T-SEQUENTIAL：一般可测空间上的顺序实验

本证明处理可数个任意非空可测空间 (E_n,\mathcal E_n)，不是把标准Borel空间的随机化表示误用到一般空间。给定初始概率 \nu，以及从前缀 E_0\times\cdots\times E_n 到 E_{n+1} 的概率核 K_{n+1}。结论是在坐标乘积σ-代数上存在唯一概率，有限前缀的积分由逐次核积分给出。不承诺任意不可数指标扩张，也不承诺一般空间上存在正则条件分布。

有限积分与一致性

第十章已经通过指示函数、简单函数和单调收敛证明核积分保持可测性，且能逐次组成有限乘积测度。因此每个前缀有概率 P_n。积分掉最后坐标时核的总质量为1，故这些概率一致。初始柱集构成代数：任意只依赖有限坐标的集合，都可以补足到一个初始前缀；有限次布尔运算仍只依赖某个共同前缀。在此代数定义 q(A)=P_n(A_n)，一致性保证与所选前缀长度无关。

有限可加性还不是我们需要的可数可加性。这里用的是第十章10.9在任意可测空间上的有限核积，不是10.18的标准Borel随机化；对不交事件的可数可加性由核的可数可加性及单调收敛逐次保留。以下直接证明柱集代数上的空交连续性，而不要求状态空间紧性。所有输入核都在每个前缀上定义并具有总质量1；这份逐点数据是下一步递归的前提。

如果概率没有消失，就能逐个选出一条记录

设柱集 A_j\downarrow\varnothing。反设 q(A_j)\downarrow c>0。令 d_j 为第 j 个集合所需的最大坐标下标，增大它们使 d_j\uparrow\infty。对任意固定前缀 x_{0:m}，把 A_j 的指示函数用后续核积分至它的最后坐标；若 d_j\le m，直接使用其已确定的指示函数。所得函数记为 f_{m,j}(x_{0:m})。

集合的包含关系和概率核的正性，使这些函数随 j 递减，均在0与1之间。令 f_m=\lim_j f_{m,j}。每个前缀上都有精确恒等式

这来自有界收敛；若集合已经只依赖较短前缀，积分一个常数仍是它本身。因此恒等式对所有前缀成立，不是只有某个边缘测度下几乎处处成立。相同论证给出 \int f_0\,d\nu=c>0。

选择一个 f_0(x_0)>0 的点。若已选出 f_m(x_{0:m})>0，上式保证存在一个 y 使 f_{m+1}(x_{0:m},y)>0。依次选择得到无限记录 x。这里仅使用可数依赖选择，不要求将所选点作为前缀的可测函数。

对任意 j，取 m\ge d_j。由递减性 f_m(x_{0:m})\le\mathbf1_{A_j}(x)，而左边严格为正，所以 x\in A_j。这对所有 j 成立，与空交矛盾。故 q(A_j)\downarrow0。

真正的无限空间

有限可加概率在代数上的空交连续性推出预测度性质：若互不相交的 B_j 的并 B 仍在代数，剩余集合 B\setminus\bigcup_{j\le n}B_j 递减到空集，故其质量趋0。第八章的外测度扩张于是把 q 扩张成坐标σ-代数上的概率；有限概率的π–λ唯一性使扩张唯一。

在这个概率下，核确实描述下一步条件平均：对有界可测 g，\int g(y)K_{n+1}(X_{0:n},dy) 可测，并在每个前缀事件上的积分与 g(X_{n+1}) 相同。先核对柱集，随后由单调类推广即可。因此这是一般可测空间的Ionescu–Tulcea顺序构造的完整可数版本。我们没有从条件平均的存在倒推一个未经证明的正则条件核。