Haobai Wang · 公开阅读版 · ch15-zh-b34eeca7a839
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第十五章：一场永远公平的游戏，最终会怎样？
一个人把一元钱押在公平硬币上。正面时，本钱翻倍；反面时，本钱归零，游戏结束。只要钱还在桌上，他便继续押下去。
这场游戏没有抽水，也没有暗中改变的赔率。无论此前连胜了多少次，下一局的平均本钱总等于眼前的本钱。然而，几乎每一位坚持玩下去的人，最终都会失去这一元钱。
这里没有算术错误。有限时刻的公平与一条路径的最终结局，原本就不是同一件事。我们需要找到它们之间真正成立的联系。
15.1 一直公平，却几乎注定归零
用第八章构造的无限公平硬币空间，让第n次结果记为ξ_n，正面为1、反面为0，并令
M_0=1,\qquad M_n=2^n\prod_{j=1}^n\xi_j,\qquad
\mathcal F_n=\sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n).信息也随着游戏增长。知道前n次结果以后，本钱M_n已经确定；下一次硬币仍与这些信息独立。因此
\mathbb E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]
=2M_n\mathbb E[\xi_{n+1}\mid\mathcal F_n]=M_n.特别地，每一个有限n都有期望等于1。可是，前n局全部是正面的概率只有2^{-n}。这些事件递减，故永远不遇见反面的概率为0。几乎每一条记录都有第一次反面，而那以后本钱一直为0。所以
M_n\longrightarrow0\quad\text{a.s.},\qquad
\mathbb E M_n=1\not\longrightarrow0.第六章的尖峰在时间中重新出现了。承载期望的机会越来越小，本钱却在那些机会中越来越大。现在的困难又比单独的一列函数多了一层：这些尖峰并非随意排列，它们每一步都服从同一个条件公平关系。
这个关系究竟限制了多少？它显然不能保证最终保住期望，但也不会允许路径毫无限制地来回摆动。要看见后一种约束，必须先把“公平”写在正确的信息上。
15.2 公平必须相对于已经看见的东西
固定概率空间上的递增σ-代数列\mathcal F_0\subseteq\mathcal F_1\subseteq\cdots，称为滤过。它描述截至各时刻已经拥有的信息，不预先假定其中含有未来。
实随机变量列X_n若每项都可积且\mathcal F_n-可测，并满足
\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=X_n,便是相对于这个滤过的鞅。把等号换成≥，得到次鞅；换成≤，得到上鞅。本章只研究离散时间，所有这些关系均指几乎必然成立。时间指标可数，因此可以删去一个共同零集，使所需的逐时关系同时成立。
次鞅的命名不应误导人：它的条件平均允许向上增加；上鞅则允许向下减少。鞅同时属于两类。迭代第九章的塔式法则，对于m≤n便有
\mathbb E[X_n\mid\mathcal F_m]\ge X_m这一项次鞅关系；鞅和上鞅分别取等号、反向不等号。证明是从n向m逐次取条件期望，使用其单调性；不需要关于随机观察时刻的任何结论。
同一列数值换一个滤过，公平性可能消失。在简单对称随机游走中，若提前把第一步结果放入时刻0的信息，第一步便不再具有条件平均0。滤过不是定义旁边可有可无的装饰，它指出玩家究竟能用什么作决定。
第九章的条件Jensen还给出一条实用的桥梁：若M是鞅，则|M_n|是非负次鞅；若p≥1且各项p次矩有限，则|M_n|^p也是次鞅。若X是次鞅，则(X_n-a)^+也是次鞅，因为正部函数既凸又递增。我们稍后会把这些变换用于同一条路径，而不再只看某个固定时刻的分布。
15.3 偶尔赢很多，最多能有多大机会
设Y是非负次鞅，只观察有限的0至N时刻。令
Y_N^*=\max_{0\le k\le N}Y_k.若玩家曾经跨过高度λ，他第一次跨过它时，手中的信息已经足以辨认这件事。我们暂时不把第一次越界包装成一个新定理，只把所有记录分开记账。
