Haobai Wang · 公开阅读版 · ch04-zh-07af2fb31042
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《偶然的数学》
第一卷 · 偶然可以计算吗？
第四章：当随机性进入时间——从随机游走到 Brownian motion
一张张 Gaussian 分布的快照，能否拼成一条真正的随机路径？
第三章，我们发现了概率论中一个极为深刻的现象。
大量独立随机变量的和，在适当的中心化与标准化之后，可能收敛到正态分布：
\frac{X_1+\cdots+X_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}
\xrightarrow{d}N(0,1).但是，我们此前始终将随机实验看作一个整体。
我们只关心前 n 个随机变量相加的最终结果。
现在，假设我们不只观察最后的总和，而是在每一步都记录随机系统的位置。
于是，原本的单个随机变量
S_n=X_1+\cdots+X_n便成为了一整列随机变量：
S_0,S_1,S_2,\ldots我们开始关注一个新的问题：
随机性如何随着时间发展？
这一问题将使概率论离开单个随机数字的世界，进入随机路径、随机过程，最终进入随机函数空间。
而在这条道路上，我们将遇到现代概率论中最重要的对象之一——Brownian motion（布朗运动）。
4.1 一位植物学家发现了一个数学问题
Robert Brown（1773—1858）
苏格兰植物学家，曾参与澳大利亚植物考察，也研究植物的微观结构。
1827年，他在研究花粉中的微小颗粒时，观察到这些颗粒在液体中持续而不规则地移动。
在十九世纪初，人们已经能够借助显微镜观察大量肉眼无法看到的结构。
Brown 研究花粉时注意到，那些非常细小的颗粒，即使悬浮在看起来静止的水中，也会不停地颤动和改变位置。
最开始，这种运动似乎可能与生命活动有关。
但是，Brown 进一步研究了非生命物质中的微粒，发现类似运动并不局限于有生命的材料。
因此，它不能简单地归因于花粉具有生命。
Brown 在1827年开展这些观察，并于1828年发表相关报告。更早的人也观察过类似现象，因此 Brown 的重要贡献并不是“第一个看见颗粒运动”，而是系统研究了这种运动在不同微小颗粒中的普遍性。〔31, 32〕
现在，我们试着站在当时的观察者角度思考。
假如水是静止的，微粒也没有自主运动能力，为什么它仍然会不停移动？
如果存在某种看不见的微观作用在持续推动这些颗粒，那么大量无法直接观察的微小运动，能否产生宏观上可以测量的统计规律？
这个问题后来与分子运动论、原子存在的证据以及统计物理紧密联系起来。
1905年，Einstein 对悬浮微粒的扩散给出了定量理论；Smoluchowski 在1906年也提出了相关理论。Jean Perrin 随后的实验为相关预测提供了重要支持。〔33, 34, 35〕
不过，还有一个值得注意的历史插曲。
在物理学的 Brownian motion 理论成熟之前，法国数学家 Louis Bachelier 已经在1900年的金融数学论文 Théorie de la spéculation 中研究过类似的连续随机价格模型。
真正严格地建立这一连续随机过程的概率论基础，则与 Norbert Wiener 在1920年代，尤其1923年的工作密切相关。
今天，我们把数学上的标准布朗运动也称为 Wiener process。〔36, 37〕
但这些是后来的历史。
为了真正理解这种过程是如何出现的，我们必须首先忘记连续时间、连续轨道甚至正态分布。
我们从一个小得不能再小的模型开始。
4.2 一个每一步只能向左或向右移动的粒子
想象一个粒子站在整数直线上。
它从原点出发。
每经过一个单位时间，就随机向右或者向左移动一个单位。
设
\xi_1,\xi_2,\ldots是一列独立同分布随机变量，其中
P(\xi_i=1)=P(\xi_i=-1)=\frac12.定义
S_0=0,\qquad
S_n=\sum_{i=1}^n\xi_i.于是
S_n表示粒子经过 n 步之后的位置。
这就是最简单的一维对称随机游走（simple symmetric random walk）。
我们已经掌握了研究这个模型所需要的大部分知识。
因为
\mathbb E[\xi_i]=0,
\qquad
\operatorname{Var}(\xi_i)=1,所以
\boxed{
\mathbb E[S_n]=0,\qquad
\operatorname{Var}(S_n)=n.
