《偶然的数学》

第二卷 · 无限世界中的概率

第十四章：不是所有极限都是 Gaussian——三角阵列、稳定分布与无限可分性

一本损失账本可以有两种完全不同的增长方式。记录越来越长，每一笔都很小，最后的偏差像一片连续的噪声；也可能大多数格子始终空白，偶尔出现的一笔却足以改变整页的总数。仅仅知道“加了很多项”，无法判断哪一种情形会留下。

更麻烦的是，实验本身会改变。保险合同的数量、单份合同的风险和损失上限，不必按照同一个比例增长。若仍把所有记录看成同一种随机变量的复制，我们便在开始计算以前，排除了真正要理解的变化。

细小波动能否汇成一条钟形曲线，取决于异常的大项有没有悄悄占走它的尺度。若尾部不肯让步，就应重新寻找尺度，而不是继续要求它服从平方根。

14.1 一页账本，不必复制另一页

把第 n 次实验写成一行有限记录，行长为 r_n：

每一行内部独立，是以下论证的基本条件。不同的行可以在不同概率空间上，也可以彼此相关：本章讨论各行总和的分布极限，不需要把两次实验耦合成逐条路径。三角阵列这个名称强调规模不断增长，不要求每一行恰好有n项。

在有限方差问题中，先令 m_{nk}=\mathbb EZ_{nk}，并选用整行的标准差：

于是 \mathbb EX_{nk}=0，\sum_kv_{nk}=1，其中 v_{nk}=\mathbb EX_{nk}^2。归一化只分配了总预算，没有说明预算由谁承担。允许零方差项；总方差为零的行是确定的，不能用这项标准化。

对于重尾分布，均值和方差可能不存在。届时保留独立的各行，但改用另行指定的空间尺度和确定性中心；不要把当前的方差约定强加给后面的稳定极限。

14.2 每笔都很少出现，不等于每笔方差都很小

在已经选定的尺度上，无穷小性指每个固定阈值都满足

有限方差阵列还有一个不同的条件，称为 Feller 最大方差条件：

Chebyshev 给出前者由后者推出：P(|X_{nk}|>\varepsilon)\le v_{nk}/\varepsilon^2。反向不成立。一行只有一个非零项，令它以概率 1/(2n) 分别取 \pm\sqrt n，其余概率取0。它无穷小、均值0、总方差1，但最大方差始终为1，总和却依概率趋向0。逃到远处的二阶质量在弱极限中消失了。

Feller 条件也不能独自制造 Gaussian。取一行n个独立项，每项以概率 1/(2n) 取±1，否则为0。每项方差 1/n，整行方差1，但

这是一份带对称±1标记、强度为1的复合Poisson分布。第十三章已经构造它。每个格子几乎都空着，整行却留下有限个大小为1的跳跃；“没有某一笔独占方差”仍允许这种情况。

14.3 真正需要消失的，是大项的二阶贡献

若要剩下一片连续的小波动，就不能只数大项发生得是否频繁，还要核算它们带走多少方差。对中心化、总方差为1的阵列，定义

Lindeberg 条件是对每个 \varepsilon>0，L_n(\varepsilon)\to0。阈值以整行标准差为单位，不是原始账本上的固定金额。对未标准化的记录，它写成

它自动推出 Feller，因为 v_{nk}\le\varepsilon^2+L_n(\varepsilon)。先对n取上极限，再令ε趋零即可。它还给出 P(\max_k|X_{nk}|>\varepsilon)\le L_n(\varepsilon)/\varepsilon^2\to0：整行出现一笔可见大项的机会也趋零。这个结论比单项无穷小更强。

Lindeberg 的1922年论文发表于《Mathematische Zeitschrift》15卷211–225页，书目见原刊。下面以本书已建立的特征函数重建证明；这里使用的是现代标准化语言，不把它当作原文逐字复述。

14.4 为什么所有小项只留下同一个二次形状

Lindeberg 中心极限定理。 各行内部独立，\mathbb EX_{nk}=0，\sum_k\mathbb EX_{nk}^2=1。若 Lindeberg 条件成立，则 T_n\Rightarrow N(0,1)。不要求各行之间独立，也不要求存在第三阶矩。