对λ>0，令A_k表示前面各时刻都小于λ，而Y_k≥λ。于是A_k\in\mathcal F_k，这些事件互不相交，并且它们的并正是\{Y_N^*\ge\lambda\}。多步次鞅关系给出
\mathbb E[Y_N\mathbf1_{A_k}]
=\mathbb E[\mathbb E(Y_N\mid\mathcal F_k)\mathbf1_{A_k}]
\ge\mathbb E[Y_k\mathbf1_{A_k}]
\ge\lambda P(A_k).把这些有限项相加，得到Doob最大不等式的精细形式：
\lambda P(Y_N^*\ge\lambda)
\le\mathbb E[Y_N\mathbf1_{\{Y_N^*\ge\lambda\}}]
\le\mathbb E Y_N.终点并不记录路径的每一次起伏，但条件平均把终点重新接到了每一个越界事件上。这正是估计整条路径所需要的额外结构。对于鞅M，把Y换成|M|，便有
P\!\left(\max_{k\le N}|M_k|\ge\lambda\right)
\le\frac{\mathbb E|M_N|}{\lambda}.非负上鞅也有另一种方向的最大估计：P(\max_{k\le N}X_k\ge\lambda)\le\mathbb E X_0/\lambda。它不能通过把“上鞅”三个字直接代入刚才的次鞅证明来获得。可以采用下面的有限增量证明。
越界之前保留本钱，越界之后把它冻结。令H_k为时刻0至k−1都尚未越界的指示函数；它是\mathcal F_{k-1}-可测，且只取0或1。定义
W_N=X_0+\sum_{k=1}^NH_k(X_k-X_{k-1}).逐条路径看，若已经越界，W_N等于第一次越界的本钱；否则W_N=X_N。故W_N非负，而且在越界事件上至少为λ。另一方面，每一项增量的期望都≤0，因为H_k非负且在下注之前已经确定。所以\lambda P(\max_{k\le N}X_k\ge\lambda)\le\mathbb E W_N\le\mathbb E X_0。这仍是有限求和与条件平均，没有借用下一章的可选抽样定理。
在开篇的翻倍游戏中，达到2^j的机会恰为2^{-j}，只要N≥j。上面的弱型估计在这些高度上正好取等。稀有的大赢家确实存在，而不等式说清了它们的机会必须付出怎样的代价。
15.4 看住最高点，还看不住反复折返
一个有界数列完全可能不收敛：它可以在两个数之间永远跳动。因此，控制路径的最大高度还不够。真正需要计算的是：一条路径能在两个固定高度之间往返多少次。
给定a<b，从首次不高于a的位置开始等待，直到首次不低于b，就记一次完整上穿；再从随后不高于a的位置开始，重复这一规则。记截至时刻N完成的次数为U_N(a,b)。若从未等到合适的买点，上穿次数为0；尚未到达b的最后一段也不算完成。
这个定义可以等价地写成一套逐时策略。空仓时，若当前值≤a，就买入一单位；持有时，若当前值≥b，就卖出。在第k次价格变化之前，是否持有已经由前k−1步决定。因而持有指标H_k是\mathcal F_{k-1}-可测的0–1变量。
将它用于上鞅X，有限增量总收益为
G_N=\sum_{k=1}^NH_k(X_k-X_{k-1}),\qquad \mathbb E G_N\le0.最后一个不等式只用上鞅关系。把X看成任何具有这种条件平均性质的记录即可；这里的买卖是数学账本，不是额外假定市场可以套利。
每次完成上穿至少赚b−a。若最后还有未卖出的头寸，它在某个≤a的价格买入，当前损失至多(X_N-a)^-。所以逐条路径都有
G_N\ge(b-a)U_N(a,b)-(X_N-a)^-.取期望便得到上鞅的上穿不等式：
(b-a)\mathbb E U_N(a,b)\le\mathbb E(X_N-a)^-.这里x^-=\max(-x,0)。它出现在右边，不是为了使公式对称，而是因为唯一没有结清的那次买入可能暂时亏损。若忽略这笔浮动损失，路径不等式便不成立。
对于次鞅，收益的平均方向相反，不能仍写\mathbb E G_N\le0。不过，另一套“恰好在H_k=0时持有”的有限账本平均收益非负，因此
\mathbb E G_N\le\mathbb E(X_N-X_0).将它代回相同的路径不等式，得到同样有效的次鞅版本：