}于是
\mathbb E[S_n^2]=n.如果采用均方根位移来衡量粒子离开原点的典型距离，那么
\boxed{
\sqrt{\mathbb E[S_n^2]}=\sqrt n.
}这其实非常奇怪。
如果粒子始终向右走，那么经过 n 步之后，它与原点的距离是 n。
但当方向由独立且对称的随机机制决定时，它的均方根位移只有 \sqrt n。
随机游走与确定性运动的位移尺度
确定性单向运动的位移为 n；对称随机游走的均方根位移为 √n。
查看母稿数值表
| n | 始终同向运动 | 随机游走的均方根位移 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 4 | 4 | 2 |
| 9 | 9 | 3 |
| 16 | 16 | 4 |
| 25 | 25 | 5 |
| 36 | 36 | 6 |
| 49 | 49 | 7 |
| 64 | 64 | 8 |
| 81 | 81 | 9 |
| 100 | 100 | 10 |
这说明随机运动的位移尺度，与确定性的匀速运动完全不同。
匀速运动满足
x(t)\propto t.而在这种随机游走模型中，典型的位移大小满足
|S_n|_{\mathrm{typical}}\propto\sqrt n.当然，随机粒子的具体轨迹可以有非常大的偏差。
\sqrt n 不是对每一条样本路径都成立的确定性界限。
它首先是由二阶矩给出的统计尺度。
但这个尺度将成为我们理解连续随机运动的关键。
4.3 如果时间越来越细，随机游走会变成什么？
现在我们提出一个思想实验。
假设我们不再希望粒子每一秒移动一次。
而是让它在一秒钟内移动 n 次。
也就是说，每次移动所占用的时间变成
\Delta t=\frac1n.同时，我们把每一步的空间长度缩小到
\Delta x=\frac1{\sqrt n}.这样，在时间 t 内，粒子大约走了 nt 步。
因此总位移的方差大约是
nt\cdot\frac1n=t.这意味着：
即使单步位移越来越小，单位时间内的步数越来越多，总位移的方差仍然保持非平凡的大小。
我们既不会得到一个完全静止的粒子，也不会得到一个在有限时间内无限发散的系统。
现在定义
\boxed{
W_n(t)=\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sqrt n},
\qquad t\ge0.
}这里 \lfloor nt\rfloor 表示不超过 nt 的最大整数。
这是经过时间与空间共同缩放之后的随机游走。
我们不妨观察一下它的变化。
离散随机游走的缩放实验。细分时间步数：16、32、64、128、256。示意模拟：每个步长为 1/\sqrt n，时间间隔为 1/n。为便于比较，使用同一条预先生成的随机增量序列的不同长度前缀；图形并非严格展示同一路径的逐级逼近。
当 n 增加时，原来的大幅跳跃变成越来越密集的小幅跳跃。
我们开始期待，在某种极限意义下，这个过程会形成连续的随机路径。
但这立即产生了两个数学问题。
首先，这样的极限是否真的存在？
其次，即使它存在，我们应该在哪种意义下理解整条随机路径的收敛？
此前的中心极限定理只能回答单个随机变量的分布如何收敛。
而现在，我们希望收敛的对象是整个函数：
t\longmapsto W_n(t).这种区别将极其重要。
4.4 为什么空间尺度必须是时间尺度的平方根？
先不假设缩放指数是 1/2。
假设时间仍以 1/n 缩小，但空间步长取为
n^{-\alpha}其中 \alpha>0。
定义
W_n^{(\alpha)}(t)
=
n^{-\alpha}S_{\lfloor nt\rfloor}.因为
\operatorname{Var}(S_{\lfloor nt\rfloor})=\lfloor nt\rfloor,所以
\operatorname{Var}(W_n^{(\alpha)}(t))
=
n^{-2\alpha}\lfloor nt\rfloor.对固定的 t>0，其渐近尺度为
t n^{1-2\alpha}.现在产生三种完全不同的情况。
如果
\alpha>\frac12,那么
\operatorname{Var}(W_n^{(\alpha)}(t))\to0.随机位移在概率意义下趋向零，我们得到的是退化极限。
如果
\alpha=\frac12,那么
\operatorname{Var}(W_n^{(\alpha)}(t))\to t.波动在极限中保留非零且有限的尺度。
如果
\alpha<\frac12,方差趋于无穷。对于这个对称随机游走，由中心极限定理还能进一步证明，在任意固定 M>0 下，
P(|W_n^{(\alpha)}(t)|\le M)\to0.因此，固定时刻的分布不会在实数轴上形成紧的概率分布族。
所以，只有
\boxed{\alpha=\frac12}能够给我们所寻找的非退化扩散极限。
这是一种非常深刻的尺度选择。
\boxed{
\text{时间尺度}\sim\varepsilon^2,
\qquad
\text{空间尺度}\sim\varepsilon.