证明要保护一个简单机制：中心化消掉一次项，方差留下二次项，所有高阶余项合起来必须消失。这里不能逐项写一个没有统一控制的o符号，然后直接对越来越长的一行求和。

前一界由积分形式的 Taylor 余项得到；后一界由 |e^{iu}-1-iu|\le u^2/2 再加二次项得到。固定t，按 |X_{nk}|\le\varepsilon 与其补集分开，便有

先令n趋无穷，再令ε趋零，右边趋零。写 z_{nk}=\mathbb Ee^{itX_{nk}}-1，则

对足够大的n，各 |z_{nk}|\le1/2。在1附近用连续的对数支，幂级数给出 |\log(1+z)-z|\le2|z|^2。因此

行内独立把乘积变成总和的特征函数，第十一章实线Lévy连续性定理完成证明。钟形的普适性在这里有精确含义：各项分布不必相同，只要大项不再占据二阶预算，整行便只记住一个二次形状。

14.5 反过来，钟形能告诉我们什么

必要性必须连同条件一起陈述。在上述中心化与总方差1约定下，若 Feller 条件成立，则 T_n\Rightarrow N(0,1) 当且仅当 Lindeberg 条件成立。若拿掉 Feller，单独一项本来就是标准Gaussian、其余为0，整行始终Gaussian，但 Lindeberg 条件不成立。

现在证明有条件的反向。Feller与上节对z的界仍给出对数余项之和趋零。若总和趋于标准Gaussian，其特征函数的模趋于严格正的Gaussian读数，所以

固定一个非零t。总方差1又给出

括号非负。并且对任意ε>0，存在 c_{t,\varepsilon}>0，使在 |x|>\varepsilon 上该括号至少为 c_{t,\varepsilon}x^2。理由是函数 1/2-(1-\cos u)/u^2 在每个非零u处严格正，在无穷远趋向1/2，故在 |u|\ge|t|\varepsilon 上有正下界。严格性来自 1-\cos u<u^2/2 对非零u成立。

于是每个固定阈值以上的二阶贡献都趋零，Lindeberg成立。充分性是“消灭大项以后只剩二次项”；必要性是“Gaussian已经用完全部方差预算，不能再有一份可见的大项预算藏在别处”。Feller排除的是一个本来就Gaussian的整块，不应被误当成消灭跳跃的条件。

14.6 较强的矩条件，是一条方便的路而不是边界

若某个 \delta>0 满足 Lyapunov 条件

则 L_n(\varepsilon)\le\varepsilon^{-\delta}\sum_k\mathbb E|X_{nk}|^{2+\delta}\to0。这便完整证明Lyapunov推出CLT。对原始变量，分母是 s_n^{2+\delta}。较强矩条件让验证容易，却不是必要条件。

例如取一个中心对称变量，其在 |x|\ge e 上的密度与 |x|^{-3}(\log|x|)^{-2} 成正比，再用有限区间上的对称密度补足总质量。它有正有限方差，却没有任何 2+\delta 阶矩。i.i.d.标准化行仍满足 Lindeberg，因为尾部二阶积分趋零。它们不能满足上述任何Lyapunov条件。

至此，有限方差的逻辑已经闭合。但对随机运动，单个时刻的钟形仍不够。我们需要同时记录几个位置、几个误差或几个损失类别，而各坐标分别正常，不等于联合结构正常。

14.7 几张边缘照片，拼不出共同的世界

令 G\sim N(0,1)，\epsilon 为独立对称符号。向量 (G,G)、(G,\epsilon G) 和两个独立标准Gaussian，都有相同的一维边缘。第一个支撑在对角线，第二个支撑在两条对角线上，第三个却有二维密度。

对 X\in\mathbb R^d，改为沿每一个方向读数：

有界性、连续性、独立向量相加时变成乘积，都由DCT或独立性直接证明，和实线相同。但多元唯一性不能靠一句“逐坐标使用一维定理”得到；刚才的例子已经说明那样会漏掉什么。

14.8 同一层 Gaussian 薄雾，照出整份联合分布

令G为独立的d维标准Gaussian，\varepsilon>0。由一维Gaussian Fourier公式逐坐标相乘，X+\varepsilon G 有密度

这不是对任意密度强行反演。先把Gaussian核写成其绝对可积的Fourier积分，再对X积分；Gaussian因子可积，Fubini保证交换合法。若两份联合分布的特征函数相同，所有平滑后的密度便相同。