(b-a)\mathbb E U_N(a,b)
\le\mathbb E(X_N-a)^+-\mathbb E(X_0-a).各项都可积，不存在未定义的无穷量相减。这两个版本的共同机制，是把无穷次振荡所需的利润，与一个有限的平均账本相比较。
15.5 反复穿越的账单，迫使路径选择一个极限
现在设X是非负上鞅。因为(X_N-a)^-\le a^+，上穿估计与单调收敛给出
\mathbb E U_\infty(a,b)\le\frac{a^+}{b-a}<\infty.因此，对每一对有理数a<b，无穷上穿的概率为0。有理数对只有可数多个，故可以同时排除这些例外。若某条剩余路径的下极限严格小于上极限——允许它们最初取扩展实数值——总能在两者之间插入一对有限有理数。这条路径便必须上穿该区间无穷多次，产生矛盾。
于是X_n有一个扩展实数极限X_∞。非负性排除了−∞；上鞅的期望又满足\mathbb E X_n\le\mathbb E X_0。Fatou引理说明
\mathbb E X_\infty\le\liminf_n\mathbb E X_n
\le\mathbb E X_0<\infty.因此+∞也只能发生在零集上。我们真正证明了：**每个非负离散上鞅都几乎必然收敛到一个有限可积随机变量。**既不要求各增量独立，也不要求存在统一的二阶矩。
有时本钱允许为负，合适的预算便是正部的平均。设X为次鞅，而且
C=\sup_n\mathbb E X_n^+<\infty.次鞅版本的上穿右边至多为C+|a|+|\mathbb E(X_0-a)|，故相同的有理区间论证排除振荡。还要排除收敛到无穷，而不是停在这里。由\mathbb E X_n\ge\mathbb E X_0，
\mathbb E X_n^-\le C-\mathbb E X_0,\qquad
\sup_n\mathbb E|X_n|\le2C-\mathbb E X_0<\infty.对绝对值使用Fatou，极限同样有限且可积。这就得到正部L¹有界的次鞅收敛定理。特别地，L¹有界鞅必几乎必然收敛。
正部预算并不能完全省去。简单对称随机游走S_n本身是鞅，却不几乎必然收敛到有限极限。因为每一步增量的绝对值恒为1，而任何收敛实数列的相邻差都必须趋于0。这个反例已经足够否定“只要公平就会收敛”，不必先证明随机游走的全部常返理论。
15.6 路径已经安定，期望仍然可能离开
回到开篇的游戏。它是非负鞅，因而当然属于刚刚建立的收敛定理。但定理只说，路径最终会选择一个有限值；它没有说，无穷多个时刻的平均能穿过这个极限。
更精确地，对于任意固定K，当2^n>K时，
\mathbb E[M_n\mathbf1_{\{M_n>K\}}]=1.所以这一族本钱并不一致可积。第七章的Vitali判别已经指出，几乎必然收敛再加一致可积，才可以把它提升为L¹收敛；这里缺失的恰好是防止平均质量逃向越来越高尾部的条件。
最高本钱的平均还揭示了另一个边界。若第一次反面出现在第j局，j≤N，此前最高本钱为2^{j−1}，该事件概率为2^{-j}；若前N局全胜，最高本钱为2^N，概率为2^{-N}。因此
\mathbb E\max_{0\le k\le N}M_k
=\sum_{j=1}^N2^{j-1}2^{-j}+2^N2^{-N}
=1+\frac N2.虽然终点的平均始终为1，整条路径最高点的平均却没有共同上界。因而不能把弱型最大不等式中的尾概率估计，随意加强成\mathbb E\max_{k\le N}|M_k|\le C\mathbb E|M_N|，其中C独立于鞅和N。
这并非说最大值再无可积控制。它说明L¹处在真正的边界：要估计整个最高点的平均大小，必须带入比一阶平均更多的尾部信息；要让有限时刻的公平延伸到终点，也必须知道这些本钱来自怎样的一份可积的最终账本。
路径收敛、平均收敛与信息的逐步揭示，由此成为彼此相关而不能混同的三个问题。
15.7 失去的不是某次下注，而是尾部的平均质量
非负性使这笔损失能够被精确计算。设非负鞅M_n几乎必然趋于M_∞，并记c=E M_0。上穿定理与Fatou已经保证M_∞可积，且E M_∞≤c。由于min(M_n,M_∞)趋于M_∞，并受可积的M_∞控制，第六章的控制收敛给出
