偶然的数学 / 全书目录本页阅读进度
归属与证明范围
主要证明归属：第28章
相关工具与应用：第17章 · 第23章 · 第38章 （尚未写成）
- 已完成证明或计算（限定范围）
Brownian/Gaussian 核与热方程的专用计算已保留。
- 数学直觉
由随机路径联系确定性演化的机制说明，不能替代一般算子理论。
- 已完成证明或计算（限定范围）
第二十八章及三份配套证明已写出正压缩生成理论、边界域和保守局部紧Polish的Feller路径与强Markov；作者待阅、人工数学终审开放。PDE深化仍归第三十八章。
分段阅读所需工具
Lebesgue 积分、条件分布、Markov 性、算子半群与生成元定义域。
状态限定于已写材料，不表示本专题已全部证明或通过数学终审。
进阶阅读：从随机运动到半群与生成元
4.9.3 一个统一：随机路径与确定性演化
现在出现了两种完全不同的描述方式。
第一种是随机路径：
t\longmapsto B_t(\omega).每一个 \omega 都对应一条不同的随机轨迹。
第二种是概率密度：
(t,x)\longmapsto p_t(x).这个函数则由确定性的热方程控制。
对于足够规则的函数 f，定义
P_tf(x)
=
\mathbb E[f(x+B_t)].由于 Brownian motion 具有独立且平稳的增量，
P_{t+s}f=P_t(P_sf).所以 (P_t)_{t\ge0} 形成一个 Markov 半群。
其无穷小生成元满足
\lim_{h\downarrow0}
\frac{P_hf(x)-f(x)}{h}
=
\frac12f''(x),对例如 f\in C_c^\infty(\mathbb R) 成立。
因此
\boxed{
L=\frac12\frac{d^2}{dx^2}.
}而相应的演化方程正是
\frac{\partial u}{\partial t}=Lu.我们得到了一条极其重要的统一关系：
\boxed{
\text{随机过程}
\longleftrightarrow
\text{Markov 半群}
\longleftrightarrow
\text{偏微分方程}.
}这不是简单的符号对应。
它意味着，我们可以用随机运动解释偏微分方程，也可以用偏微分方程研究随机过程的概率分布。
将来在随机微积分、Feynman–Kac 公式和随机微分方程中，我们会不断发现这条联系的重要性。