T-STIELTJES：从局部质量预算选出一个测度

第十九章需要的不是一般随机测度拓扑，而是实线上的一个专用选择结论。设正Borel测度 \mu_n 对每个紧区间具有统一有限质量界。则存在子列与局部有限正Borel测度 \mu，使每个连续紧支撑函数 g 满足 \int g\,d\mu_n\to\int g\,d\mu。本页完整建立所用结论，不把Helly或Stieltjes当作黑箱。

用一个单调函数保存区间质量

令 F_n(x)=\mu_n((0,x]) 对 x\ge0，而 F_n(x)=-\mu_n((x,0]) 对 x<0。这些函数非降、右连续，且在每个紧区间一致有界。对有理数逐个抽取子列并对角化，得到 F_n(q)\to f(q) 对全部有理 q 同时成立。定义

它有限、非降且右连续。右连续性可直接验证：给定ε，选一个 q>x 使 f(q)<F(x)+\varepsilon；当 y\downarrow x 且 y<q 时，上界仍成立。若 F 在 x 连续，用两侧有理数夹住 F_n(x)，得到 F_n(x)\to F(x)。单调函数在每个紧区间至多可数个跳跃：大小超过 1/m 的跳跃只有有限多个，再对整数区间与 m 取并。

不靠表示定理，直接造出Stieltjes测度

记扩展端值 a=F(-\infty)、b=F(\infty)。在实数层轴 (a,b) 上使用Lebesgue长度，对 u\in(a,b) 定义 Q(u)=\inf\{x:F(x)\ge u\}。端值定义保证这个下确界为有限实数；右连续性使下确界处达到相应水平。并且

因此 Q 可测。把层轴长度推前，定义 \mu(B)=\operatorname{Leb}\{u\in(a,b):Q(u)\in B\}。推前定义与非负可数可加性直接给出Borel测度，而且

端值可能无穷，却不影响每个有限区间的这条等式。若 a=b，就取零测度。由于 F 局部有限，所得测度局部有限且σ有限。这样不需要先引用Riesz表示，也不需要尚未写成的一般随机测度理论。

从区间到连续函数

当 c,d 为 F 的连续点，区间增量收敛给出 \mu_n((c,d])\to\mu((c,d])。对紧支撑连续 g，在包含支撑的区间内，用连续点作足够细的分割端点。上下阶梯函数之差的绝对值不超过 g 的一致连续误差；它们积分之差由统一局部质量界控制。先对子列取极限，再使网格误差趋0，便得到所需测试函数收敛。

十九章实际需要把测试函数扩展到有界、紧支撑的Riemann可积函数，而其候选极限已经证明为常数倍Lebesgue长度。此时所有区间端点都是极限测度的连续点。对任意端点 a 及 \varepsilon>0，已有的区间收敛给出 \limsup_n\mu_n(\{a\})\le\lim_n\mu_n((a-\varepsilon,a+\varepsilon])=2c\varepsilon；再令 \varepsilon\downarrow0，端点原子质量消失。因此Riemann上下阶梯的开闭端点不影响极限，配合统一局部质量界即可证明积分收敛。我们不在此声称已经建立一般空间的Portmanteau定理。

σ有限预测度怎样由有限片段扩张

先把有限预测度扩张推广到σ有限覆盖。设代数上的预测度 q 有递增代数覆盖 E_n\uparrow E，且 q(E_n)<\infty。令 D_n=E_n\setminus E_{n-1}，首项使用空前项。这些是不交代数集合。每个有限预测度 q_n(A)=q(A\cap D_n)，在质量非零时除以总质量，使用第八章已证明的概率扩张；质量为0时取零测度。得到有限测度 \mu_n，并且它支撑在 D_n 上。

定义 \mu=\sum_n\mu_n。非负可数求和给出测度；对代数事件 A，预测度的可数可加性应用于不交分解，给出 q(A)=\sum_nq(A\cap D_n)=\mu(A)，即使该值为无穷也成立。若另一测度也扩张 q，在每个 E_n 上的有限限制与 \mu 由π–λ唯一性相同；再用覆盖的单调收敛，得到全空间相同。因此σ有限预测度具有唯一扩张。所需代数覆盖是这个唯一性陈述的条件，不能从测度总量无穷就省略。

选择结论只给出子列和候选测度，尚未识别它的形式与总质量。第十九章的调和论证和周期归一化恒等式将分别承担这两步；局部收敛本身不能阻止质量在无穷远逃逸。