对任意有界连续f，在独立乘积空间上有 f(X+\varepsilon G)\to f(X) 几乎必然；DCT使期望也收敛。令ε趋零，两份分布对所有有界连续f的积分相同。用连续下降斜坡逼近闭下矩形指标，再用 π–λ唯一性，便得到两份Borel概率相同。这证明了多元特征函数唯一性，包括支撑在低维平面上的分布。

14.9 有限维的紧性，怎样从小格子里构造出来

要从逐点读数恢复一个极限，还必须证明概率没有逃走。对 \mathbb R^d 上的一族概率，一致紧性指：每个η>0都有一个紧集K，使所有成员在K之外的概率小于η。有限维中可取 K=[-M,M]^d；坐标尾界与并集界足够。

我们现在实际证明：一致紧的序列有弱收敛子列。不借后面一般度量空间的紧性定理。先在紧立方体上处理，再把实空间压进去。

把 [0,1]^d 按各坐标的二进分点分成有限小格子；取半开约定并把最右端点包含在最后一格。各层相容，每层格径趋零。逐次抽子列，再作对角抽取，使每一层每个格子的概率都收敛。极限格子质量非负、总和1，且父格质量等于子格质量之和。

由第八章已证明的有限状态一致扩张，构造一条随机嵌套格子地址；不相容的相邻层具有概率0，可数并后，地址几乎必然层层相容。闭包嵌套且格径趋零，交集恰有一点。每层选定一个格子代表点，代表点是有限值可测函数，坐标极限给出可测的交点。于是得到一份真正的立方体概率ν。交点可能落在格边，这并不造成证明缺口。

对连续f，以每个格子的代表值近似它。原概率的积分与对应有限加权和之差，由f在该格径上的一致振幅控制；ν的积分与极限质量加权和也受同一控制，因为交点在格子闭包中。先固定层、令子列指标趋无穷，再细化分格，就得到所有连续f的积分收敛。这也说明我们不必声称ν对每一个半开格子的概率都等于抽取值：边界归属可能改变，但连续观察的极限没有改变。

对 \mathbb R^d，逐坐标使用 q(x)=1/2+\arctan(x)/\pi，把概率送进开立方体，再在闭立方体中抽取。原来的一致紧性保证极限不给边界质量：给定η，选共同的大立方体，其像K在开立方体内部；取连续函数在边界为1、在K为0、介于0和1之间，其极限积分至多η。故边界质量至多η，令η趋零即为0。

最后用逆映射拉回。对任意有界连续f，先在共同的内部紧集上使用逆映射，再乘一个连续截断，使其在边界附近为0。紧集外的误差由两份尾部质量控制；先扩大紧集，再令误差趋零。这便证明了实空间上的弱子列存在。所用工具只有有限分格、对角抽取、八章扩张和连续截断。

14.10 把所有方向的极限拼成一份概率

多元Lévy连续性。 若 \phi_n(t)\to\phi(t) 对每个 t\in\mathbb R^d 成立，\phi(0)=1，且φ在0连续，那么存在唯一的Borel概率μ具有该特征函数，且原概率弱收敛于μ。

证明先只看坐标轴。实线连续性定理使每个坐标分布收敛，因而各坐标族一致紧；收敛序列的有限个开头另行扩大窗口即可。并集界给出整个向量的一致紧性。上一节提供子列极限，测试有界连续指数函数，知它的特征函数必为φ；多元唯一性使所有子列答案相同。若整列某个有界连续测试不收敛，抽出与该答案保持固定距离的子列，再抽弱收敛子列，就矛盾。这完成证明。

Cramér–Wold判别。 对已经给定的随机向量X，X_n\Rightarrow X 当且仅当对每个 u\in\mathbb R^d，\langle u,X_n\rangle\Rightarrow\langle u,X\rangle。正向用连续复合测试；反向在投影特征函数的频率1处读数，就得到φ的逐点收敛，应用刚才的定理。

即使最初没有指定X，若同一列向量的所有线性投影都已收敛到有限实分布，坐标紧性仍先给出向量子列极限；所有子列极限有相同投影，因而有相同特征函数，整列便收敛。这不表示可以任意指定一批互不相容的投影分布：它们之所以相容，是因为来自同一列向量。

Cramér与Wold于1936年发表《Some Theorems on Distribution Functions》，原刊为《Journal of the London Mathematical Society》11卷290–294页，见出版社记录。本书用Gaussian平滑与有限格子抽取给出所需现代版本，不声称复现原文的证明路线。