}它不同于确定性匀速运动中的
\text{空间尺度}\sim\text{时间尺度}.在随机扩散问题中，时间和空间遵循的是平方关系。
我们将来研究随机树的 scaling limit、CRT 以及其他连续随机几何对象时，会再次遇到这样的思想：
找到正确的缩放指数，往往就是发现极限对象的第一步。
不过，那个指数究竟是多少，取决于模型中的随机结构。并不是所有随机系统都必须具有 Brownian motion 的 1/2 指数。
4.5 中心极限定理只能看见一个时刻
现在回到
W_n(t)=\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sqrt n}.先固定一个时刻 t>0。
因为
S_{\lfloor nt\rfloor}
=
\xi_1+\cdots+\xi_{\lfloor nt\rfloor},由中心极限定理，
\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sqrt{\lfloor nt\rfloor}}
\xrightarrow d N(0,1).所以
W_n(t)
=
\frac{S_{\lfloor nt\rfloor}}{\sqrt{\lfloor nt\rfloor}}
\sqrt{\frac{\lfloor nt\rfloor}{n}}.由于
\frac{\lfloor nt\rfloor}{n}\to t,我们得到
\boxed{
W_n(t)\xrightarrow d N(0,t).
}于是我们发现，假如连续时间极限存在，那么它在每个固定时刻 t 的位置，应该具有均值为0、方差为 t 的正态分布。
因此，它的密度应当是
\boxed{
p_t(x)
=
\frac1{\sqrt{2\pi t}}
\exp\left(-\frac{x^2}{2t}\right).
}但是请注意：
这个结论只描述了一个固定时刻。
它并没有告诉我们 t=1 与 t=2 的位置之间有什么关系，也没有告诉我们粒子在两个时刻之间会经过哪里。
一个随机过程，远远不只是每个时刻各自的概率分布。
4.5.1 为什么知道每个时刻的分布还不够？
考虑两个随机过程。
第一个过程是
X_t=\sqrt t\,Z,其中
Z\sim N(0,1).于是对于每个 t>0，
X_t\sim N(0,t).第二个过程暂时记为 B_t，我们希望它也满足
B_t\sim N(0,t).也就是说，两个过程在每一个固定时刻都具有相同的分布。
然而，对第一个过程，
X_s=\sqrt{\frac st}X_t
\qquad(0<s<t).只要知道了一个非零时刻的位置，我们就能确定其他所有时刻的位置。
它的整条路径只是一条形如
t\longmapsto \sqrt t\,z的确定函数，只不过系数 z 是随机的。
因此
\operatorname{Cov}(X_s,X_t)=\sqrt{st}.而我们期待的 Brownian motion 将满足
\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t).两者显然不同。
尤其当 0<s<t 时，
\sqrt{st}\ne s.所以，两个随机过程可以在每一个时刻具有完全相同的分布，却具有完全不同的时间结构。
研究随机过程时，我们必须理解不同时间之间的联合分布，而不只是每个时间的边际分布。
4.5.2 从一个时刻走向多个时刻
现在选定时间
0=t_0<t_1<\cdots<t_m.我们研究随机向量
(W_n(t_1),\ldots,W_n(t_m)).为了理解它，最自然的办法不是分别研究每个坐标，而是研究相邻时间之间的增量：
\Delta_{n,j}=W_n(t_j)-W_n(t_{j-1}).对于这里定义的阶梯过程，这些增量精确等于不同时间区间上随机步长的和；若改用线性插值版本，才需控制边界项（见附录 F）。
例如，
\Delta_{n,j}
=
\frac1{\sqrt n}
\sum_{k=\lfloor nt_{j-1}\rfloor+1}^{\lfloor nt_j\rfloor}\xi_k.因为不同区间使用互不重叠的随机变量，它们相互独立。
