定的有限次观察。

困难并不在于还少拍了哪一张照片。即使把所有有理时刻列入记录，无理时刻上的值也不会自动服从连续性。我们需要一种能够同时约束越来越细的时间网格的数学关系，使局部振动的失控不能在无穷多个缝隙中积累。连续路径不应由想象中的连线补上，而应由概率估计真正保证。

第三卷让我们学会从局部规则构造随时间展开的记录，也学会警惕这些规则的边界。现在，路径本身将成为需要选择空间、赋予可测结构、比较距离的随机对象。一次曾经越过某个高度、两条曲线在整段时间内彼此接近、连续而又异常粗糙的运动，都不再只是若干坐标的另一个名字。所选的路径空间决定哪些问题能够被准确表达。

这也改变了我们对极限的要求。一列越来越密的随机游走，可能在每个固定时刻都给出正确的近似，却仍在短暂的小区间里剧烈摆动。有限次观测的收敛没有记录这种摆动；要把整条路径送进极限，我们还需要控制观测间隙里发生的事情。

连续运动于是连接了两种不同的数学任务：先让一条合法的随机路径真正存在，再判断一系列路径何时趋近它。只有把两者分开，我们才能知道 Gaussian 快照究竟保证了什么，Brownian motion 的连续性又从哪里来。我们从那个在显微镜下始终运动的微粒继续，但这一次，要证明的已经不只是它在某个时刻在哪里。