14.11 共同波动如何成为一个 Gaussian 向量

给定对称半正定矩阵Σ，取有限维线性代数中的平方根A，使 AA^\mathsf T=\Sigma。独立标准Gaussian坐标组成G，定义 N_d(0,\Sigma) 为AG的分布。其特征函数为

Σ可以退化，定义与选择哪一个平方根无关，因为变换唯一性已经建立。零方差方向上的投影是确定的0；不能为使用一个密度公式而排除这种情形。

若 V_1,V_2,\ldots 为i.i.d.向量，\mathbb E\|V_1\|^2<\infty，均值m、协方差Σ，则

对每个u，其投影方差是 u^\mathsf T\Sigma u。为正时用十一章的实线CLT，为零时该中心化投影几乎必然为0；Cramér–Wold完成向量证明。

更一般地，对行内独立、中心化的向量阵列，若

对固定非零u，|\langle u,x\rangle|\le\|u\|\|x\| 把投影Lindeberg尾界控制在向量尾界内。若投影总方差趋于正数，将它标准化后用14.4；若趋于0，用Chebyshev。每个方向都得到正确Gaussian投影，再用Cramér–Wold，得到行和趋向 N_d(0,\Sigma)。全部假设均在这里明确给出，不把有限维分布收敛误当整条路径收敛。

14.12 当大项不肯消失，就重新寻找尺子

一笔罕见损失若始终与总和同量级，Lindeberg失败并非一个等待修补的技术小洞。它可能说明Gaussian模型没有保留真正的结构。Cauchy已经提醒我们，独立求和的尺度可以是n而不是√n；现在需要越过单个例子，研究尾部如何选择尺度。

记 F(x)=P(|Z|>x)。如果在大尺度上 F(x) 近似 x^{-\alpha}\ell(x)，那么n次实验中至少一笔超过a的机会，由 nF(a) 的量级决定。让这份预算既不消失也不爆炸，便应选择 nF(a_n)\to1。这是一条由极端记录决定的尺度，而非先假设一个存在的方差。

下一步既要定义这种尾部规律，也要证明它足以控制靠近零的许多小项。只比较最大值的数量级，还不能证明总和的极限。

14.13 慢变不是常数，却不改变幂次

正函数ℓ在无穷远慢变，指每个固定c>0有 \ell(cx)/\ell(x)\to1。本章只对可测函数使用此词，并主要通过单调尾函数工作。若 F(cx)/F(x)\to c^{-\alpha}，称F正则变化、指数为−α；此时 \ell(x)=x^\alpha F(x) 慢变。(\log x)^\gamma 是非平凡例子。

下面只需两个可直接证明的尺度界。设 0<\gamma<\alpha<\beta<2。当x足够大时，由F在2倍尺度的比值极限，有

反复使用并在相邻二进区间内用单调性夹住，可得某个固定C：当a和au均超过固定起点时，F(au)/F(a)\le Cu^{-\gamma} 对u≥1成立，F(au)/F(a)\le Cu^{-\beta} 对0<u≤1成立。这里没有把点态慢变擅自升级成任意区间上的一致结论；二进迭代已经提供所需控制。 例如0<u≤1时，选m使 2^{-m-1}<u\le2^{-m}，再把F(au)压在下一个二进点的尾概率之下；每步至多乘 2^\beta，得到同一个与a、u无关的常数C。u≥1的论证相同，使用指数γ。

同样由 F(2x)\ge2^{-\beta}F(x) 最终成立，得到 x^2F(x)\to\infty。沿二进点，乘子至少为 2^{2-\beta}>1；点与点之间再用单调性。这将保证 n/a_n^2\to0。

这样的a_n确实存在。对尾部最终为正的正则变化F，取广义反函数 a_n=\inf\{x\ge x_0:F(x)\le1/n\}。它趋于无穷。F的跳跃相对自身趋于零：对0<η<1，F(x-)\le F((1-\eta)x)，故当x趋于无穷时，上极限 F(x-)/F(x)\le(1-\eta)^{-\alpha}，再令η趋零。结合分位点两侧夹逼，得到 nF(a_n)\to1。 这里F右连续、最终严格为正，且a_n最终大于x₀；广义反函数满足 F(a_n)\le1/n\le F(a_n-)。后两者的比趋于1，因此夹逼没有要求尾函数连续或严格递减。