\mathbb E|M_n-M_\infty|
=c+\mathbb E M_\infty-2\mathbb E\min(M_n,M_\infty)
\longrightarrow c-\mathbb E M_\infty.所以，对非负鞅，期望没有损失与L¹收敛恰好等价。开篇游戏的极限亏掉的那一个单位，正是L¹距离最后剩下的一个单位。这不是概率质量消失了：每一时刻的概率总量仍为1；失去的是不能随极限一起保留下来的平均本钱。
要处理允许正负的鞅，单靠期望的数值便不够，因为正尾和负尾能够抵消。第七章引入的一致可积性在这里给出了准确的条件：一族可积变量Z_i一致可积，是指
\lim_{K\to\infty}\sup_i\mathbb E[|Z_i|\mathbf1_{\{|Z_i|>K\}}]=0.它先保证统一的一阶预算：把|Z_i|分成≤K与>K两部分，即得sup_i E|Z_i|<∞。更重要的是，它控制了预算可以躲藏的地方，不允许它全部逃进越来越高、越来越罕见的尾部。
于是，一致可积鞅先由15.5获得几乎必然极限，再由第七章的Vitali判别获得L¹收敛。我们仍需要明白，这种尾部条件为什么会与“不断更新同一份最终判断”相联系。
15.8 每一次估价，都来自同一份最终账本
设Z∈L¹，令M_n=E[Z|F_n]。塔式法则使M成为鞅。这种鞅称为由Z闭合的鞅：每次估价看见的信息不同，被估价的那份可积终值却是同一个。
闭合为什么能阻止平均逃走？设A_n={|M_n|>K}，将Z在K/2处截断。条件绝对值不等式给出
|M_n|\le K/2+\mathbb E[|Z|\mathbf1_{\{|Z|>K/2\}}\mid\mathcal F_n].在A_n上，K/2<|M_n|/2。因此把该项移到左边，再积分，便得到
\mathbb E[|M_n|\mathbf1_{A_n}]
\le2\mathbb E[|Z|\mathbf1_{\{|Z|>K/2\}}].右边与n无关，并随K趋∞而趋0。因此所有条件平均都一致可积；这个证明甚至不要求所用的σ-代数彼此递增。后来研究递减信息时，我们还会用到同一笔尾部预算。
反过来，若一个鞅一致可积，15.7给出M_n→M_∞几乎必然且在L¹中成立。固定n与A∈F_n，对k≥n，由多步公平关系有E[M_k1_A]=E[M_n1_A]。令k趋∞，L¹收敛允许在这个有限事件积分中取极限，于是
\mathbb E[M_\infty\mathbf1_A]=\mathbb E[M_n\mathbf1_A],
\qquad M_n=\mathbb E[M_\infty\mid\mathcal F_n].这就证明了：**鞅一致可积，当且仅当它可由某个可积随机变量闭合；也当且仅当它在L¹中收敛。**最后一个方向也有完整依据：若先知道L¹收敛到Z，上面同样的事件积分论证给出M_n=E[Z|F_n]，随后用刚才的尾部估计得到一致可积。
一致可积次鞅也由15.5和Vitali得到几乎必然与L¹极限；不过固定A∈F_n在多步次鞅的事件积分中取极限，只能得到X_n\le\mathbb E[X_\infty\mid\mathcal F_n]。例如确定性的X_n=1-2^{-n}有向上的漂移，极限为1，并不等于每一步的当前值。因此上述闭合等价定理明确限于鞅。
闭合并不说玩家现在已经知道终值。它只说，所有尚未完成的估价能够由同一份可积账本解释。开篇的翻倍游戏不可能这样闭合：若可以，其L¹极限既必须是0，又必须保留期望1，产生矛盾。
15.9 当全部信息逐渐到齐
这里还有一个容易误说的地方。若M_n=E[Z|F_n]，极限未必就是Z；这些观察可能始终没有看见Z的全部内容。应当令
\mathcal F_\infty=\sigma\!\left(\bigcup_n\mathcal F_n\right).15.8保证M_n有几乎必然及L¹极限V。将极限存在且有限之外的值置0，可以选取F_∞-可测的V。对并集中的每个事件A，先找到包含它的F_m，再令n≥m趋∞，得到E[V1_A]=E[Z1_A]。
这些等式足以覆盖全部F_∞。递增σ-代数之并是代数，特别是π类；使E[(V−Z)1_A]=0的事件形成λ类：全集、补集与可数不交并的封闭性分别来自总积分为0和可积性。用第五章配套的π–λ定理，等式扩展到整个F_∞。因此
