连续版本与 Wiener measure
主要归属：第23章
- 已完成证明或计算（限定范围） 第八章已建立坐标概率的扩张；这不等于连续路径构造。
- 证明概要／有条件推导 现有材料给出由一致 Gaussian 有限维分布到连续版本的路线，调用了扩张与连续修正工具。
- 已完成证明或计算（限定范围） 第23.6–23.12节已有连续修改、C/C_loc值可测性及Wiener存在唯一的完整书面证明；数学持续核验，非终审。
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专题阅读与数学证明
正式章节是主要阅读路线。这里的专题与证明服务于对应章节，现有工作材料不构成另一套平行教材。
Donsker 与路径紧性
主要归属：第25章
- 已完成证明或计算（限定范围） 线性插值和原有四阶矩计算已写出，适用范围须按各段假设理解。
- 证明概要／有条件推导 有限维识别及路径紧性仍依赖外部工具，现有材料不是自足的函数型CLT。
- 已完成证明或计算（限定范围） 第25章与T-FCLT已写成一般有限二阶矩Donsker、经验桥与有限方差更新版本的完整证明；数学持续核验，非终审。
半群、生成元与热方程
主要归属：第28章
- 已完成证明或计算（限定范围） Brownian/Gaussian 核与热方程的专用计算已保留。
- 数学直觉 由随机路径联系确定性演化的机制说明，不能替代一般算子理论。
- 已完成证明或计算（限定范围） 第二十八章及三份配套证明已写出正压缩生成理论、边界域和保守局部紧Polish的Feller路径与强Markov；作者待阅、人工数学终审开放。PDE深化仍归第三十八章。
路径粗糙性、平方变差与 Itô 动机
主要归属：第31章
- 已完成证明或计算（限定范围） 固定 T、沿二进网格的平方变差计算已有书面证明，须先有 Brownian motion。
- 数学直觉 固定时刻差商的尺度说明不可导的动机，不是几乎必然处处不可导的完整证明。
- 待完成的定理 第二十六章处理路径正则性；第三十一章建一般变差与积分，第三十二章证明 Itô 公式。
- 已完成证明或计算（限定范围） 第26章另有处处不可微的统一网格全证及确定二进平方和；这不完成第31章的一般括号/随机积分。
- 已完成证明或计算（限定范围） 第31章与T-ITO-BRACKET已写成连续局部鞅积分、括号与ucp平方和的完整工作证明；作者待审、人工终审开放，旧模块原文保留。
首次到达与反射原理
主要归属：第26章
- 已完成证明或计算（限定范围） 第26章已写成Brownian专用强Markov、可测保测反射与最大/首次命中完整证明；旧专题原文完整保留。
- 待完成的定理 人类独立数学终审待完成；一般Feller强Markov仍归28。
路径编码、实树与 Brownian CRT
主要归属：第54章 （尚未写成）
- 数学直觉 excursion、伪距离和分支图示提供几何直觉；商空间的树结构仍需证明。
- 证明概要／有条件推导 现有编码说明尚未构成完整的实树、CRT或条件树极限定理。
- 待完成的定理 第三十七章建立游程，五十二至五十三章处理离散编码/条件极限，五十四章主证实树与CRT，五十五章给空间收敛。
基础与补充证明
编排与资料
延伸阅读与证明路线
第四章从随机游走辨认出了连续随机运动应有的结构。要把这种结构建立为严格的概率模型，可以沿着“构造过程”和“证明路径极限”两条相互联系的路线继续阅读。下面各入口分别围绕一个数学问题展开。
怎样从有限维分布得到连续随机运动？
一致的联合分布、测度扩张与连续修正，连接了有限个坐标和整条随机路径。进入连续函数空间后，Wiener measure 才使路径集合成为概率论能够研究的对象。
随机游走的整条路径为什么会收敛？
线性插值把离散路径放进连续函数空间。有限维极限还需要配合对小时间间隔内振荡的控制；路径紧性正是在回答这个问题。
随机运动怎样联系确定性的演化方程？
从位置分布的演化出发，Markov 半群与生成元把随机运动和偏微分方程联系起来。
连续路径为什么需要新的微积分？
增量的平方根尺度使二阶累积效应不能被忽略。路径正则性、平方变差与随机积分，将进一步说明 Itô 公式中额外项的来源。
怎样计算“曾经到达”的概率？
停止时刻与强 Markov 性让首次到达后的路径仍能被研究，反射原理则把路径事件联系到 Gaussian 分布。
一条随机函数怎样成为一棵树？
excursion 的高度变化可以编码分支与距离。通过伪距离、商空间和实树，我们将从随机路径进一步走向连续随机几何。