尺度的幂次也可精确识别。由单调反函数夹逼，固定c>0时 a_{\lfloor cn\rfloor}/a_n\to c^{1/\alpha}：对任意夹住 c^{1/\alpha} 的两个正数u、v，nF(a_nu)与nF(a_nv)分别最终位于1/c的两侧，故分位点落在a_nu与a_nv之间。于是 a_n=n^{1/\alpha}\ell_1(n)，其中序列ℓ₁按固定倍数取整的意义慢变。

14.14 先把大跳构造出来，再让门槛降到零

非退化实分布称为稳定分布，若独立同分布副本U、V对每个a,b>0满足 aU+bV\overset d=cZ+d，其中c>0、d为确定常数，Z有原分布；d总能取0时称严格稳定。这个定义是独立求和的形状不变性，不是时间过程的定义。

我们实际构造一个超出Cauchy的完整参数族。取 0<\alpha<2，常数 c_+,c_-\ge0 且和为正，令

先不引用任何一般表示定理。小x处减去一次项，剩余被常数乘x²控制；大x处指标项消失，剩余有界。两端分别因α<2与α>0可积。对有界t区间采用同一可积控制，得到Ψ连续且Ψ(0)=0。

这里先把复合Poisson构造扩大到任意实Borel标记概率Q。由第八章的乘积空间，取i.i.d.标记J₁、J₂……以及独立的N，N为参数λ的Poisson变量。N几乎必然有限，因此随机有限和按N的可数分组是可测实变量。按N分组积分，绝对值不超过1，得到

λ=0时和为0。这直接扩展了十三章可数标记的计算，没有要求Q有密度或矩，也没有使用一般Poisson随机测度。

固定 0<\eta<1，截去 |x|\le\eta。剩余强度 \lambda_\eta=\nu(|x|>\eta) 有限。用第十三章独立标记构造强度λ_η、标记分布 \nu(\cdot\cap\{|x|>\eta\})/\lambda_\eta 的复合Poisson和，再减去确定量 \int_{\eta<|x|\le1}x\nu(dx)。其特征函数恰为截断指数 e^{\Psi_\eta(t)}。

令η趋零，可积控制使指数趋于Ψ；实线Lévy连续性定理证明e^Ψ确是一份概率的特征函数，并给出截断分布的弱收敛。这里构造的是一个实随机变量的分布，不是预先假定所有小跳之和已经路径收敛。

对任意非零t，指数实部为 \operatorname{Re}\Psi(t)=-(c_++c_-)I_\alpha|t|^\alpha<0，其中有限正常数I_α将在下一节写出。因此特征函数的模严格小于1，所构造分布非退化。

14.15 稳定的幂次与不能忽略的平移

令 \Delta=c_+-c_-。对上节积分换元y=ax，仔细保留截断指标，得到

差额只来自y在1与a之间的线性项：D_\alpha(a)=-\Delta a^\alpha\int_1^a y^{-\alpha}\,dy，a<1时积分按定向理解。这给出完整计算，也解释为什么α=1需要对数。

因此若U、V具有e^Ψ的分布，取 c=(a^\alpha+b^\alpha)^{1/\alpha}，就有

这实际证明了稳定性，不是从名称猜测。对称时Δ=0，得到严格稳定；α≠1时把Z平移Δ/(1−α)，也可消去所有D项。α=1且不对称时，一般不能靠固定平移消掉对数差额。一般稳定定义里的平移不是多余配件。

对称族的实部特别透明。令 I_\alpha=\int_0^\infty(1-\cos y)y^{-1-\alpha}\,dy\in(0,\infty)，则

同一个积分在零点与无穷远的可积性已经证明。α=1包含对称Cauchy型，α在0与2之间连续变化，产生整族非Gaussian尺度。α=2另由Gaussian给出，尺度为√n；不能把α=2直接代进刚才发散的小跳积分。

也不能继续写 e^{-C|t|^\alpha} 并把α取大于2。若它是一份概率的特征函数，Fatou作用于 (1-\cos(tZ))/t^2 给出 \mathbb EZ^2/2\le\liminf_{t\to0}(1-e^{-C|t|^\alpha})/t^2=0，只能是退化变量，矛盾。α≤0又破坏原点连续性。这个参数范围受到概率本身的约束。