\mathbb E[Z\mid\mathcal F_n]\longrightarrow
\mathbb E[Z\mid\mathcal F_\infty]
\quad\text{a.s. and in }L^1.这通常称为条件期望的向上收敛定理，或Lévy向上定理。这里证明的是递增信息下的精确版本；若Z本身已有F_∞-可测版本，右边才简化为Z。一个永远不被任何观察揭示的独立变量，其条件平均会一直等于无条件平均。
第九章的L²投影图景也由此获得时间方向。越来越大的信息子空间给出越来越精细的预测，但最终预测属于它们生成的信息，而不是凭空获得世界上所有的信息。
15.10 最高点的大小，需要比一阶平均更多的工具
15.6已经证明，不能用一个与N无关的常数，把最高本钱的L¹范数压在终点的L¹范数之下。若控制的是p次矩，p>1，尾部就必须付出更高的代价，局面会改变。
在第一次使用这些工具之前，T-LP补证已完整证明一般Hölder、Minkowski和全部1≤p≤∞的完备性，并说明概率空间上简单函数稠密、条件平均收缩和所需的范数对偶。这里不把第九章的L²完备性误当成一般Lᵖ完备性。
设Y是非负次鞅，Y_N∈L^p，1<p<∞，仍记Z=Y_N^*。将15.3的精细尾界在λ从0到R积分。所有被积函数都非负，Tonelli允许交换次序；截断R使我们无需预先假设Z有p次矩：
\mathbb E(Z\wedge R)^p
=\int_0^R p\lambda^{p-1}P(Z>\lambda)\,d\lambda
\le\frac p{p-1}\mathbb E[Y_N(Z\wedge R)^{p-1}].现在才使用Hölder，配对指数p与q=p/(p−1)。由于Z∧R有界，所得范数有限，可以安全地约去非零的p−1次范数；若范数为0则结论直接成立。于是
\|Z\wedge R\|_p\le\frac p{p-1}\|Y_N\|_p.令R趋∞并用单调收敛，得到Doob的Lᵖ最大不等式：
\left\|\max_{k\le N}Y_k\right\|_p
\le\frac p{p-1}\|Y_N\|_p,\qquad1<p<\infty.在端点p=∞，多步次鞅关系给出Y_k≤E[Y_N|F_k]≤‖Y_N‖_∞，所以最大值的L∞范数仍不超过终点的L∞范数，常数为1。后面会看到，这个最大估计本身不保证L∞范数收敛。
对鞅取Y=|M|即可。证明中的截断不是技术装饰：若先写一个可能为∞的E Z^p，再直接约去它的幂，便不能据此证明它有限。常数在p下降到1时发散，也与开篇游戏揭示的一阶边界一致。
15.11 从一个共同矩预算，到整个尾程安定
设M为鞅，1<p<∞，且C=\sup_n\|M_n\|_p<\infty。Hölder先给出L¹有界，15.5因而给出几乎必然有限极限M_∞。对每个N使用最大不等式，再令N趋∞，得到
M^*=\sup_{n\ge0}|M_n|\in L^p,
\qquad\|M^*\|_p\le\frac p{p-1}C.特别地|M_\infty|\le M^*。现在|M_n-M_\infty|^p\le2^p(M^*)^p，可积控制真正建立以后，DCT才允许我们断言M_n→M_∞在L^p中成立。15.8又给出M_n=\mathbb E[M_\infty\mid\mathcal F_n]。因此p次矩预算既控制最高点，也控制通向终值的平均误差。
甚至整个后续路程相对于当前判断的偏差也受到控制。对k≥n，把M_k−M_n看作以n为起点的鞅，对有限终点N应用最大不等式，再用已经证明的L^p收敛及单调收敛，得到
\left\|\sup_{k\ge n}|M_k-M_n|\right\|_p
\le\frac p{p-1}\|M_\infty-M_n\|_p\longrightarrow0.这里并没有引入连续时间的路径正则化。我们控制的仍是可数个离散时刻，而可数上确界的可测性已经具备。
端点∞不能照抄这个范数收敛结论。令U在[0,1]均匀，F_n为二进区间分割生成的σ-代数，Z=\mathbf1_{\{U<1/3\}}，M_n=E[Z|F_n]。这些本钱始终在0与1之间，且F_∞生成Borel信息，所以M_n→Z几乎必然并在每个有限L^p中成立。然而，总有一个正长度的二进区间跨过1/3；在该区间上，M_n为某个0<r<1的常数，而Z在两个正测度部分分别取0、1。因此