每个增量又满足中心极限定理：
\Delta_{n,j}
\xrightarrow d
N(0,t_j-t_{j-1}).所以，整个增量向量应当收敛到一组相互独立的正态随机变量：
(Z_1,\ldots,Z_m),其中
Z_j\sim N(0,t_j-t_{j-1}).这一联合收敛可以通过特征函数严格证明：由于各增量独立，它们的联合特征函数可分解为乘积，而每个因子都收敛到对应正态分布的特征函数。
随后利用
W_n(t_j)=\sum_{r=1}^j\Delta_{n,r},得到有限维分布的联合收敛。
因此我们找到了连续极限应当满足的结构：
\boxed{
B_{t_j}-B_{t_{j-1}}
\sim N(0,t_j-t_{j-1}),
}并且在不重叠时间区间上的增量相互独立。
这已经比“每个时刻都服从正态分布”强得多。
这里用特征函数从增量的极限走到向量的联合极限，调用了多维特征函数连续性定理及连续线性映射的分布收敛性质；它们将在第11、13章系统建立，收敛语言从第7章开始。附录 F 保留乘积分解计算。本节完成的是给定这些工具后的有限维极限论证，不是路径极限定理。
4.5.3 协方差结构自然出现
由
B_t=B_s+(B_t-B_s),
\qquad s<t,以及增量独立性，
\begin{aligned}
\mathbb E[B_sB_t]
&=\mathbb E[B_s^2]
+\mathbb E[B_s(B_t-B_s)]\\
&=s+0\\
&=s.
\end{aligned}所以
\boxed{
\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t).
}我们得到了一种十分特殊的协方差核：
\boxed{
K(s,t)=\min(s,t).
}它将整个过程不同时间之间的二阶关系编码在同一个函数之中。
更加重要的是，当过程是 Gaussian process 时，这个协方差核与均值函数一起，能够决定所有有限维联合分布。
于是，我们似乎已经找到 Brownian motion 的全部有限维概率结构。
但这里还隐藏着一个巨大的逻辑漏洞。
4.6 知道所有有限维分布，是否就等于构造出随机路径？
假设我们已经知道，对任意有限组时间
t_1,\ldots,t_m,随机向量
(B_{t_1},\ldots,B_{t_m})应当服从怎样的联合分布。
这是否已经意味着存在一条连续的随机路径
t\longmapsto B_t?不一定。
后续在适用的状态空间条件下，我们将用概率测度的扩张定理，把一致的有限维分布放进同一个随机过程。这里先辨认构造必须解决的问题，不预先调用这一定理来宣布构造完成。
但是，这种构造本身并不自动保证它的样本路径连续。
更进一步，即使两个过程在所有有限组时间上的联合分布都相同，也不能不加限定地认为它们具有相同的路径性质。
这是从随机变量转向随机过程时，一个极其容易被忽略的陷阱。
4.6.1 一个简单但致命的反例
令 U\sim\operatorname{Uniform}(0,1)，定义
X_t=\mathbf1_{\{t=U\}},
\qquad 0\le t\le1.对每个固定的 t，
P(X_t=1)=P(U=t)=0.所以
X_t=0\quad\text{a.s.}对任意有限组确定时刻 t_1,\ldots,t_m，我们同样有
P(X_{t_1}=\cdots=X_{t_m}=0)=1.因此，过程 (X_t) 的所有有限维分布，都与恒等于零的过程
Y_t\equiv0完全相同。
然而，观察完整路径时，差异巨大。
对于每一个 U\in(0,1)，函数
t\longmapsto X_t在 t=U 处突然跳到1，其他地方为0。
因此，这条路径是不连续的。
而 Y_t\equiv0 的路径显然处处连续。
我们甚至有
\sup_{0\le t\le1}X_t=1
\quad\text{a.s.},但
\sup_{0\le t\le1}Y_t=0.请注意这件事有多么深刻：
\boxed{
\text{所有有限维分布相同}
\not\implies
\text{路径性质相同}.