14.16 从尾部的比例，真正走到总和的极限

下面证明一项具有明确范围的稳定吸引域定理。设Z为实随机变量，F(x)=P(|Z|>x) 正则变化、指数 -\alpha，0<\alpha<2，并且

取§14.13构造的 a_n 使 nF(a_n)\to1，令Z₁、Z₂……为i.i.d.副本。则

其中 Z_\alpha 是14.14构造的分布，参数 c_+=\alpha p_+、c_-=\alpha p_-。这个中心对所有α都合法，因为积分经过截断；不假设不存在的均值，尤其不在α=1处漏掉对数中心。

证明先在远离零的地方记录跳跃预算，再控制零点附近。定义μ_n为n倍的Z/a_n分布。对x>0，正负两侧的尾概率分别趋于p₊x^−α与p₋x^−α。这说明每个不含零的有限区间的μ_n质量趋于ν质量：先作尾部之差，端点原子因极限尾函数连续而消失。再用有限分格逼近，得到远离零的紧支撑连续函数积分收敛。

零点附近用14.13的二进界。取 \alpha<\beta<2，对0<δ<1，层蛋糕公式给出

具体地，截断二阶矩至多 2\int_0^\delta u\,nF(a_nu)\,du。当a_nu超过固定起点时，积分由常数乘 \int_0^\delta u^{1-\beta}du 控制；更小的区间贡献至多常数乘 n/a_n^2\to0。无穷远则有 \limsup_n nF(Ra_n)\le CR^{-\gamma}，其中0<γ<α。 在 u<x_0/a_n 上只用F≤1，贡献至多 nx_0^2/a_n^2；在其余区间用二进界和有界的nF(a_n)。先固定δ、R取n的上极限，常数均不随δ、R改变，再令δ趋零、R趋无穷。

固定t，令 g_t(y)=e^{ity}-1-ity\mathbf1_{\{|y|\le1\}}。小y处它至多为常数乘y²，大y处有界；在±1处的跳跃不碍事，因为ν没有原子，围住这些点的小区间质量可以压到零。先切去零点与无穷远，使用上面的积分收敛，再利用两端预算。截去两端的误差，上极限至多为 C_t(\delta^{2-\beta}+\delta^{2-\alpha}+R^{-\gamma}+R^{-\alpha})，其中两项分别来自μ_n与ν的零点附近，另两项来自远尾。对固定δ、R，先把±1的小邻域缩到零，利用极限尾函数连续而无原子；再令δ趋零、R趋无穷，便严格得到

还须检查对数余项。写 b_n=\mathbb E[(Z/a_n)\mathbf1_{\{|Z|\le a_n\}}]。对固定δ把截断均值分为 |Z|\le\delta a_n 与其余部分。第一部分的平方乘n，由刚才的小项二阶界控制；第二部分绝对值至多F(δa_n)，其平方乘n趋零。更明确地，nb_n^2\le2n\mathbb E[(Z/a_n)^2\mathbf1_{\{|Z|\le\delta a_n\}}]+2nF(\delta a_n)^2。固定δ时，nF(δa_n)趋于有限值，所以后一项趋零；先令n趋无穷，再令δ趋零。于是

设 z_n=\mathbb Ee^{itZ/a_n}-1=itb_n+\mathbb Eg_t(Z/a_n)。于是 n|z_n|^2\to0，由同一对数余项估计，

独立性与连续性定理完成吸引域证明。小项控制、远尾控制、线性中心和对数误差都已交代，不能只从尾概率趋于一个幂次就跳到稳定极限。

14.17 一个可计算的重尾模型，以及结论的边界

取R≥1，P(R>x)=x^{-\alpha} 对x≥1成立；再用独立符号决定正负，正号概率p₊、负号概率p₋。令Z为带符号的R。此时可取 a_n=n^{1/\alpha}，左右尾平衡恰为p₊、p₋，上一节全部条件逐项成立。对称时B_n=0，得到每个0<α<2的严格稳定吸引例子，而非只剩α=1的Cauchy。

对这个模型，当α≠1且a_n>1时，直接积分给出 B_n=n\Delta_p\alpha(a_n^{1-\alpha}-1)/((1-\alpha)a_n)，其中 \Delta_p=p_+-p_-；α=1时 B_n=\Delta_p\log n。若α>1，也可以改减n倍真实均值，但极限的位置参数会相应改变；没有声明中心约定的“标准稳定分布”容易把两份正确公式误判成矛盾。