\|M_n-Z\|_\infty\ge\max(r,1-r)\ge1/2.本性有界并不保证L∞范数收敛。反过来，一致可积也不凭空制造高阶矩：对p>1取Z=U^{-1/p}（U=0处置0），它可积而不在L^p中；常值鞅M_n=Z一致可积，却根本不是一个L^p中的收敛问题。每个条件都应承担自己的职责。
15.12 当观察不是增加，而是逐渐被遗忘
有些问题要求我们把早期的细节一点点删去。例如，只保留越来越遥远的记录，或者在对称问题中忘掉越来越多的标签。此时出现的是递减σ-代数
\mathcal G_0\supseteq\mathcal G_1\supseteq\cdots,
\qquad Y_n=\mathbb E[Z\mid\mathcal G_n],\quad Z\in L^1.塔式法则变成\mathbb E[Y_n\mid\mathcal G_{n+1}]=Y_{n+1}。这叫反向鞅关系。它没有把时间倒转成一个物理过程，而是说明我们正在往更粗的信息投影。15.8的尾部估计已经保证这整族Y_n一致可积。
更一般的定义只要求Y_n适应递减的G_n、每项可积，并满足同一反向条件平均关系。逐次使用塔式法则便有Y_n=E[Y_0|G_n]，所以采用条件平均形式并没有限制反向鞅的一般性。
但一致可积本身不能迫使一列随机变量收敛。我们还必须证明，递减信息下的这些投影不能永远振荡。直接把它叫作普通鞅会用错滤过方向；真正可用的是每个有限观察窗口的倒序。
15.13 有限窗口可以倒放，无限极限需要另证
固定N，把W_j=Y_{N-j}，\mathcal H_j=\mathcal G_{N-j}，0≤j≤N。H_j随j增加，而塔式法则给出\mathbb E[W_{j+1}\mid\mathcal H_j]=W_j。这确实是一个有限时段的鞅，可以应用已经证明的上穿不等式。
令D_N(a,b)为Y从不低于b到不高于a的完整下穿次数。把一条有限记录中位于(a,b)内部的点暂时略去，再把相继位于同一侧的点压成一段，剩下的是低、高两侧的交替记录。由此可见，上穿和下穿的次数相差至多1；倒放记录把下穿变为上穿。这也说明15.4的贪心计数实现了最多可完成的穿越次数，不会因过早完成一次而损失后面的机会。
于是，对倒放的鞅使用15.4的上鞅版本，终点为Y_0，便有
\mathbb E U_N^Y(a,b)
\le\mathbb E D_N^Y(a,b)+1
=\mathbb E U_N^W(a,b)+1
\le\frac{\mathbb E(Y_0-a)^-}{b-a}+1
\le\frac{\mathbb E|Z|+|a|}{b-a}+1.右边与N无关。逐对有理数区间应用单调收敛，再用15.5相同的路径论证，就排除了无穷振荡；而sup_n E|Y_n|≤E|Z|与Fatou排除了无穷极限。因此Y_n几乎必然收敛到某个可积V。已有的一致可积性再通过Vitali给出L¹收敛。
还要找对它属于哪份信息。令\mathcal G_\infty=\bigcap_n\mathcal G_n。可以把V取为limsup Y_n在有限值处的值，其余置0。对于任意固定m，计算这个limsup只需n≥m的尾部，而这些Y_n全都G_m可测。于是同一个版本V同时对每个G_m可测，故对真正的交G_∞可测；不需要暗中假设所有σ-代数都完备。
对A∈G_∞，所有n都有E[Y_n1_A]=E[Z1_A]。在L¹中取极限，得到E[V1_A]=E[Z1_A]，从而完整证明反向条件期望极限定理：
\mathbb E[Z\mid\mathcal G_n]\longrightarrow
\mathbb E[Z\mid\mathcal G_\infty]
\quad\text{a.s. and in }L^1.这个证明没有先假设投影极限存在，也没有用尚未建立的可选抽样；有限倒序只是取得统一上穿预算的工具，无限结论仍由可数穿越与尾部控制建立。
15.14 最后留下的信息，不是最初拥有的信息