}这不是说有限维分布没有用。
恰恰相反，它们是描述过程的必要组成部分。
但如果我们希望研究连续路径，还必须说明自己在什么样的函数空间中构造随机对象，并且如何控制不同时间之间的波动。
否则，连续性可能只是我们在纸上画出的一条平滑曲线，而不是严格证明过的数学性质。
4.6.2 另一个问题：有限维收敛不是路径收敛
即使我们已经有一系列连续函数，也可能出现每个固定时刻都收敛、整条路径却并不收敛的情况。
例如，考虑定义在 [0,1] 上的函数
f_n(t)=\max\left\{1-2n\left|t-\frac1n\right|,0\right\}.当 n 越来越大时，这个三角形尖峰逐渐向0靠近，宽度逐渐缩小。
对于任何固定的 t\in[0,1]，
f_n(t)\to0.但对每个足够大的 n，
\sup_{0\le t\le1}|f_n(t)|=1.所以它们根本没有一致收敛到零函数。
这就是一个非常直观的警告：
研究路径时，只检查每个确定时刻发生什么是不够的。某些越来越短、越来越难在固定时刻捕捉的异常波动，仍然可能阻止整个函数的收敛。
因此，对于随机过程，我们需要一套新的收敛理论。第七章将先辨清各种随机收敛，后续再把这些问题放进函数空间。
这里必须分清两个障碍。只有单个时刻的分布，连不同时刻之间怎样关联都不知道；知道全部有限维分布之后，还必须选定路径空间并建立相应的可测结构与正则性。
刚才的随机尖峰不是说连续路径的概率规律永远不能由有限维分布决定。若已经把过程建立为连续函数空间上的 Borel 随机元素，所有有限维分布便能够决定它的路径分布；证明这一点需要后文的可测结构。反例说明的是：不能在没有说明路径空间与版本的情况下，从有限维信息直接宣告路径连续。
一张张快照可以告诉我们粒子出现在哪里，却还不能自动给出一条可以谈论“曾经到达”“始终停留”的随机路径。
这就是本章真正的转折。Gaussian 极限没有失效；它把我们带到了自己无法独自回答的问题面前。
4.7 我们希望找到的连续随机运动
经过前面的研究，现在才是正式引入定义的恰当时机。
定义：标准 Brownian motion
一个实值随机过程
B=(B_t)_{t\ge0}称为标准 Brownian motion，如果：
1. B_0=0 几乎必然成立；
2. 对任意 0\le t_0<t_1<\cdots<t_m，增量
B_{t_1}-B_{t_0},\ldots,B_{t_m}-B_{t_{m-1}}相互独立；
3. 对任意 0\le s<t，
B_t-B_s\sim N(0,t-s);4. 几乎所有样本路径 t\mapsto B_t(\omega) 都连续。
现在这个定义不再突兀。
每一条要求，都是我们为了构造随机游走的连续极限而逐渐发现的。
第一条规定初始状态。
第二条保留了原先随机游走在不同时间区间内的独立性。
第三条是中心极限定理产生的 Gaussian 增量结构。
第四条则需要在函数空间层面证明，不能单靠固定时刻的分布来保证。
这四条是我们向极限对象提出的要求，还不是它存在的证明。第四条尤其不能由前面几张 Gaussian 快照自动推出。
本章不再把严格构造压进这个定义之后。后续我们将分别解决：如何把一致的有限维分布扩张成概率测度，如何选择连续版本，以及随机游走的整条路径为什么能趋向这个过程。更深入的构造与路径极限问题，可参阅连续版本与 Wiener measure和Donsker 与路径紧性。
4.8 从随机游走到热方程：为什么随机运动会产生确定性的偏微分方程？
到目前为止，我们沿着随机游走的路线，辨认出了 Brownian motion 应当满足的要求；它的严格存在性仍留待后文建立。
但数学史上，还有另外一条重要路线通向同一个对象。
那就是热传导与扩散。
这一联系值得认真推导，因为它揭示了随机世界与确定性微分方程之间极其深刻的关系。
4.8.1 从离散随机游走重新开始
假设一个粒子在空间网格上移动，每次向左或向右跳跃 \Delta x，每次跳跃需要 \Delta t 时间。
设
p(x,t)表示粒子在时间 t 位于网格点 x 的概率质量。
由于粒子只能从左右相邻位置到达 x，所以
p(x,t+\Delta t)
=
\frac12p(x-\Delta x,t)
+
\frac12p(x+\Delta x,t).移项得到
\begin{aligned}
&p(x,t+\Delta t)-p(x,t)\\
&=\frac12\left[
p(x-\Delta x,t)-2p(x,t)+p(x+\Delta x,t)
\right].