本章证明的是正则变化且左右尾比例收敛时的充分吸引域结论，以及相应的全部α、偏斜和位置构造。我们没有在此证明“所有稳定分布必定具有该表示”的穷尽分类，也没有证明吸引域条件的全部必要性。α=2的无限方差Gaussian吸引域需要慢变截断方差工具，不能由上面α<2的估计顺手宣告完成；有限方差Gaussian范围已在十一章与本章建立。完整表示和一般阵列判别留给第二十七章的统一理论。

范围需要说清，但已经获得的变化也不能被低估。√n与n不是两个偶然算例，而是n^(1/α)这一族尺度中的两处；尾部的幂次决定可见跳跃在放大后留下多少，而中心化决定它们累积的方向。

14.18 能分成任意多份，究竟是一种什么性质

Gaussian、Poisson和刚才构造的稳定分布，虽然形状不同，却都能被分得任意细。这里“分”不是在同一个结果上做算术除法，而是寻找独立的小实验，使它们重新相加后恢复原分布。

实Borel概率μ称为无限可分，若每个整数m≥1都存在概率ν_m，使 \mu=\nu_m^{*m}。同一m下的m项须独立同分布；不同m的根不要求预先处在同一概率空间。

N(b,\sigma^2) 的m次卷积根是 N(b/m,\sigma^2/m)。强度λ、标记Q的复合Poisson，根只需把强度改为λ/m；再加确定漂移b时，把漂移也除以m。14.14的截断近似同样具有根，但要把这个性质传给弱极限，仍需证明闭性。

普通Bernoulli(p)，0<p<1，却连二等分都做不到。若U+V∈{0,1}几乎必然，U、V独立同分布，U不能有无限本质上下界，否则独立地限制V在某个有正概率的有界区间，便使和越界。设U的本质下、上确界为a、b，独立性使和的本质下、上确界为2a、2b。因此a=0、b=1/2。若U在(0,1/2)有正概率，和以正概率处在(0,1)，矛盾；故U只取端点。非退化时两端都有正概率，U+V=1/2又有正概率，仍矛盾。

一次Bernoulli不是无限可分，它的稀有独立累积却趋向Poisson。极限出现了每一笔原始记录没有的分解性。这正是必须解释的事情。

14.19 为什么弱极限仍然能被任意等分

先补上一个容易被名字遮住的环节：无限可分分布的弱极限仍无限可分。卷积根可能在移动，不能只写“对每个m取根，再取极限”，因为根的紧性尚未建立。

实变量Y总有一个中位数a，使 P(Y\le a)\ge1/2、P(Y\ge a)\ge1/2。取独立同分布副本Y′，独立性给出

例如Y>a+R且Y′≤a时，两者之差大于R；另一侧同理。这两类事件在差值的正负两侧互斥，合并便得上式。因此差值族紧，就能把原变量用中位数平移为紧族。

设 \mu_n\Rightarrow\mu，各μ_n无限可分。固定m，取根ν_n，特征函数为ψ_n，令Y_n有该分布。对称差的特征函数满足

右边在0连续且为1，实线连续性定理使差值族紧。中位数平移后的ν_n因而紧，m个这种根的独立和也紧。另一方面，这个和再加m倍中位数，就有紧的μ_n分布。两个紧族之间的确定平移必须有界：各自以大于1/2的概率落在共同有界窗口中，两事件有正概率交集，平移不能超过两个窗口直径之和。

故原根ν_n也紧。抽出弱极限ν，对特征函数取极限便有ψ_ν^m=φ_μ，多元工具中的一维唯一性给出ν的m次卷积为μ。m任意，闭性得证。根只需对每个m分别抽取，不必强行使用同一子列。

这立即证明14.14的稳定构造无限可分，因为每个截断复合Poisson加漂移都无限可分。事实上，任何按14.14定义的稳定分布都无限可分：重复二项稳定关系，m个副本之和具有c_mZ+d_m的分布，把每个副本除以c_m并减去d_m/(mc_m)，便得到m次卷积根。这里使用稳定性本身，不使用任何一般指数表示。

14.20 无穷小独立阵列，为什么不能留下不可分的整块

现在允许没有均值、没有方差。设实阵列 Z_{nk} 各行独立且无穷小，存在确定中心c_n，使 \sum_kZ_{nk}-c_n\Rightarrow\mu。我们将完整证明：μ必无限可分。证明不是把一行机械切成m段；不同位置可能承担完全不同的风险，等长段不一定同分布。