若Z∈L^p，1≤p<∞，反向结论也在L^p中成立。证明可以绕开对高阶尾部的一次新猜测：先将Z截成有界Z^{(K)}。对应的条件平均与极限都被K控制，几乎必然收敛配合DCT给出L^p收敛。再由T-LP的条件平均收缩及Minkowski，
\limsup_{n\to\infty}
\|\mathbb E[Z\mid\mathcal G_n]-\mathbb E[Z\mid\mathcal G_\infty]\|_p
\le2\|Z-Z^{(K)}\|_p\longrightarrow0.向上与向下两个定理的形式相近，信息的终点却不同：一个取生成并集的σ-代数，一个取交。把它们都草率写成“趋于Z”，会抹去问题的真正内容。
例如，第十二章独立序列的尾部σ-代数，可以由\mathcal G_n=\sigma(\xi_n,\xi_{n+1},\ldots)递减得到。Kolmogorov 0–1律已在不借鞅理论的情况下建立；它说明这个交中的事件概率只有0或1。因此对任意可积Z，E[Z|G_∞]=E Z几乎必然，反向平均最终只剩一个常数。这里不要求Z与每个G_n独立，结论来自最后剩下的信息本身已经平凡。
这不是对连续时间正则化的证明。不可数时刻的版本选择、右连续性与Doob–Meyer分解还需要各自的假设与论证；离散的可数极限不能替代那些工作。
15.15 公平增量可以相关，却仍然互相正交
第十二章处理随机级数时，独立性帮助我们把方差相加。现在可以看见，比独立性更贴近那一步计算的，是相对于过去的条件平均为0。
设D_n对F_n可测，D_n∈L²，且\mathbb E[D_n\mid\mathcal F_{n-1}]=0。这样的列称为鞅差。令S_n=\sum_{k=1}^nD_k，则S是鞅。对i<j，D_i已对\mathcal F_{j-1}可测，故
\mathbb E[D_iD_j]=0,\qquad
\mathbb E S_n^2=\sum_{k=1}^n\mathbb E D_k^2.第一步对无界D_i同样有依据：先截断D_i，将有界的过去因子提出条件平均；再用Cauchy–Schwarz控制截断误差，令截断高度趋∞。因此这里没有在可积乘积上偷用仅对有界因子证明过的公式。
若Σ_n E D_n²<∞，S_n统一L²有界，15.11便给出几乎必然及L²收敛。第十二章独立中心级数的平方矩充分条件成为它的一个特例；新增的内容在于，增量可以依赖过去改变幅度，只要条件公平仍在，正交的方差预算就仍然能够工作。
15.16 信息之间何时可以交换平均
滤过中信息彼此包含，塔式法则已经给出投影次序。但两份不相包含的观察，并不能随意交换条件平均。需要的额外结构是条件独立，而不是又一次省略信息的名称。
对于σ-代数A、B与G，称A与B在G下条件独立，若对所有有界A-可测U和有界B-可测V，
\mathbb E[UV\mid\mathcal G]
=\mathbb E[U\mid\mathcal G]\mathbb E[V\mid\mathcal G].只检查两类事件的指示函数已经足够：先线性推广到简单函数，再对两个变量分别作有界单调类推广。T-MCLASS已经给出这一步所需的函数单调类工具。一个完全等价、也更适合信息流的表述是：对所有有界A-可测U，
\mathbb E[U\mid\mathcal G\vee\mathcal B]=\mathbb E[U\mid\mathcal G].证明并不依赖条件密度。由乘积分解，对C∈G、B∈B，U与E[U|G]在C∩B上的积分相同；这些交形成生成G∨B的π类，由π–λ推广便得到条件平均的定义。反向则先把V提出G∨B上的条件平均，再取G上的条件平均，立即恢复乘积式。
由这个等价式可严格读出三条常用规则：忘掉B中的一部分仍然独立；若A与B∨C在G下独立，则A与B在G∨C下独立，因为两边关于U的条件平均都等于E[U|G]；若A与B在G下独立，而A与C在G∨B下独立，则
\mathbb E[U\mid\mathcal G\vee\mathcal B\vee\mathcal C]
=\mathbb E[U\mid\mathcal G\vee\mathcal B]
=\mathbb E[U\mid\mathcal G],从而A与B∨C在G下独立。这里分别是分解、弱并与收缩规则；它们的理由都是明确的条件平均恒等式，不是把普通独立的直觉直接搬过来。