\end{aligned}两侧除以 \Delta t：
\begin{aligned}
\frac{p(x,t+\Delta t)-p(x,t)}{\Delta t}
=
\frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t}
\frac{
p(x-\Delta x,t)-2p(x,t)+p(x+\Delta x,t)
}{(\Delta x)^2}.
\end{aligned}现在观察这个式子。
左边具有时间方向的差商结构：
\frac{\partial p}{\partial t}.右边则具有空间方向的二阶差商结构：
\frac{\partial^2p}{\partial x^2}.如果让网格同时趋于零，并保持
\frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t}\to D,那么形式上，我们将得到
\boxed{
\frac{\partial p}{\partial t}
=
D\frac{\partial^2p}{\partial x^2}.
}这就是一维扩散方程，也称为热方程。
这里的推导属于连续极限的形式推导。要严格证明离散概率质量适当归一化后的极限确实满足该偏微分方程，还需要使用局部极限定理、半群理论或其他收敛方法。〔43, 44〕
但是，它已经向我们展示了一种难以忽略的数学联系：
一系列完全随机的微小运动，在概率分布层面上，竟然能够产生一个确定性的偏微分方程。
4.8.2 为什么热方程的解又是正态密度？
对于标准 Brownian motion，
B_t\sim N(0,t).所以位置密度为
p_t(x)=
\frac1{\sqrt{2\pi t}}
e^{-x^2/(2t)}.直接对它求偏导，可以验证
\boxed{
\frac{\partial p_t}{\partial t}
=
\frac12\frac{\partial^2p_t}{\partial x^2}.
}一般扩散系数为 D 时，密度为
\boxed{
p_t(x)
=
\frac1{\sqrt{4\pi Dt}}
e^{-x^2/(4Dt)}.
}其方差为
\operatorname{Var}(X_t)=2Dt.因此
\boxed{
\mathbb E[(X_t-X_0)^2]=2Dt
}对于从原点出发、无漂移的一维扩散模型成立。
这正是 Einstein 1905年 Brownian motion 理论中与实验联系紧密的均方位移规律。
在适当的物理条件下，扩散系数还可以联系温度、流体黏度和粒子半径；这使得宏观可观测的随机位移能够用于推断微观物质的性质。〔35, 31〕
从随机跳跃得到的密度，竟然满足一个确定性的扩散方程。对标准 Brownian motion，这里的系数是 D=1/2；一般的 D>0 对应过程 \sqrt{2D}\,B_t。这解释了我们为什么既追问粒子的随机轨迹，又研究分布随时间的确定性演化。
但验证 Gaussian 密度满足热方程，并不能替代连续随机路径的存在证明。密度描述每一时刻的分布；路径如何把这些时刻连接起来，仍是刚才留下的问题。半群、生成元与更深的随机微积分联系，可沿半群与生成元继续阅读。
4.9 当“曾经发生”成为一个事件
假如一个粒子最后回到了原点附近，我们能否就说它从未走远？
当然不能。它可能曾经越过一条高线，随后又回来。最终位置只留下最后一张快照；“曾经越过”则需要整条路径。
假定我们已经有一条连续的 Brownian 路径，在 [0,1] 上问：
A=\left\{\omega:\sup_{0\le t\le1}B_t(\omega)>1\right\}.这个集合装着的不是一串可能的骰子点数，而是一整批具有某种经历的函数。我们想写下 P(A)，却必须先回答：哪些路径集合允许赋予概率？这个 A 为什么属于其中？
连续性在这里给了我们一个线索。若一条连续路径在某时刻严格高于1，那么它在附近的某个有理时刻也高于1。因此，对于连续路径，
\left\{\sup_{0\le t\le1}B_t>1\right\}
=\bigcup_{q\in\mathbb Q\cap[0,1]}\{B_q>1\}.右边只需可数多个观察时刻。这里在连续路径空间中逐条路径理解这个等式；若过程只保证几乎必然连续，等式就在同一个概率为1的连续性事件上成立。连续性与严格不等号都起作用，不能把这个推理无条件套在先前的随机尖峰上。我们还没有用这个等式算出概率，但它已经指出：要描述整条路径，哪些集合运算应当仍然产生可讨论的事件。