所需机制是把整行换成一份足够接近的复合Poisson账本。替换以前，必须先找到一项有限预算，保证所有小误差加起来仍然小。这个预算来自总和的紧性，而不是臆造一个有限方差。

记每项特征函数为φ_nk，未中心化行和的为Φ_n。应当对中心化行和使用紧性，其特征函数为 \widetilde\Phi_n(t)=e^{-itc_n}\Phi_n(t)。弱收敛使中心化行和一致紧，故它的读数在0附近一致接近1：在共同的有界窗口内用 |e^{itx}-1|\le|tx|，窗口外用2。由于确定平移只改变相位，可选δ∈(0,1)，使充分大的n及所有|t|≤δ有 |\Phi_n(t)|\ge1/2。这里没有断言未中心化总和本身一致紧。

取独立副本Z′_nk，令D_nk=Z_nk−Z′_nk。由独立乘积与 1-u\le-\log u，

把t在[−δ,δ]平均，左边成为 \sum_k\mathbb E[1-\operatorname{sinc}(\delta D_{nk})]，约定sinc(0)=1。存在绝对常数c>0，使 1-\operatorname{sinc}u\ge c\min(u^2,1)：零点附近用Taylor，远处用连续性与 |\operatorname{sinc}u|\le1/|u|，中间紧环上严格正。又因δ≤1，\min(\delta^2x^2,1)\ge\delta^2\min(x^2,1)，所以所需预算至多为 \log4/(c\delta^2)。δ在这里已经固定，因此

取每项的中位数m_nk，令Y_nk=Z_nk−m_nk。和14.19的事件论证相同，条件在固定Z_nk的两侧，得到 \mathbb E\min(Y_{nk}^2,1)\le2\mathbb E\min(D_{nk}^2,1)。写该左边为v_nk，就有

第二个结论使用无穷小性：对每个ε>0，充分大的n使各项在[−ε,ε]内的概率大于1/2，故所有中位数都在该区间内；中心化后的Y仍无穷小。再用 \mathbb E\min(Y^2,1)\le\varepsilon^2+P(|Y|>\varepsilon)，即得最大值趋零。v在这里是截断二阶预算，不是方差。

14.21 让每笔记录随机出现零次、一次或几次

继续上节，令 b_{nk}=\mathbb E\sin Y_{nk}，W_{nk}=Y_{nk}-b_{nk}。这项中心总存在。对固定t有

第一界在|y|≤1处将e的线性项减掉，再用|y−sin y|至多为常数乘y²；在外面各项有界。第二界由Cauchy–Schwarz和sin²y≤min(y²,1)得到。因而写θ_nk(t)=E exp(itW_nk)，将 exp(−itb)乘进去后，线性项相消，得到

这一次已经有了可以相加的误差。1附近的对数估计使乘积与指数近似：

严格地说，令 A_n(t)=\sum_k(\theta_{nk}(t)-1)，以及 R_n(t)=\sum_k[\log\theta_{nk}(t)-(\theta_{nk}(t)-1)]。固定t时，各θ最终都落在1附近同一个对数支内，且 |R_n(t)|\le2\sum_k|\theta_{nk}(t)-1|^2\to0。由于 \operatorname{Re}A_n(t)\le0，两指数之差至多为 |R_n(t)|e^{|R_n(t)|}，不会被一个任意大的实指数放大。漂移相位的绝对值为1，也不改变这一结论；这里只需要每个固定频率的收敛。

令 d_n=\sum_k(m_{nk}+b_{nk})-c_n。构造一个强度r_n的复合Poisson和，标记分布为各W_nk分布的平均，再加漂移d_n。其特征函数是

空行按确定漂移处理。对非空行，上面的估计说明Q_n与原来中心化行和的读数之差逐点趋零。所以Q_n趋于μ的特征函数，连续性定理使这些真正构造出的复合Poisson加漂移分布弱收敛于μ。每个近似无限可分，14.19闭性最终证明μ无限可分。

这个替换没有宣称总变差距离趋零，也没有把原行的固定项数偷偷改成一个相同的随机实验。我们证明的是两份读数的差在每个固定频率消失，因此共享同一个弱极限。大跳可以保留，小项可以累积成Gaussian；无法保留的，是一块不可再分的、由某个单项占据的随机整体。