若再有G⊂A∩B，截断与L¹收缩将上述等价式推广到可积的A-可测变量，于是对任意X∈L¹，
\mathbb E[\mathbb E[X\mid\mathcal A]\mid\mathcal B]
=\mathbb E[X\mid\mathcal G]
=\mathbb E[\mathbb E[X\mid\mathcal B]\mid\mathcal A].最后一个对称等式还使用条件独立的对称性。没有独立或包含关系时，不得默认条件投影如此交换。也不能无条件增加“交规则”：若A=B=C为同一非平凡硬币σ-代数，则给定C以后A与B条件独立，给定B以后A与C条件独立；然而A显然不与B∨C无条件独立。某些更强的条件独立演算需要额外的正性假设。
15.17 一份后验判断，最终能不能认识真相
第二章通过重复实验推断未知机会，第九章把后验判断放进条件平均。现在我们终于可以分开两个原先容易混淆的结论：后验估价能够安定，并不自动意味着它识别了真实参数。
例如，在第十章的核与顺序实验空间上，先按任意先验π选θ∈[0,1]，再给定θ产生独立Bernoulli(θ)观测ξ_n。对固定Borel集合B，令Z=\mathbf1_{\{\theta\in B\}}，\mathcal F_n=\sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n)。后验概率M_n=E[Z|F_n]是有界闭鞅，故
M_n\longrightarrow\mathbb E[\mathbf1_{\{\theta\in B\}}\mid\mathcal F_\infty]
\quad\text{a.s. and in every finite }L^p.在这个模型中，右边确实等于\mathbf1_{\{\theta\in B\}}，但必须另证。对每个固定θ，第十二章强大数律使样本频率几乎必然趋于θ；把这个可测事件的条件概率对π积分，得到联合空间上同样成立。将不收敛路径上的频率极限置0，便得到一个F_∞-可测的θ估计，它几乎必然等于θ。因此Z具有F_∞-可测版本，15.9的极限才真正等于Z。这里的零集按固定B理解；若要同时陈述一族集合，应先限定可数类，而不能直接对不可数多个例外集取并。这是联合先验模型下的几乎必然结论，不能自动升级为针对每个外部固定真参数的后验一致性。
若观测完全独立于θ，则每次后验仍为π(B)。它一样是有界、收敛、没有丢失期望的公平判断，却不会从没有信息的记录里识别真相。概率论在这里保护了一种分寸：收敛理论能保证估价怎样稳定，识别问题还取决于观察本身能够揭示什么。
第十五章结语：公平是一条逐时的约束
那一元钱最终归零的游戏，没有推翻公平。它使我们看见，有限时刻的平均关系、整条路径的安定与终点的平均本钱，需要不同的条件来连接。
上穿的账本解释了为什么无限振荡不能免费发生；尾部预算解释了为什么一个已经稳定的结果仍可能失去平均质量。当这些估价来自同一个可积终值时，公平才沿着L¹极限保留下来。信息无论增加还是减少，最后的判断都属于真正留下的那份σ-代数。
在最大估计的有限账本里，我们已经试过越界就冻结。那时，观察仍在预先确定的第N步结束。若玩家可以不断等待，根据已经看到的记录选择离开的时刻，而这个时刻不再有共同的有限上界，原来的平均关系又需要什么条件才能保留？公平的边界于是从“怎样取极限”，移向“什么时候停止”。
史料与证明范围
Ville的1939年著作把赌博策略用于考察随机性；Doob在与Snell的访谈中回忆，评阅该书时，其中最大不等式及Bernoulli强律的论证给了他启发。Ville原著档案与Doob本人访谈分别提供原书和当事人的回忆。这里不把现代滤过语言、全部上穿论证或本章的统一证明追溯成某一位作者当年已经写出的同一版本；本章的翻倍账本、截断证明与叙事衔接均为现代数学重建。
本章已证明的范围是离散时间：最大估计、上穿、几乎必然与L¹/L^p收敛、闭鞅、递增和递减信息的条件期望极限，以及所列条件独立规则。连续时间通用正则化、Doob–Meyer及随机积分不包含在这些结论中。T-LP给出本章使用的一般积分范数工具，第七章、第九章和第十二章分别提供Vitali、条件平均和独立序列的前置结果。