我们需要的语言必须容纳补集、可数并和极限；也需要说明为什么连续函数上的最大值可以作为随机量。第五章将从允许讨论的集合开始，第六章再建立对函数求平均的积分语言，第七章继续进入各种随机收敛。此后我们才有条件返回 Brownian motion，补全构造和路径极限。
第四章结语：我们知道粒子在哪里，却不知道它走过哪条路
让我们重新回到那台显微镜前。
Brown 观察到的微粒仍在水中不停地运动。它的位置不断改变，方向似乎毫无规律；即使看清了这一刻的位置，也无法预言下一刻它会移向哪里。
为了理解这种运动，我们从一个最简单的随机游走开始：每一步向左或者向右，彼此独立，机会相等。单独的一步还不能告诉我们长时间运动的尺度；但把许多次跳跃放在一起，方向之间的抵消便留下了一种稳定的尺度。走过的步数增加为原来的四倍，均方根位移只增加为原来的两倍。
于是，当跳跃越来越频繁、步长越来越微小时，我们不能任意缩放时间和空间。如果希望随机运动既不消失，也不失去有限的波动尺度，就需要保持
\Delta x\sim\sqrt{\Delta t}.在这样的尺度下，第三章的 Gaussian 极限重新出现了：固定一个时刻，粒子的位置分布趋向钟形曲线，其方差随着时间增长。
可是，这只给了我们一张快照。
把每个时刻的快照分别收集起来，还不能知道粒子怎样从一个位置走到另一个位置。同样的单时刻分布，可以来自彼此完全不同的运动。我们不得不转而研究不同时刻之间的联合结构，研究相邻时间区间上的增量，直到独立性与 Gaussian 分布共同给出那个特殊的协方差核：
K(s,t)=\min(s,t).这个简洁的函数记录了时间之间的联系：较早时刻已经积累的随机位移，会成为较晚位置的一部分，而后来产生的独立增量继续带来新的波动。
当我们又把目光从一颗粒子的轨迹转向大量粒子的位置分布时，另一种规律出现了。在标准化的扩散尺度下，Gaussian 密度满足
\frac{\partial p}{\partial t}
=\frac12\frac{\partial^2p}{\partial x^2}.显微镜下不规则的运动，与确定性的热传导方程，在这里发生了联系。单条轨迹难以预言，许多可能位置的分布却能够呈现有规律的演化。
然而，正是在我们似乎已经逐渐理解这种运动的时候，一个更根本的问题显露出来。
我们知道粒子在某个时刻可能出现在哪里，却还没有在一个严格的概率空间中建立它走过的整条连续随机路径。
单时刻的分布不能确定时间之间的关系；而即使所有有限维分布已经确定，也不能就此略过连续路径的存在性与可测性。我们写下的 Brownian motion 定义，说明了这种运动应当具有什么性质，却还需要证明这些要求能够共同实现。
真正研究运动时，我们关心的往往也不是最后一张快照。粒子是否曾经到达某个高度？它能否在一段时间内始终留在一个区域？第一次到达某个位置，又发生在什么时候？
这些问题都取决于整条路径。一个粒子最后回到了原点附近，并不能抹去它此前可能走过的远路。
随机实验的结果，因此可以是一整个函数。我们希望把具有相同经历的路径放在一起，为这一整批路径赋予概率；但在写下那个概率之前，必须先知道：这样的路径集合为什么是一个允许讨论的事件？
那颗微粒把我们带回了第一章留下的问题。对于有限的赌局，计数曾经给出清楚的答案。如今，可能的结果是一整条连续函数，旧的回答已经不够了。
概率究竟应该怎样定义？
通向第五章：为什么概率需要测度论？
我们先把这个困难简化。暂时不问怎样在函数空间中选择一条随机路径，只问怎样从区间 [0,1] 中均匀地选择一个实数。
我们希望区间的概率等于它的长度。一个集合平移之后，只要仍然落在这个区间内，它的概率就不应改变；把可数个互不重叠的事件合起来，我们也希望总概率等于各个概率之和。
这些要求看起来十分自然。可是，我们能否把它们同时保留下来，并给 [0,1] 的每一个子集都赋予概率？
如果连一个区间中的所有集合都不能这样衡量，那么，为一整批随机路径赋予概率之前，我们就更需要弄清楚：究竟哪些集合能够成为事件。
下一章，我们将从这个愿望出发，走到它无法实现的地方。而为了最终理解那颗在水中不停运动的微粒，我们必须首先重新思考：什么才是一个可以被测量的事件？
《偶然的数学》· 第一卷第四章 · 结语修订阅读候选版，2026-10-26